電磁軌道炮導軌身管系統動力學分析

江鎮宇,于海龍,何 斌,靳 展

(南京理工大學 發射動力學研究所,江蘇 南京 210094)

電磁軌道炮發射過程中,伴隨著電樞的高速運動,復雜環境載荷將會對裝備造成多場耦合、超強瞬態、幅值巨大的沖擊作用[1-2]。為了設計出既能保證樞軌間有足夠的接觸力,又能保證不會因溫度過高、受力過大而導致系統結構破壞,研究發射狀態下的導軌身管發射裝置動力學非常必要。

多體系統傳遞矩陣法(multibody system transfer matrix method,MSTMM)是近二十多年來提出并不斷完善的一種多體系統動力學數值計算方法。利用MSTMM對多體系統動力學進行數值計算時無需建立系統總體動力學方程,所涉及的矩陣階次與系統的自由度數無關,可顯著提高多體系統動力學數值計算效率,為復雜機械系統動力學的快速數值分析與優化設計帶來了方便[3]。本文采用MSTMM求解電磁軌道炮系統導軌身管的振動特性及動態響應。

為了保證電磁軌道炮的射擊精度,發射過程中軌道的位移要控制在一定范圍內。目前,研究人員對于電磁炮系統建模與數值仿真主要聚焦于電磁炮的發射機理,因此主要仿真分析電樞軌道或者電樞線圈系統。TZENG等[4]將軌道建模為彈性地基上的歐拉梁模型;劉文等[5]利用分離變量法和計入阻力的拉格朗日方程,推導出軌道受任意指數函數磁壓力的控制方程的解析解;文獻[6]給出了軌道的機電耦合動力學方程,分析了軌道對運行電磁力的強迫響應;LEE等[7]利用彈性基礎上的Timoshenko梁模型分析了電磁炮軌道在移動電樞和電磁力作用下的動態響應;田振國[8]得到發射狀態下復合導軌的動態響應,分析發現電樞壓力對軌道變形的影響遠大于軌道間斥力的影響;CHE等[9]建立了電磁炮軌道在不同約束條件和預緊力作用下的三維有限元模型,討論了不同約束和預緊力對固有頻率、振形函數的影響;XU等[10-11]建立了軌道炮系統機電耦合參數振動方程,發現隨著動態電流幅值和電樞與炮口距離的增大,系統振動的不穩定區域增大;蔡喜元[12]將軌道炮發射身管簡化為彈性基礎上雙層歐拉梁模型,分析了不同結構參數和材料性能對身管振動特性的影響機理;DU等[13-14]基于彈性基礎上的歐拉梁理論提出了考慮彈丸運動的軌道振動模型,給出了樞軌動態電磁接觸力的解析模型;ZHANG[15-16]利用非線性有限元模型研究電磁軌道炮導軌的動態特性,詳細分析了脈沖電源參數和軌道尺寸對電磁軌道炮性能的影響;LU[17]分析了連續放電和連續發射條件下導軌的內彈道性能,確定了軌道的動態響應不受上一次發射的影響的發射間隔為1 s;何威等[18]求解了懸臂式雙層彈性基礎梁模型在電磁力和電樞力作用下的位移和應力的解析解,并用ANSYS數值分析結果驗證了解析解的正確性;沈劍[19-20]基于Timoshenko梁建立了電磁炮發射過程的彈炮剛柔耦合多體動力學模型,獲得了在考慮身管和導軌柔性變形時超高速彈丸膛內的基本動力學特性。

目前建立的電磁軌道炮導軌身管模型大多忽略了上下導軌結構實際情況中的非對稱性,同時將導軌外支撐身管簡化為邊界條件,與實際情況有一定差異。本文考慮上下導軌彈性支撐參數、空間位置及力學參數非對稱性的影響,將上下兩根導軌視為平面橫向振動的梁,導軌至軌道炮外層的其余部分視為兩彈性支撐作用下的橫向振動梁,三梁之間通過分布彈性作用耦合;電路電源提供的脈沖電流在樞軌求解域內傳導并感應出磁場,利用畢奧-薩伐爾定律獲得域內電磁規律,進而得到導軌-導軌及導軌-電樞間的電磁力;利用MSTMM,以電磁力為激勵源,推導三梁模型系統的動力學方程,利用模態疊加法求解導軌身管系統在重力及時變電磁力作用下的動態響應。

1 導軌身管振動特性

1.1 導軌身管系統振動模型

典型電磁軌道炮身管橫截面如圖1所示。電磁軌道炮炮身一般由上下導軌、封裝、支撐體、填充體和復合材料組成。將外層復合材料、封裝、填充體和支撐體合稱為身管。為了便于分析,做如下基本假設:

