集映射、拓撲交和對影序的存在性

盧美華,高曉波

(1.江西科技學院理科部,江西 南昌 330022;2.江西農業大學計算機與信息工程學院,江西 南昌 330045)

序拓撲理論是當前應用拓撲發展的重要方向,諸多新方法、新思維已經應用于并更新了序拓撲空間、廣義度量空間的理論局面。序拓撲空間及其在經濟領域的應用獲得了國家自然科學基金群聚焦式資助。稍早,師維學在三個國家自然科學項目形成項目群的資助下,解決了序拓撲空間上廣義度量的構造等諸多問題,當然,標度序族的集結不在其自然科學基金群的研究之中[1]。雖然標準形式理性一般能嚴格效用函數化,有限理性也可效用擾動化[2],但序拓撲卻更方便刻畫理性的有限性、不完全性等,特別是集體理性、群理性等等。眾所周知,“共識”作為標度序族的某種一致性也受到廣泛研究,群決策共識和一致性同樣受到國家自然科學基金群的資助下,但從其概念體系到約束體系公理化的研究卻十分不足[3]。即使對各種不同類型序(各種偏好關系),雖然都可以建立迭代算法以確定“共識”,但迭代算法中個體理性、群體理性難以相容,迭代算法破壞著個體理性。文獻[3]總結的系列研究結論,發現符合一般研究范式的“共識理論”應該統一“交互共識”和“優化共識”,本質上通向社會選擇理論,并為社會選擇理論和共識協商形成了概念連接。

事實上,社會選擇理論一直是公理化群序及其集結形式化理論的典范。當前,幾何社會選擇理論和拓撲社會選擇理論確實拓寬了社會選擇理論的進路[4],但是約束公理相容性配置卻一直處于爭執之中[5]。如果分析文獻[3]總結的系列方法,可以發現集結落實到單純算法層面上,則約束公理配置確實是內化到運算之中,從而其一般研究范式具有統一性,但也產生了算法統一性問題。本文力求僅在運算層面上實現概念刻畫和集結特征判斷,并集中考察社會選擇函數集結中的對影判別和性質;一方面,以交運算統一刻畫和描述,形成算法統一性。另一方面,進行序性嚴格化,消除群序集結中形式混亂。其結論可以證明弱序集結空間和強序集結空間構造的等價性,其中的關鍵在于對影分解和結合,理清對影的性質,并合理的判別對影。

1 知識準備和符號說明

在文獻[6]提出了強序新的刻畫。而近期盧進一步提出集序、群序,并基于集序、群序刻畫了偏好集結,獲得了諸多良好得結論[7]。其方法體系是用集值映射刻畫序,在集值映射上裝載各約束形式并對應地刻畫出強序、弱序、全序、偏序,乃至錐序;在集序構造下發現群序集結可等價于群強序集結。同時,高、盧在文獻[8]提出對影概念,并研究了對影判別和性質。而且,盧文獻[7]把集序、群序集結應用于社會選擇理論得基礎構造。這里基礎構造理論聯系廣闊,諾貝爾經濟學獎獲得者馬斯金在機制研究中,從連續統空間得測度等分構造選擇主體,以此構造考察約束公理得強弱,并給出一個約束公理系統得包含關系[9]。一旦采用盧提出得集序、群序方法,約束公理得加載將更為便利。本質上,盧的方法體系是避免約束公理加載而前置在運算層面上考察一般集結性質,這避免了后置約束公理不相容性的缺陷,例如Arrow不可能性。在基本集結性質清晰后,加載約束公理的強弱性就能自明。為此,下面給出基本概念。

關系及其屬性是形式決策理論的起點。給定X集合,以范數|X|表示集合元素個數。設R?X×X,以該子集R表示集合X上元素的關系,若(x,y)∈R,稱x關系R于y,此時也可記為xRy。同時,裝載了關系后集合記為(X,R)。對于(X,R),稱R為自反性關系,若任何x都有xRx。對應地,若任何x都有┒xRx(表示xRx不成立),則可稱R為非自反性關系。稱R為傳遞性關系,若任何x,y,z,由xRy及yRz能推出xRz。稱R為對稱性關系,對任何不同的x、y,xRy能推出yRx;稱R為反對稱性關系,對任何不同的x、y,xRy能推出yRx;稱R為完全性關系,若對任何不同的x、y,xRy能推出┒yRx。另外,基于關系屬性可定義特定關系,例如(X,R)為弱序集,若關系R是自反性、傳遞性關系;而后續主要采用集值映射定義各類關系。

