t-extending模的直和

李煜彥,何東林

(隴南師范高等?？茖W校數學與信息科學學院,甘肅 隴南 742500)

模及其相關問題受到許多作者的關注[1-8]。稱M是extending模,如果M的每個閉子模是M的直和因子。2011年,Asgari和Haghany[9]引入了t-extending模的概念,它是extending模的一個推廣,文中研究了t-extending模的性質及等價刻畫。隨后2013至2019年期間,Asgari等人[10-13]在t-extending模的基礎上又相繼研究了t-半單模,t-連續模和t-擬連續模,討論了這些模類的性質,分別給出了它們的等價刻畫。特別地,作者證明了M是t-extending模(t-半單模,t-連續模,t-擬連續模)當且僅當M=Z2(M)⊕M′,其中M′是非奇異的extending模(半單模,連續模,擬連續模)。受此啟發,本文提出了t-補子模的概念,研究了t-extending模的直和分解,證明了M=⊕i∈IMi(|I|≥2)是t-extending模的兩個等價條件。

1 預備知識

下面給出本文所用到的一些基本結論。

引理1[9]以下對模M等價:

1)M是t-extending模;

3)M=Z2(M)⊕M′,其中M′是(非奇異) extending模;

4)M的包含Z2(M)的任意子模是其直和因子的本質子模;

5)對任意N≤M,存在M的直和因子K,使得N≤tesK;

引理2[10]M的任意子模都存在t-閉包。

2 主要結果

定義1設K,N≤M,稱K是N在M中的t-補,如果K是{L≤M|L∩N≤Z2(M)}中的極大元。稱A是M的t-補子模,如果存在B≤M,使得A是B在M中的t-補。

由[9],[10]和引理2易得如下結論。

推論1C是M的t-閉子模當且僅當C是M的t-補子模。

推論2M的任意子模都存在t-補。

推論3若M是非奇異模,則

1)C是M的t-本質子模當且僅當C是M的本質子模;

2)C是M的t-補子模當且僅當C是M的補子模。

下面例子說明t-閉子模是閉子模,但反之未必。從而由推論1知,t-補子模是補子模,但反之未必。

由于內射模是extending模,故內射模是t-extending模。下面討論t-extending模的直和因子的內射性。

性質1設M=M1⊕M2,且M是滿足(C3)條件的t-extending模。若M1是非奇異的,則M1是M2-內射的。

證明對任意N≤M2以及任意R-同態映射f:N→M1。令W={x-f(x)|x∈N},則W≤M,且W∩M1=0。由Zorn’s引理,存在M1在M中的t-補L,使得W?L,且L∩M1≤Z2(M)。由于M1是非奇異的,故L∩M1是Z2-撓且非奇異的,從而L∩M1=0。由M是t-extending?？芍?L是M的直和因子。又M滿足(C3)條件,于是L⊕M1是M的直和因子。設存在H≤M,使得M=(L⊕M1)⊕H=M1⊕(L⊕H)。令π:M→M1是自然投射,則W?Kerπ=L⊕H。于是對任意x∈N,易知下面等式成立:π(x)=π(x-f(x)+f(x))=π(f(x))=f(x)。

從而有如下交換圖:

圖1 交換圖F

即π|M2是f的擴張,所以M1是M2-內射的。

由性質1,易得下面結論。

推論4若M是滿足(C3)條件的t-extending模。則存在M的直和因子N,使得M=Z2(M)⊕N,且N是Z2(M)-內射的。

證明因為M是t-extending模,由引理1知,存在M的直和因子N,使得M=Z2(M)⊕N,其中N是非奇異的extending模。于是由性質1知,N是Z2(M)-內射的。

下面例子將說明t-extending模的直和未必仍是t-extending模。

例2設R=Z[x]。由[9]知,RR是extending模,但(R⊕R)R不是extending模。由于R是右非奇異的,故RR是t-extending模,但(R⊕R)R不是t-extending模。

一個自然地問題是,什么情況下t-extending模的直和扔是t-extending的?下面先給出兩個模的直和是t-extending模的充分條件。

性質2設M=M1⊕M2。若M1是非奇異的t-extending模,M2是Z2-撓的,則M是t-extending模。

證明設N≤tcM,由[9]引理2.5知,Z2(M)=Z2(M1⊕M2)≤N。因為M1是非奇異的,M2是Z2-撓的,所以Z2(N)=Z2(M)=Z2(M1)⊕Z2(M2)=M2,從而

N=N∩(M1⊕M2)=N∩(M1⊕Z2(N))=

Z2(N)⊕(N∩M1)=M2⊕(N∩M1)

設L≤M1且N∩M1≤tesL,由[10]推論1.2知,N=M2⊕(N∩M1)≤tesM2⊕L。因為N≤tcM,所以N=M2⊕(N∩M1)=M2⊕L。從而N∩M1=L,即N∩M1是M1的t-閉子模,因此N∩M1是M1的直和因子。設H≤M1,使得M1=H⊕(N∩M1),則M=H⊕(N∩M1)⊕M2=H⊕N。即N是M的直和因子,從而M是t-extending模。

事實上,性質2中的條件“M1是非奇異的”是可以去掉的。于是有下面結論。

推論5設M=M1⊕M2。若M1是t-extending模,M2是Z2-撓的,則M是t-extending模。

綜上所述,M是t-extending模。

引理3[15]設M=M1⊕M2,其中Mi(i=1,2)是extending模。則M是extending模當且僅當對M的任意閉子模K,若K∩M1=0或K∩M2=0,則K是M的直和因子。