圖1 某型電磁軌道炮炮身橫截面示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cross-section of a certain type of electromagnetic railgun barrel

①由于通常導軌和身管的長細比較大(長度與特征寬度之比大于150),假設將其建模為Euler-Bernoulli梁,忽略橫向剪切變形的影響;

②由于封裝的緊密支撐,忽略導軌身管的軸向位移;

③將導軌與身管間的彈性相互作用視為分布彈簧;

④考慮實際系統上下導軌結構的非對稱性。

將導軌身管系統按照連接狀態分為五部分,以一體化發射單元的運動方向作為系統各部分之間的傳遞方向,根據多體系統傳遞矩陣法“體”和“鉸”統一編號的原則,地面邊界編號為0,系統各部分依次從1到5進行編號。上下導軌與身管間的支撐體看作是分布彈簧,將地面支撐視為作用在身管特定位置處的彈性支撐力,建立電磁軌道炮導軌身管三梁發射動力學模型,如圖2所示。圖中,m1,m2,m3分別為上導軌、身管、下導軌的線質量;E1I1,E2I2,E3I3分別為上導軌、身管、下導軌的橫截面抗彎剛度;L1,L2,L3分別為系統第一部分、第二部分、第三部分的長度;y1(x,t),y2(x,t),y3(x,t)分別為上導軌、身管、下導軌的撓度;k1為上導軌與身管間彈性剛度;k2為下導軌與身管間彈性剛度;k3為身管與地面間支撐剛度。

圖2 某型電磁軌道炮導軌身管三梁發射動力學模型Fig.2 Launch dynamics model of a certain type of electromagnetic railgun rail barrel

1.2 導軌身管系統傳遞矩陣

選取模型中每根梁物理坐標下的狀態矢量為(yθzmzqy)T。y為橫向位移在慣性系中的坐標,θz為軸線繞z軸的角位移,mz為橫截面所受彎矩,qy為橫截面所受剪力。無阻尼自由振動導軌身管系統的響應可由模態疊加求解,若某階模態下系統固有頻率為ω,則對應狀態矢量可表示為

(1)

式中:Y,Θz,Mz,Qz為模態坐標下的狀態矢量,分別對應物理坐標下的狀態矢量;下標j=1,2,3,分別代表上導軌、身管和下導軌。則導軌身管系統對應模態坐標下的全部狀態矢量可定義為

Z=(Y1Θz1Mz1Qy1Y2Θz2Mz2
Qy2Y3Θz3Mz3Qy3)T

(2)

系統1,3,5部分導軌身管橫向自由振動微分方程為

(3)

由材料力學關系,可得:

(4)

將式(3)和式(4)整理成矩陣形式:

(5)

矩陣A的表達式為

根據式(5)的解,輸入端狀態矢量ZI與輸出端狀態矢量ZO之間的傳遞方程,可寫為

ZO=eAxZI=UZI

則系統1,3,5部分的傳遞矩陣為

U1=U3=U5=U=eAx

(6)

系統2,4部分對應的虛擬元件僅與身管發生相互作用,其彈性點支撐的傳遞矩陣可寫為

(7)

導軌身管系統總傳遞矩陣可通過系統各部分的傳遞矩陣按照傳遞方向依次連乘得到,系統輸入端狀態矢量ZI1,系統輸出端狀態矢量ZO5,由總傳遞矩陣可得系統總傳遞方程為

ZO5=U5U4U3U2U1ZI1=UallZI1

(8)

導軌身管系統自由端邊界條件為

(9)

將三梁系統兩端邊界條件(9)代入系統總傳遞方程(8),求得系統在兩端自由狀態時的固有頻率,進而得到各階頻率下輸入端完整的狀態矢量,利用系統各部分的傳遞矩陣,便可求得在對應頻率下系統任意位置的狀態矢量。

2 導軌身管系統動態響應

在電磁發射過程中,導軌受到時變電磁載荷和電樞移動載荷作用,本節將采用增廣特征矢量和系統的固有振動特性,建立導軌身管系統在外界激勵下的動力學方程,研究系統動態響應。

2.1 模態疊加法

電磁軌道炮導軌身管系統體動力學方程為

Mvtt+Kv=F

(10)

式中:M=diag(M1,M2,M3);K=diag(K1,K2,K3),v=(v1v2v3)T,F=(F1F2F3)T。M,K為增廣算子;v為導軌身管系統位移坐標列陣;F為導軌身管系統所受外力列陣;Mi,Ki,vi,Fj(j=1,2,3)分別為上導軌、身管、下導軌的質量參數矩陣、剛度參數矩陣、位移列陣、外力(含外力矩)列陣。