定義1設集合X上集值映射F:X→2X滿足(1)?a∈X,a∈F(a);(2)?b∈F(a)有F(b)?F(a);(3)若┑a∈F(b)則b∈F(a);則稱F:S→2S為集序映射,簡稱為集序,同時記X為(X,F)。

顯然,依據集序把b∈F(a)記為關系ba,則“”是傳遞性關系。另外由“b∈F(a)”推導出“F(b)?F(a)”刻畫了集序映射收縮性,該映射收縮性與關系傳遞性互為判斷,并且映射收縮性刻畫“優向”判斷;反之,映射刻畫集序的擴張性能為關系“劣向”提供判斷。對于(X,F)的X中任何α∈X,記F-1(α)={β|α∈F(β)},映射是擴張的,稱為逆象集。

另外,仍可依據集序來刻畫關系對稱性、關系完全性。例如,稱集序F是對稱的,如果對任何兩個a、b∈X,a∈F(b)能推出b∈F(a);反對稱性即a∈F(b)能推出┑b∈F(a)。稱集序F是完全的,對任何兩個a、b∈X,┑a∈F(b)能導出b∈F(a);集序屬性顯然是自明的。同時,以FX表示X上全體集序形成的集合,稱FX為X的集序空間,簡稱集序空間。顯然,FX={F:X→2X|F滿足a∈F(a),[?b∈F(a)]?F(b)?F(a)}。

為形式化地綜合考慮社會選擇理論、機制設計理論,需要準確定義文獻[9]所指稱的集結,即把一個標度集下的偏好組合映射為社會偏好。為方便直接記V={1,2,…m}直接表示標度集,并定義社會選擇函數如下:

定義2標度集V對集合X建立了集序組合形成組合空間FXV={(F1,F2,…Fm)|Fi∈FX}。即FXV=FX×FX×…×FX為m個FX形成笛卡爾積,并稱FXV為標度集V標度集序空間,簡稱為標度集序空間。在(V,FX)的標度集序空間FXV中,稱SCF:FXV→FX為V標度集下X的群序集結,簡稱群序集結。

文獻[7]采用循環群在等價族上定序,而當采用拓撲運算定序將和和集結具有一致性。為此,本文再提出單元收縮映射保證在等價族上一致性定序。

定義3稱T:2X→2X為單元收縮映射,若T滿足?Λ∈2X有T(Λ)?Λ及|Λ|-|T(Λ)|=1。對于一單元收縮映射T,稱T循環收縮直至形成空集終止而形成的套鏈T(X)、T(T(X))、…、T(…T(X))為T的承接鏈;同時,稱T對A∈2X循環收縮直至形成空集終止而形成的套鏈T(A)、T(T(A))、…、T(…T(A))為(T,A)承接鏈,在自明情形下可簡稱承接鏈。

2 主要結論

一般地,考察偏好集結的社會選擇函數框架為(X,V,FXV,FX),但偏好嚴格化涉及對影集結,從而擴充框架為(X,V,FXV,FX,T)。另外,SCF:FXV→FX中偏好集結需要遵循約束公理,并且,阿羅、森、馬斯金在其諾貝爾獲獎成果中都配置過不同的約束公理系統;為此,既然不研究約束公理的配置合理性,本文僅依據馬斯金在文獻[8]的配置模式記一般性約束公理系統為AS,在考慮集結過程中充分回避配置約束公理僅采用基礎運算進行形成刻畫,將主要形成以下定理。其中,需要運用逆象、單元收縮等運算。

定理1在(X,F)中作F0(α)=F(α)∩F-1(α),則{F0(α)|α∈X}重合合并后能形成X的一個分劃,即X=∪α∈XF0(α),其中并元F0(α)、F0(β)或者交空,或者相等。