下面考慮t-extending模保持直和的問題。

定理1設M=M1⊕M2,其中Mi是t-extending模,且Mi=Z2(Mi)⊕Ni(i=1,2)。則M是t-extending模當且僅當對任意K≤tcN1⊕N2,若K∩N1=0或K∩N2=0,則K是M的直和因子。

證明必要性,設M是t-extending模,K≤tcN1⊕N2。則M=M1⊕M2=(Z2(M1)⊕N1)⊕(Z2(M2)⊕N2)=Z2(M1⊕M2)⊕(N1⊕N2),由[9]知,N1⊕N2是t-extending模,所以K是N1⊕N2的直和因子。從而K是M的直和因子。

充分性,設對任意K≤tcN1⊕N2,若K∩N1=0或K∩N2=0,則K是M的直和因子。由于Mi(i=1,2)是t-extending模,由引理1(3)知,N1和N2都是extending模。又因為K是N1⊕N2的閉子模,所以由引理3知,N1⊕N2是extending模,因此N1⊕N2是t-extending模。由于M=Z2(M1⊕M2)⊕(N1⊕N2),由推論5知,M是t-extending模。

定理2設M=⊕i∈IMi(|I|≥2)。則以下等價

1)M是t-extending模;

2)存在i≠j∈I,使得對M的任意t-閉子模K,若K∩Mi≤Z2(M)或K∩Mj≤Z2(M),則K是M的直和因子;

3)存在i≠j∈I,使得Mj或Mi在M中的任意t-補是t-extending模且是M的直和因子。

證明(1)?(2)顯然成立。

(2)?(3)設K是Mi在M中的t-補,則K∩Mi≤Z2(M)。由(2)知,K是M的直和因子。設L≤tcK,由[9]知,L≤tcM。而L∩Mi?K∩Mi≤Z2(M),由(2)知,L是M的直和因子,故也是K的直和因子。從而K是t-extending模。

(3)?(1)設N≤tcM,引理2知,存在L≤N,使得L是N∩Mi在N中的t-閉包。于是0=(N∩Mi)∩Mj≤tesL∩Mj,L∩Mj≤Z2(L)≤Z2(M)。由推論2,存在Mj在M中的t-補E,使得L?E。由(3)知,E是t-extending模且是M的直和因子。易知L≤tcM,由[9]性質2.8知,L≤tcE。所以L是E的直和因子,從而L是M的直和因子。設存在L′≤M,使得M=L⊕L′,則N=L⊕(N∩L′)。于是存在K≤N,使得K是N∩L′在N中的t-閉包。易知K∩L≤Z2(K)≤Z2(M),且K=K∩N=(K∩L)⊕(N∩L′)。下證K∩Mi≤Z2(M),從而可得K是Mi在M中的t-補。設m∈K∩Mi,則m=a+b,其中a∈K∩L,b∈N∩L′。因為K∩L≤Z2(M),所以存在I≤tesR,使得aI=0。于是mI=bI∈(N∩L′)∩Mi=0。從而b∈Z2(N∩L′)=0,即m=a∈Z2(M)。由(3)知,K=(K∩L)⊕(N∩L′)是M的直和因子,故N∩L′是M的直和因子。從而N=L⊕(N∩L′)是M的直和因子。

定理3設M=M1⊕M2,其中Mi是t-extending模,且Mi=Z2(Mi)⊕Ni(i=1,2)。若以下兩條分別成立,則M是t-extending模。

1)Ni(i=1,2)是相互內射的;

2)對任意L1≤N1,L2≤N2,都Hom(L1,N2)=0和Hom(N1,L2)=0。

證明1)設Ni(i=1,2)是相互內射的。由于M=Z2(M1⊕M2)⊕(N1⊕N2),由推論5知,只需證N1⊕N2是t-extending模。設K≤tcN1⊕N2,且K∩N1=0。由[15]引理7.5知,存在L≤N1⊕N2,使得N1⊕N2=N1⊕L,且K?L,故N2?L。由[9]性質2.14知,N1和N2都是t-extending模,從而L是t-extending模。于是由[9]推論2.8知,K是L的直和因子,從而K是N1⊕N2的直和因子。即N1⊕N2是t-extending模。類似地,若K≤tcN1⊕N2,且K∩N2=0,則N1⊕N2是t-extending模。

2)設K≤tcM,且K∩M1≤Z2(M)。由[9]知,Z2(M)≤K。于是Z2(M1)?M1∩K?M1∩Z2(M)=Z2(M1),因此Z2(M1)=M1∩K。從而N1∩K=N1∩Z2(M1)=0。于是K=K∩(Z2(M)⊕(N1⊕N2))=Z2(M)⊕(K∩(N1⊕N2))=Z2(M)⊕W,其中W=K∩(N1⊕N2)。由于K≤tcM,由[9]性質2.9可得,W=K∩(N1⊕N2)≤tcN1⊕N2。令πi:N1⊕N2→Ni(i=1,2)是標準投射,則Ker(π2|W)=(Kerπ2)∩W=N1∩W=N1∩K=0。故π2|W:W→N2是單同態。因為π1|W=π1(π2|W):π2(W)→N1,由假設Hom(π2(W),N1)=0,所以π1(W)=0,因此W?Kerπ1=N2。由引理1知,N2是extending模,故W是N2的直和因子,因此W是M的直和因子。從而K=Z2(M)⊕W是M的直和因子。由定理2知,M是t-extending模。