定義導軌身管系統的增廣特征矢量為系統線位移列陣所對應的模態坐標列陣,即增廣特征矢量V為

(11)

式中:上標k為模態階數。

由于導軌身管系統三梁動力學模型是由連續體元件構成,所以對應的增廣特征矢量Vk的元素應包含系統各階固有頻率所對應的模態。利用增廣特征矢量Vk,導軌身管系統動力響應可表示為

(12)

式中:qk(t)為k階模態下的廣義坐標。

將式(12)代入系統體動力學方程(10),得:

(13)

同時計算上式兩邊和第p階增廣特征矢量Vp的內積,根據增廣特征矢量的正交性條件:

〈MVk,Vp〉=δk,pMp, 〈KVk,Vp〉=δk,pKp

式中:δk,p為Kronecker函數?？傻?

(14)

式(14)即為廣義主坐標下的導軌身管系統強迫振動的運動微分方程,逐個求解可得t時刻對應的廣義坐標qp(t),將所求結果代入式(12)即可得到導軌身管系統在指定外力作用下的動態響應。

2.2 導軌身管系統靜位移

在重力的作用下,發射前導軌身管在鉛垂平面內已經彎曲,其靜變形將會影響一體化發射單元在膛內的運動。在研究計算一體化發射單元的起始擾動時,需要計算重力引起的導軌身管的靜變形。

M=diag(m1,m2,m3)

(15)

模態質量Mp與廣義力Fp表達式分別為

(16)

(17)

解算出各階模態下對應的廣義坐標qp(t),代入式(12),利用模態疊加法即可求得導軌身管三梁系統在重力作用下的靜位移。

2.3 導軌所受電磁力

要在短時間內使電樞獲得較高初速,需要在電樞上作用很大的電磁力,而其大小正比于導軌中電流的平方。目前工程中獲得一定持續時間的大電流時,最常見的方法是將多個脈沖電流合成得到較寬的電流寬度,合成的電流可簡化為如圖3所示。

圖3 多脈沖合成電流示意圖Fig.3 Schematic diagram of multi-pulse synthetic current

合成電流第一階段可視為按正弦規律增大,第二階段可視為恒定,第三階段可視為按指數規律衰減,整個電流過程用函數表示為[21]

(18)

本文考慮電流在導軌與電樞中的分布情況,假設導軌和電樞中電流分布為線電流模型,將上下導軌及電樞分別看成一根載流直導線,忽略電流的趨膚效應,如圖4所示。

圖4 某型電磁軌道炮導軌電流示意圖Fig.5 Schematic diagram of rail current of a certain type of electromagnetic railgun

空間中一根載流直導線在距離其為r的任意點(x,y)處產生的磁感應強度為

(19)

流經上導軌的電流在下導軌位置處產生的磁感應強度為

(20)

流經電樞的電流在下導軌位置處產生的磁感應強度為

(21)

對于平面運動模型,只考慮導軌間y方向的電磁載荷:

(22)

導軌受到電樞電流產生磁場引起的y方向電磁載荷為

(23)

因此,下導軌上受到的總電磁載荷為

Fr=Frr+Far=(Krr+Kar)I2=KrI2

(24)

2.4 導軌身管系統動態響應

系統動力響應物理坐標、第p階增廣特征矢量及對應的增廣算子M與求解導軌身管系統靜位移時一致,系統對應外力列陣更新為F=(Fr+m1gm2g-Fr+m3g)T,對應的廣義力為

(25)

將式(16)、式(25)代入式(14),求解導軌身管系統動力學微分方程,解得廣義坐標qp(t),經過模態疊加得到導軌身管系統動態響應,電磁軌道炮導軌身管系統動力學分析流程如圖5所示。

圖5 電磁軌道炮導軌身管系統動力學分析流程圖Fig.5 Flow chart for dynamic analysis of rail barrel system of electromagnetic railgun

3 仿真計算

3.1 導軌身管系統振動特性

本文以某型電磁軌道炮為例,導軌與身管的間距h=0.1 m,系統其他相關的計算參數見表1。利用商業有限元軟件Comsol對導軌身管系統振動特性進行仿真驗證,建立導軌身管系統有限元模型,如圖6所示,身管與上下導軌間的聯接條件設置為彈性薄層,在身管特定位置處設置兩個彈性基礎模擬地面支撐,采用三角形單元劃分網格,共劃分5 108個單元。計算導軌身管系統前8階固有頻率,計算結果見表2。