證明(X,F)中集序F是自反和傳遞的,則?α∈X都有α∈F(α),從而有α∈F-1(α)。綜合則有α∈F(α)∩F-1(α),也即α∈F0(α),則任何F0(α)都非空;由以上α的任意性,必有X?∪α∈XF0(α),那么必然是X=∪α∈XF0(α)。余下要證明{F0(α)|α∈X}能形成X的一個分劃,其關鍵在于證明任何兩個有差異的F0(α)交空。

?α、β∈X考察F0(α)、F0(β)。情形一,若F0(α)∩F0(β)=?,即兩者已交空。情形二,若F0(α)∩F0(β)≠?,則需證明F0(α)=F0(β),即F0(α)、F0(β)有沒有差異。

為此,設F0(α)∩F0(β)≠?,則可取定c∈F0(α)∩F0(β)并考慮兩個方面。一方面,對任意一個η∈F0(α),可證明必然有η∈F0(β)。由于c∈F0(α)及η∈F0(α)可以展開為c∈F(α)、α∈F(c)、η∈F(β)、α∈F(η),那么可以形成不同組合。由組合α∈F(c)、η∈F(α)并利用集序收縮性必然有η∈F(c);而再由c∈F(α)、α∈F(η)同樣利用集序收縮性可得到c∈F(α)?F(η)即c∈F(η)。另一方面,由η∈F(c)、c∈F(η)及c∈F(β)、β∈F(c)也可以構造不同組合并運用集序收縮性,則有η∈F(c)、c∈F(β)?η∈F(β);c∈F(η)、β∈F(c)?β∈F(η)。這就有η∈F(β)、β∈F(η),也就是有η∈F(β)、η∈F-1(β),即η∈F(β)∩F-1(β),從而證明了η∈F0(β)成立。于是必然有F0(α)?F0(β)成立?？紤]到證明過程的對稱性,同樣的道理必有F0(β)?F0(α)。結合已證結論,全面綜合后必然有F0(α)=F0(β)成立。

綜合以上整個證明,顯然定理1成立。

一般地,按文獻稱{F0(α)|α∈X}為(X,F)等價族劃分。同時有文獻證明{F0(α)|α∈X}形成劃分可以用(∩γ∈Λ0F(γ))及各F-1(a)形成非空最小收縮方式達成。該定理中,F0(α)∩F0(β)≠?能推導到F0(α)=F0(β),這和該文獻中的非空最小收縮子的結論是一致的。另外,從集序空間FX與空間RX的等價性上,后續研究僅僅只需在集序空間FX上進行即可。進一步,考慮集序空間FX形成劃分的集序特征,任何集序F對X的劃分只能是兩種情形,即從F0(α)來看,或者F0(α)={α}為單點集,或者F0(α)={α、…、β}為非單點集。在單點集F0(α)={α},文獻[8]對影是簡單的,其對影集結困難性源于非單點集F0(α)={α、…β}。同時,文獻[8]正是依據對影集結發現了社會選擇函數面臨孔多塞循環時可能導致集結不可能性,這一情形揭示了孔多塞循環和輪換循環之間存在本質聯系;孔多塞循環就是多次輪換的推廣。文獻[8]在構造對影φαβR=時,其要點在于A/～={Λ1、Λ2、…、Λk}的商空間上分析A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk的構成,在非單點的Λ上才需要對影構造。而一旦嚴格以運算進攻相關刻畫,在(X,F)上作{F0(α)|α∈X}劃分,并不需要繁復地定義對影,而直接運算出對影來。

下面依據文獻[8]給出對影偏好的定義,對(X,F)采用集序刻畫劃分對{F0(α)|α∈X}中非單點集F0(α)中任何兩點α、β的對影如下:稱集序對為F在兩點α、β上的有序對影集序,簡稱對影,記為φαβF=,并分別稱F+、F-為左右分影,若F+、F-滿足:(1)任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)=?,若γ∈F(η)(此時必有η?F(γ))則對F+、F-分別規定,γ∈F+(η)、η?F+(γ)以及γ∈F-(η)、η?F-(γ);(2)任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)≠?,且F0(γ)∩F0(α)=?,則對F+、F-分別規定,γ∈F+(η)、η∈F+(γ)及γ∈F-(η)、η∈F-(γ);(3)任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)≠?,且F0(γ)∩F0(α)≠?。由于F0(γ)=F0(η)=F0(α)=F0(β)且γ、η、α、β∈F0(α),此時對F+、F-兩方面分別規定:一方面,β∈F+(α)、α?F+(β),其他任何不同于α、β的γ∈F0(α),β∈F+(γ)、γ∈F+(β);另一方面,α∈F-(β)、β?F-(α),其他任何不同于α、β的γ∈F0(α),β∈F-(γ)、γ∈F-(β)。

