河南省滑縣第二高級中學 ?柴春燕
概率問題題型較多,解法靈活,不少同學在解題過程中因概念不清、忽視條件、考慮不周等原因導致思維混亂,最終導致解題失誤.本文就概率問題中的常見錯誤進行成因診斷,下面進行分類舉例說明:
類型一:“非等可能”與“等可能”的混淆
例1.擲兩枚骰子,求所得的點數之和為6的概率.
錯解:擲兩枚骰子出現的點數之和2,3,4,…,12共11種基本事件,所以概率為P=1/11.
剖析:以上11種基本事件不是等可能的,如點數和2只有(1,1),而點數之和為6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5種.事實上,擲兩枚骰子共有36種基本事件,且是等可能的,所以“所得點數之和為6”的概率為P=5/36.
類型二:“互斥”與“對立”的混淆
例2.把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人,每個人分得1張,事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是
A.對立事件
B.不可能事件
C.互斥但不對立事件
D.以上均不對
錯誤答案:A
剖析:本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同,要準確解答這類問題,必須搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別,這二者的聯系與區別主要體現以以下三個方面:
(1)兩事件對立,必定互斥,但互斥未必對立;
(2)互斥的概念適用于多個事件,但對立概念只適用于兩個事件;
(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生,即至多只能發生其中一個,但可以都不發生;而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生.
事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發生的兩個事件,這兩個事件可能恰有一個發生,一個不發生,可能兩個都不發生,所以應選C.
類型三:“互斥”與“獨立”的混淆
例3.甲投籃命中率為0.8,乙投籃命中率為0.7,每人各投3次,兩人恰好都命中2次的概率是多少?
錯解:設“甲恰好投中兩次”為事件A,“乙恰好投中兩次”為事件B,則兩人都恰好投中兩次為事件A+B.
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=C23*0.82*0.2+C23*0.72*0.3=0.825.
分析:本題錯解的原因是把相互獨立的事件當成互斥事件來考慮.將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和.而題目的實際含義是在“甲恰好投中兩次”的同時“乙恰好投中兩次”,即兩人都恰好投中兩次為事件A·B,則P(A)·P(B)=C23*0.82*0.2*C23*0.72*0.3=0.169344。