表1 電磁軌道炮導軌身管系統主要參數Table 1 Main parameters of electromagnetic rail gun rail barrel system

圖6 電磁軌道炮導軌身管系統有限元模型Fig.6 FEM model of guideway barrel system of electromagnetic railgun

表2 導軌身管三梁系統固有頻率Table 2 Natural frequency of three-beam system of guide rail tube

由表2中數據可以看出,兩種方法計算結果高度一致,驗證了MSTMM求解導軌身管系統固有振動特性的精確性,且MSTMM的計算時間為1.315 s,有限元方法的計算時間為8.931 s,利用MSTMM可以大幅提高計算速度。本文給出導軌身管系統前六階模態振型,如圖7所示。

圖7 導軌身管系統前六階模態振型Fig.7 The first six modes of guide rail tube system

3.2 導軌身管系統靜位移

導軌身管三梁系統在重力作用下的靜位移計算結果如圖8所示。由圖8可以看出,上導軌、身管和下導軌靜位移趨勢一致,均為炮尾處的靜位移達到最大值,炮口處靜位移略微上翹,且由于實際結構材料與裝配過程中的誤差,上下導軌與身管間的接觸剛度存在差異,導致上下導軌在重力作用下的靜位移略有不同。MSTMM計算結果與有限元比較最大相對誤差為0.84%。

圖8 導軌身管系統重力作用下的靜位移Fig.8 Static displacement of guide rail barrel system under gravity

3.3 系統所受電磁載荷

當電樞在炮口位置時,系統導軌所受電磁力分布計算結果如圖9所示。由圖可知,導軌間的電磁載荷在靠近炮尾的一段距離處迅速增大,然后基本保持不變,最后在靠近電樞的一段距離處迅速減小,且增大和減小的區域成對稱分布;電樞對導軌的電磁載荷在遠離電樞處很小,接近電樞位置時迅速增大?？紤]到電磁載荷在導軌中間位置變化很小,只在炮尾和電樞附近有顯著變化,因此,可將導軌受到的電磁載荷簡化為均布載荷q和集中力F的組合。

圖9 導軌所受電磁力作用系數Fig.9 Distribution of electromagnetic force on guide rail

3.4 導軌身管系統動態響應

導軌身管系統在重力及時變電磁力作用下的系統動態響應計算結果如圖10和圖11所示。由圖可以看出,在電流上升初期,電磁力與重力相比對系統影響較小,系統橫向位移均在炮尾處達到最大值,當電流處于峰值平臺期間,上下導軌受樞軌間電磁力作用,動態響應幅值逐漸達到峰值,同一時刻,上下導軌動態響應幅值并不相同,系統橫向位移最大值出現在系統兩端(炮口或炮尾);身管在通電過程中波動范圍變化不大,橫向位移幅值小于上下導軌橫向位移幅值,受地面固定位置彈性支撐作用影響,身管炮尾處橫向位移變化量大于炮口位置處。

圖10 導軌身管系統動態響應Fig.10 Dynamic response of guide rail barrel system

圖11 導軌身管系統炮口處位移-時間曲線Fig.11 Displacement-time curve at the muzzle of guide rail barrel system

在炮口位置處,上下導軌位移-時間曲線與身管位移-時間曲線的變化趨勢保持一致,由于彈性支撐參數等非對稱性因素的影響,上導軌炮口點變形量更大;在系統初始階段,由于流經軌道的電流較小,上下導軌及身管炮口點均以靜變形位置為平衡位置上下波動,隨著電流到達峰值平臺,導軌間的電磁斥力逐漸變大,在身管結構支撐的共同作用下,上下導軌炮口處間距在“擴張-收縮”的過程中反復震蕩,當軌道電流處于指數衰減階段時,導軌間的電磁斥力迅速減小,上下導軌及身管炮口點在靜變形位置附近上下振動。

4 結束語

本文以電磁軌道炮導軌身管發射裝置為研究對象,對導軌身管系統的動力學模型、振動特性、動態響應等問題進行了探究,利用MSTMM建立導軌身管系統三梁動力學模型,以電磁場計算出的電磁力為激勵源,利用模態疊加法求解導軌身管系統在重力及時變電磁力作用下的動態響應,探究了上下導軌非對稱性對系統靜變形及動態響應的影響,并通過有限元法驗證了MSTMM的正確性和快速性。下一步將討論考慮一體化發射彈丸膛內運動過程和時變電磁載荷的彈軌耦合發射動力學模型。