以上定義φαβF=是基于集序F決定的分劃中一個具體分劃集中確定的兩個等價元而形成的對影;當然,其中選擇的兩個等價元α、β具有自由度,并且后續將看到按對影定義取定的等價元α是實質性的,本質上φαβF可記為φαF。另外,其中獲得的對影中兩個分影都為集值映射,而且F+∈FX、F-∈FX,即F+、F-也在集序空間之中。由F+∈FX,也可再選定集序F+決定的分劃中一個具體分劃集中任意確定的兩個等價元而形成的對影,具有左右分影;這里任意等價元確定后,由F-∈FX,集序F-決定的分劃和F+決定的分劃是相同的分劃,F-依據已經確定了兩個等價元也可形成的對影,具有左右分影。顯然,F+的左分影和F-的右分影能形成對影,這在文獻[8]中已經證明。累次把對影的左右分影做對影分解,左分影的下次左分影和右分影的下次右分影未必能形成對影,但是左右分影決定的劃分是相同的,只要以相同的確定等價元作下次的左右分影,下次左分影和下次右分影能構造出對影。為此,文獻[8]提出了整個F的對影φ(F)。顯然,整個F的對影φ(F)在F決定的分劃中具有自由度,從而造成構造路徑的分歧。

顯然,以輪換映射來構造偏好序的對影,十分繁復,但以一個具體的T:2X→2X單元收縮映射來構造整個F的對影φ(F),其中等價元的選擇也具有自由度,表現為T:2X→2X單元收縮映射的自由性。但是,只要T:2X→2X單元收縮映射前置性確定了,整個F的對影φ(F)是確定的。為此,采用單元收縮映射構造和刻畫對影是確定的并且非常簡單。為方便論證,先給出單元收縮映射的一個引理。

引理在(X,F)上以{F0(α)|α∈X}形成X的分劃上取Λ∈{F0(α)|α∈X}。若Λ為非單點集,不妨設β、γ∈Λ,并作F在兩點β、γ上的有序對影集序φβγF=,則{{F0(α)|α∈X}Λ}∪{β}∪{Λβ}同時為兩個集序(X,F+)等價族劃分和(X,F-)等價族分劃。而Λ為非單點集記T(Λ)=Λ{β},Λ為單點集,記T(Λ)=?,則可擴出某個單元收縮映射T:2X→2X。

該引理無需證明。按照文獻[8],以及本文對影形成集序刻畫,引理是自明的。而采用R及″″等符號定義對影必須依據兩元刻畫并記φαβFφβγF,但從{{F0(α)|α∈X}Λ}∪{β}∪{Λβ}來看φβγF可記為φβF,后續集序方法構造更為便利,為此采用單元對影也更準確,從而采用之。同時,這個引理說明:一個對影中的左右分影形成的等價族分劃是相同的,一個對影還精細化了和細化了等價族分劃。對影的逐步分影分解正對應著等價族分劃的細分過程。如果,考慮單元收縮映射和等價族分劃,顯然不同的單元收縮映射可能在對影分解為左右分影中產生相同的收縮效果。這說明單元收縮映射的構造比對影分解構造更為廣泛。

在(X,F)上加載某單元收縮映射T:2X→2X,取Λ∈{F0(α)|α∈X}為X分劃的一個等價族,記supΛ=F(ΛT(Λ))F0(ΛT(Λ),并記F+:X→2X和F-:X→2X如下:

(1)

(2)

定理2在(X,F)上加載某個單元收縮映射T:2X→2X,在Λ∈{F0(α)|α∈X}取ΛT(Λ)=α,則由式(1)、式(2)決定的=φαF。式(1)、式(2)構造了F在點α上的有序對影集序。

