基于規范圖像的光電成像系統采樣響應研究

王青松,高 明

(西安工業大學光電工程學院,陜西 西安 710021)

1 引 言

光電成像系統在軍事領域和商業領域都有廣泛的應用。如軍事中的偵察搜索、目標獲取、設計控制和導航等,商業中的法律實施、救火、污染控制、設備維修、制造和測試等。雖然光電成像系統的應用場合差異很大,但是能否解決實際問題的關鍵在于其生成圖像的質量。在光電成像系統對一個場景形成一副圖像的過程中,影響像質的因素很多,光電成像系統的采樣響應就是一個重要的因素。

為了研究采樣響應對像質所產生的影響,文獻[1]～[2]采用光電成像系統對點源目標的響應分析采樣響應,獲得了采樣響應模型和采樣響應結果。雖然可以通過點源目標獲取封閉的采樣響應模型,但是點源目標與點源圖像之間的對比不直觀,影響了對像質的分析。為了解決這個問題,文獻[3]～[4]提出采用一些“標準”圖像代替點源目標分析采樣響應,如Lena圖像和Camera man圖像,雖然這些“標準”圖像與采樣響應的生成圖像更容易對比,但是這些“標準”圖像本身具有與“標準”圖像采集過程相關的不確定性,這些不確定性限制了圖像的效用。

為了彌補采用點源目標和“標準”圖像分析采樣響應對像質的影響的不足,本文提出了將規范圖像作為輸入建立封閉的采樣響應模型來分析像質的方法,該方法首先能夠獲得直觀的圖像,然后可用通過準確地數學模型定性地分析采樣響應對像質的影響規律,最后,能夠結合圖像清晰度評價函數和虛假響應的平方和的根(RSS)可以得到平衡圖像模糊與混疊的條件。

2 規范圖像

規范圖像是封閉形式的、數學上可計算的圖像,它保留了線性移不變圖像形成過程的本質[5]。本文采用的規范圖像為USAF 1951圖像[6-7]。如圖1(a)所示。根據疊加原理,該圖像由m個矩形規范圖像疊加形成,數學表達式為:

圖1 分析采樣響應的規范圖像

(1)

式中,isc(x,y)為USAF 1951規范圖像;Ai、(xi,yi)、Lxi和Lyi分別為第i個矩形規范圖像的亮度、中心坐標、寬度和高度;R(x)為矩形函數。

根據傅里葉變換,isc(x,y)的幅度譜Isc(u,v)為:

Isc(u,v)=|F(isc(x,y))|

(2)

式中,u,v分別為水平和垂直空間頻率;F為傅里葉變換。圖1(b)給出了USAF 1951規范圖像的幅度譜圖。

當沿著二分之一的圖像高度進行水平掃描時,可以得到一條一維亮度曲線,其數學表達式為:

(3)

式中,H為USAF 1951規范圖像的高度。圖3(c)給出了一維亮度曲線。

一維亮度曲線的幅度譜Isc(u)為:

Isc(u)=|F(isc(x))|

(4)

圖1(d)為一維水平掃描亮度的幅度譜圖。

3 采樣響應

3.1 采樣響應過程

最基本的凝視光電成像系統由光學系統、探測器陣列和平板顯示器組成,它的采樣響應過程包括采樣前模糊、采樣與采樣后模糊三個步驟:首先,一個目標或場景受到采樣前模糊而退化成一幅光學圖像。采樣前模糊是由光學衍射、像差、探測器有限的尺寸、形狀等的組合調制傳遞函數(MTF)而引起的;隨后,探測器陣列對模糊光學圖像采樣。采樣頻率受到光學系統焦距和探測器間距的影響;最后顯示器對采樣圖像進行采樣后模糊(重構)。顯示器像素的形狀和大小(亮度分布)的MTF決定了采樣后模糊。

3.2 一維采樣響應函數

為了得到采樣響應函數,假設采樣前模糊的MTFHpre(u)是光學衍射MTFHo(u)和探測器MTFHd(u)的乘積[8-10]。即:

Hpre(u)=Hd(u)Ho(u)

(5)