證明按定理結論,需要證明式(1)、式(2)中集值映射是集序,并且構成的對影。本質上,明式(1)、式(2)的構造中實在F(x)收縮,即總有F+(x)?F(x)、F-(x)?F(x)成立。

先證明式(1)、式(2)中F+:X→2X、F-:X→2X為集序,即要整證F+、F-適合自反性、完全性和傳遞性。以F+為例試證,由于?x∈X,x∈F(x),注意到式(1)中F+(x)三個部分,故而只需考慮x∈T(Λ)情形。再按定理2中標定的ΛT(Λ)=α,而又按單元收縮映射定義,T(Λ)=Λα,故x∈T(Λ)情形中x≠α,其F+(x)對應情形F(x){ΛT(Λ)}中僅排除ΛT(Λ),即僅排除α,而沒有排除x。故x∈F(x)仍保證了x∈F(x){ΛT(Λ)}。故而,式(1)定義的F+(x)的三種情形都適應x∈F+(x),適合自反性。

再證式(1)定義的F+(x)適合傳遞性,即要證?x∈X以及其中任何η∈F+(x),均有F+(η)?F+(x)。同樣要注意式(1)中F+(x)三種情形,前兩種情形中F+(x)=F(x),而式(1)中構造性總能保證F+(η)?F(η)成立,從而對于式(1)中F+(x)前兩種情形x?Λ或x=ΛT(Λ)=α中,總有F+(η)?F(η)?F(x)=F+(x)成立,即總有F+(η)?F+(x)。為此,只要證明式(1)中F+(x)為式(1)第三種x∈T(Λ)情形,F+(x)也適合傳遞性。此時F+(x)在F(x)上收縮了,但僅僅只收縮了單點,即F+(x)=F(x){ΛT(Λ)}=F(x)α。從而,考察x∈T(Λ)時的任何η∈F+(x)及對應F+(η),若F+(η)本身不含α(即α?F+(η)),結合F+(η)?F(η)性質,總有F+(η)?F(η)?F(x),必然有F+(η)?F(x)α,那么F+(η)?F+(x)已經成立。

而當x∈T(Λ)及η∈F+(x)時,若F+(η)本身包含α(α∈F+(η)),那么由式(1)中F+(x)構造的第三情形中F(x){ΛT(Λ)}排除了α,所以此時F+(η)不在式(1)的F+(x)構造第二情形中,即η≠α(即ΛT(Λ));此時,只能是η∈T(Λ)或η?Λ,對應記為第一種情況、第二種情況;并且后續將證明這里第二種情況將產生矛盾,從而只能是第一種情況。對于第一種情況η∈T(Λ),F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}排除α,這就矛盾與F+(η)本身包含α。從而只能是第二種情況η?Λ,而且x∈T(Λ)及η∈F+(x),α∈F+(η),這將導致矛盾。因為η?Λ,Λ是在(X,F)等價族劃分之中,既然ΛT(Λ)=α,α∈Λ,Λ=F0(α)=Λ=F(α)∩F-1(α),從而η?F0(α)中是η?F(α)或者η?F-1(α),不過其中的“η?F(α)”可以排除。為排除“η?F(α)”,結合x∈T(Λ)及η∈F+(x),x∈T(Λ)?Λ=F0(α)保證了x∈F(α)且α∈F(x),而集序又保證了F(x)?F(α)且F(α)?F(x),則F(x)=F(α)。再由η∈F+(x)?F(x),結合F(x)=F(α),排除“η?F(α)。從而η?F0(α)中只能是η?F-1(α)。

在第二種情況η?Λ下,只能是η?F-1(α),結合集序F的完全性,η?F-1(α)推導出α?F(η),那么F+(η)?F(η),那么α?F+(η)這直接于在第二種情況的前提假設α∈F+(η)矛盾。于是,第二種情況并不出現。第一種情況F+已經適合了傳遞性。

綜上所述,在F+的三種構造情形種,F+確實都是適合傳遞性的。下面證明F+適合完全性。為此,取任意的γ、η∈X,并設┑γ∈F+(η),只需要證明η∈F+(γ)。┑γ∈F+(η)按式(1)的F+三種構造,即第一種情形η?Λ,F+(η)=F(η)時┑γ∈F+(η);第二種情形η=ΛT(Λ)=α,,F+(η)=F(η)時┑γ∈F+(η);第三種情形η∈T(Λ),,F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}時┑γ∈F+(η)。