式中,Ho(u)和Hd(u)的一維形式分別為:

Ho(u)=

(6)

(7)

上兩式中,u為空間頻率,cycles/mrad;uo為光學衍射截止頻率,cycles/mrad,uo等于光學系統入瞳直徑D與成像系統工作波長λ之比;ud為探測器MTF截止頻率,cycles/mrad。

假設探測器陣列的填充因子為100 %,則采樣頻率us與探測器截止頻率ud相等,即:

(8)

式中,f為光學系統的焦距,mm;d為探測器尺寸,μm。

采樣后模糊的MTFHpos(u)為平板顯示器的MTFHfp(u),它們的一維形式為:

(9)

式中,ufp為平板顯示器顯示像素MTF截止頻率,cycles/mrad。

通過光電成像系統的對點源目標的響應可以獲得采樣響應函數。采樣響應函數是點源目標在顯示器上形成的圖像的傅立葉變換。一維形式的采樣響應函數Fsr(u)[11-12]為:

(10)

式(10)表明,采樣過程其實是Hpre(u)在不同采樣頻率倍數處的復制。這些復制產生了原始場景中并沒有的頻率,有可能引起混疊現象。當n的絕對值大于等于2時,這些新的高頻受到顯示器或者人眼MTF的模糊而減弱,因此,在大多數實際系統中,只有與基帶相鄰且n=±1的復制對混疊有明顯的影響。此時,式(10)可近似為:

(11)

式(11)展開后為:

Fsr(u)≈Hfp(u)Hpre(u)+Hfp(u)[Hpre(us±u)+Hpre(-us±u)]

(12)

式中的第一項稱為光電成像系統的傳遞響應,它不依賴于采樣頻率,這表明基于探測器陣列采樣的光電成像系統有與非采樣光電成像系統相同的傳遞函數。第二項稱為光電成像系統的虛假響應,它在頻率軸上的位置依賴于采樣頻率。如果采樣頻率較小,那么虛假響應在頻域中位于靠近基帶的位置,此時,虛假響應難以過濾并且可能與基帶重疊。如果樣頻率較大,那么虛假響應遠離基帶存在,通過顯示器MTF和人眼MTF可以過濾掉虛假響應。

4 規范圖像的采樣響應

4.1 USAF 1951規范圖像的采樣響應

將式(4)與式(11)結合起來得到USAF 1951規范圖像的采樣響應生成圖像,平板顯示器上圖像的幅度譜為:

(13)

式中,Ofp(u)為USAF 1951規范圖像的采樣響應輸出。該輸出是USAF 1951規范圖像、采樣前模糊、采樣和采樣后模糊相結合的結果。當采樣頻率不變時,采樣前MTF截止頻率和采樣后MTF截止頻率與采樣頻率相比較時有四種典型情況,即過小的采樣前MTF截止頻率、過大的的采樣前MTF截止頻率、過大的采樣后MTF截止頻率和過小的采樣后MTF截止頻率。

4.1.1 過小的采樣前MTF截止頻率

采樣前MTF由式(5)確定,當光學衍射截止頻率uo減小時,采樣前MTF的截止頻率也會減小。圖2(a)和(b)中說明了uo=0.5 μs、ufp=0.5 μs時的USAF 1951規范圖像一維采樣響應。圖中只給出了式(13)中n=0,1時的結果。圖2(c)顯示了USAF 1951規范圖像采樣響應后的圖像。圖2(c)表明當采樣前MTF截止頻率相較于采樣頻率過小時,引起嚴重的圖像模糊,圖像分辨率下降,同時由于采樣后MTF不是理想的截止濾波器,圖像中存在少量帶外虛假響應,引起輕微的混疊現象。

4.1.2 過大的采樣前MTF截止頻率

當光學衍射截止頻率uo增加時,采樣前MTF的截止頻率也會增加。圖3(a)和(b)中說明了uo=1.5us、ufp=0.5us時的USAF 1951規范圖像一維采樣響應。圖3(c)顯示了USAF 1951規范圖像采樣響應后的圖像。圖3(c)表明當采樣前MTF截止頻率相較于采樣頻率過大時,圖像模糊有所減輕,但是帶外虛假響應和帶內虛假響應導致圖像中出現嚴重的混疊現象,部分圖案發生了變形。

圖3 uo=1.5 us和ufp=0.5 us時的USAF 1951規范圖像的采樣響應

4.1.3 過大的采樣后MTF截止頻率

采樣后MTF由式(9)確定,當顯示器MTF截止頻率ufp增加時,采樣后MTF的截止頻率也會增加。圖4(a)和(b)中說明了uo=us、ufp=1.5us時的USAF 1951規范圖像一維采樣響應。圖4(c)顯示了USAF 1951規范圖像采樣響應后的圖像。圖4(c)表明當采樣后MTF截止頻率相較于采樣頻率過大時,圖像中具有像素化效果的虛假內容,使觀察者很難在視覺上積分潛在的圖像。

圖4 uo=us和ufp=1.5 us時的USAF 1951規范圖像的采樣響應

4.1.4 過小的采樣后MTF截止頻率

當顯示器MTF截止頻率減小時,采樣后MTF的截止頻率ufp也會減小。圖5(a)和(b)中說明了uo=us、ufp=0.5us時的USAF 1951規范圖像一維采樣響應。圖5(c)顯示了USAF 1951規范圖像采樣響應后的圖像。圖5(c)表明當采樣后MTF截止頻率相較于采樣頻率過小時,圖像由于分辨率降低而模糊,同時由于采樣前MTF截止頻率超過了奈奎斯特頻率,圖像中也出現了一定程度的混疊現象。

圖5 uo=us和ufp=0.5 us時的USAF 1951規范圖像的采樣響應

4.2 模糊與混疊

由式(12)可知式(13)中規范圖像的采樣響應結果也包含傳遞相應和虛假響應兩部分。當MTF的截止頻率不同時,對傳遞響應和虛假響應的影響不同。由于式(13)采用封閉形式表示了采樣響應,因此可以對傳遞響應和虛假響應進行理論計算,并對它們對像質的影響進行評價。

可以利用圖像清晰度評價函數說明MTF的截止頻率對模糊的影響。當探測器MTF的截止頻率與平板顯示器MTF的截止頻率相同時,圖像清晰度隨著探測器MTF的截止頻率與光學衍射MTF的截止頻率之間大小關系的變化而變化的曲線如圖6所示。圖像清晰度采用Brenner[13]算子進行評價。圖6表明圖像清晰度隨著光學衍射MTF的截止頻率的減小而減小。

圖6 圖像清晰度與光學衍射MTF截止頻率的關系

可以通過計算各個頻率上所有虛假響應RSS來評價虛假響應對混疊的影響。當探測器MTF的截止頻率與平板顯示器MTF的截止頻率相同時,帶內虛假響應和帶外虛假響應的RSS隨著探測器MTF的截止頻率與光學衍射MTF的截止頻率之間大小關系的變化而變化的曲線如圖7所示。

圖7 帶內和帶外虛假響應的RRS之和與光學衍射MTF截止頻率的關系

圖7表明帶內與帶外虛假響應的RSS之和都隨光學衍射MTF的截止頻率的減小而減小,但是減小的程度不同。當us/uo≈1.5時,帶內虛假響應的RSS之和等于零,表明采樣響應中沒有帶內虛假響應,但是帶外虛假響應的RSS之和不等于零,表明此處依然有帶外虛假響應。當us/uo=2時,帶外虛假響應的RSS之和仍不等于零,但是該值有所減小。

5 結 論

將USAF 1951規范圖像與光電成像系統采樣響應后的生成圖像相比較,可以得到如下結論:當采樣前MTF截止頻率、采樣頻率與采樣后MTF截止頻率之間的關系不同時,采樣響應對像質的影響不同;當需要提高圖像分辨率時,需要適當增加采樣前和采樣后MTF的截止頻率,當需要減小圖像中的混疊現象時,需要適當提高采樣頻率;通過MTF截止頻率對采樣響應的影響的定量分析可知,當探測器MTF截止頻率等于1.5倍的光學衍射截止頻率時,可在圖像模糊與混疊之間取得平衡。