第一種情形η?Λ,F+(η)=F(η)時┑γ∈F+(η),當然┑γ∈F(η),那么由F完全性,η∈F(γ);再由η?Λ,η≠α,則η∈F(γ)α,從而無論F+(γ)處于式(1)的何種情況都有η∈F+(γ)。

第二種情形η=ΛT(Λ)=α,,F+(η)=F(η)時┑γ∈F+(η);當然┑γ∈F(η)(也即┑α∈F(η)),那么由F完全性有η∈F(γ)(也即α∈F(γ));按式(1)F+三種情形考察F+(γ),前兩種情形在F+(γ)=F(γ),總有η∈F+(γ)成立。而一旦F+(γ)按第三種情形構造時,當然為γ∈T(Λ)(即γ∈Λ且γ≠α)F+(γ)=F(γ)α,但這將不會出現。因為此時,γ∈T(Λ)中雖然實質上γ∈Λ且γ≠α,但按照Λ等家族的屬性,γ∈T(Λ)顯然與┑γ∈F(η)本身矛盾;畢竟,γ∈T(Λ)保證了γ∈T(Λ)?Λ=F0(α)?F(α)=F(η)。

第三種情形η∈T(Λ),F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}時┑γ∈F+(η)。這時,即使γ∈F(η)也會出現γ=α而導致┑γ∈F+(η),但這是仍然可證η∈F+(γ)。因為在γ=α時,η∈T(Λ)由Λ是等價族F0(α),這至少保證了η∈F(α),以及由η∈T(Λ)推出η≠α,從而η∈F(α)α,結合γ=α,當然有η∈F(γ)α,那至少在γ按式(1)第三情形也有η∈F+(γ)。

而第三種情形η∈T(Λ),F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}時┑γ∈F+(η),即使γ≠α,也可證明η∈F+(γ)。顯然,若γ≠α時┑γ∈F+(η)在即使其中F+(η)擴充α也成立,即┑γ∈(F+(η)∪{α})成立,則按式(1)構造,無論何種的T(γ)都會有┑γ∈F(η)成立。那么由集序F的完全性,┑γ∈F(η)保證了η∈F(γ),再結合η≠α,當然有η∈F(γ)α。于是按式(1)無論何種形式F+(γ)時,都有η∈F+(γ)。

合并以上三種情形的論證,都有┑γ∈F+(η)能導出η∈F+(γ),F+的完全性得證。

綜上所述,F+是適合自反性、傳遞性、完全性,那么“F+是集序”成立。

如果比較式(1)的F+構造和式(2)的F-構造,F+與F-都是在F的特定點上壓縮,F+是特定點上一次壓縮,而F-是在特定點上多次壓縮。一方面,從對稱性上可以斷定F-集序;另一方面,在α上逐次特定壓縮F,按照以上證明都保證了每次壓縮后的集序性,也可以斷定F-集序。

余下即證明=φα(F)即可。依據文獻[7]對影定義比較繁瑣,而直接從對應的集序刻畫的定義則極為方便。為此,證明=φα(F)只需以及對影集序特征,充分分析式(1)式(2)的構造即可,也即分三種情況分析即可。

按對影集序:(1)若任何γ、η滿足F0(γ)∩F0(η)=?,則顯然γ、η不同時在Λ(即F0(α))之中。若γ、η都不在Λ中,按式(1)、式(2)規定的F+(γ)=F-(γ)=F(γ)以及F+(η)=F-(η)=F(η),顯然由γ∈F(η)(此時必有η?F(γ))能導出γ∈F+(η)、η?F+(γ)以及γ∈F-(η)、η?F-(γ)。而即使若γ、η只有一個在Λ中,以γ∈Λ而η?Λ為例,按式(1)、式(2)規定的F+(η)=F-(η)=F(η),顯然由γ∈F(η)(此時必有η?F(γ))仍然能導出γ∈F+(η)、η?F+(γ)以及γ∈F-(η)、η?F-(γ)。

按對影集序:(2)若任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)≠?,且F0(γ)∩F0(α)=?;此時必有F0(γ)=F0(η),F0(γ)∩F0(α)=?,F0(η)∩F0(α)=?,這將有γ、η都不在Λ中。按式(1)、式(2)規定的F+(γ)=F-(γ)=F(γ)以及F+(η)=F-(η)=F(η),結合F0(γ)=F0(η)直接就γ∈F+(η)、η∈F+(γ)以及γ∈F-(η)、η∈F-(γ)。

按對影集序:(3)若任何γ、η為不同元素,滿足F0(γ)∩F0(η)≠?且還滿足F0(γ)∩F0(α)≠?時,則F0(γ)=F0(η)=F0(α)且γ、η、α∈F0(α),F0(α)=Λ。此時,按式(1)、式(2)規定F+(γ)、F-(γ)可能會不等于F(γ),F+(η)、F-(η)可能會不等于F(η),需要分類判斷式(1)、式(2)的F+、F-能否符合對影的集序特征。

此時,既然γ、η、α∈F0(α)=Λ,那么,可能γ、η≠α,或者γ、η僅一個為α。先考慮當γ、η≠α時,即γ、η∈T(Λ),按照式(1)、式(2)的構造,有F+(γ)=F(γ)α、F+(η)=F(η)α,而F-(γ)=F(γ)、F-(η)=F(η)。一方面,顯然有γ、η∈F0(α)?F(α)=F+(α),但α?F+(γ)=F(γ)α,α?F+(η)=F(η)α,并且結合以前結論F(γ)=F(η)=F(α),并即使F(γ)、F(η)都排除α后得到F+(γ)、F+(η),但結合γ、η≠α,仍然有η∈F+(γ)、γ∈F+(η)成立。另一方面,由于有F-(γ)=F(γ)、F-(η)=F(η),同樣結合以前結論F(γ)=F(η)=F(α),α∈F(α),并再次注意到F-(α)=F(α)T(Λ),從而有α∈F-(γ)、α∈F-(η)及γ、η?F-(α),以及η∈F-(γ)、γ∈F-(η)同時成立。

再考慮γ、η僅一個為α,例如以γ≠α、η=α為例,但此時按“對影集序刻畫”需要驗證得“集序關系”事實上都在論證中得以驗證了。從而,更符合“對影定義”。

從而式(1)、式(2)所規定得F+、F-確實適合對影定義”,=φαF。

全面綜合以上所述,本定理得證。

定理3在(X,F)形成的集序空間FX上,對于任何一個集序F∈FX,均有F的對影φ(F)=存在。同時,對影φ(F)中并不唯一,可以以單元縮減構造。

說明,本定理是定理2的順延,無需特別證明。只要把定理2中的單點對影構造φαF進行逐次循環構造即可,也即累次把對影的左右分影做對影分解,左分影的下次左分影和右分影的下次右分影未必能形成對影,但是左右分影決定的劃分是相同的,只要以相同的確定等價元作下次的左右分影,下次左分影和下次右分影能構造出對影。

3 余論

上文考察了社會選擇函數集結中的對影的構造和部分性質,其中對影中的左右分影能到序向的嚴格化。這就給出了弱序偏好的強序化路徑,強序化為分影偏好,但集結中的一個弱序是等價于一組強序。上文通過分析對影的部分基本性質,在對影的判別中是可以聯系孔多塞循環和輪換,但是,在對影構造上單元收縮映射更為普遍,在對影判別上輪換、等價族分解卻更為方便。

另外,從文獻[3]總結的系列方法,以及文獻[12]的投影分析上,可以發現集結落實到單純算法層面上,則約束公理配置確實是內化到運算之中,從而其一般研究范式具有統一性,但也產生了算法統一性問題。僅在運算層面上實現概念刻畫和集結特征判斷,顯然能解決群決策中約束公理配置的混亂。例如,如果進一步完善偏好的嚴格化構造,則文獻[14]所討論的不完全偏好下的決策能完美解決了?；谝陨贤負錁嬙斓奶剿?后續進一步開拓共識的算法研究具有廣闊的前景,文獻[15]中的一些共識算法可再粗糙地構造,從而具有更普遍地適用性。