一種基于灰色理論的制導系統評估方法研究

李迎博,譚黎立,梁 卓,胡 驍

(中國運載火箭技術研究院,北京 100076)

1 引言

近幾十年來,系統評估方法有了很大發展,各種評估方法已達數百種之多,這些評估方法都有其不同特點,在運用中也有各自的使用范圍和利弊。常用的評估方法一般分為三類:定性評估法、定量評估法及定性定量綜合評估法。

定性評估法主要依靠評估人員的經驗和邏輯判斷能力,主要有德爾菲法和專家評議法[1]。定性評估法可以充分發揮人的主觀能動性,但對評估中的諸多影響因素難以全面表達;定量評估法是將統計數據作為依據,按照指標體系建立數學模型,依靠計算機或數學手段求得評估結果,常用的有主成份分析法[2]、數學分析法等。定量分析法完全以客觀數據為評價標準,可靠性高,但評估對象往往過于復雜,不利于推廣應用;定性定量綜合評估法吸取上述兩種方法的優點,融合數學分析與專家意見,應用較為廣泛,常用的包括層次分析法[3]、模糊綜合評價法[4]以及灰色系統理論法[5]。

本文以愛國者-3防空導彈為研究對象,建立了其制導系統性能評估指標體系,并采用了一種灰色系統理論與層次分析法相結合的評估方法進行性能評估,實際計算結果證明了指標體系與方法的合理性。

2 制導系統性能評估指標體系建立

影響制導系統性能的因素由很多,包括制導算法能力、戰術指標滿足性、過程約束等,本文從制導律性能、戰術指標和其它性能指標三方面選取底層指標元素。

2.1 制導律性能

防空導彈的制導律一般分為中制導、末制導及中末交班規律三段,中制導負責將導彈導引至預測命中點,末制導直接導引導彈命中目標,中末交班規律負責二者之間的指令過渡。制導律性能主要要素包括最大需用過載、作戰空域、適應目標機動的能力、計算量等。

● 最大需用過載

最大需用過載是導彈必須考慮的技術指標,飛行過程中的過載指令一般由制導算法給出。

● 最大航程、最大射高

為導彈重要技術指標,描述了制導律的基本性能。

● 適應預測命中點誤差的能力

由于預測命中點是根據目標當前狀態外推得到,因此存在一定的誤差,制導律需適應這種誤差。

● 適應目標機動能力

目標在進行機動突防或逃逸時,導彈制導律需有對應的策略。

● 技術實現難易程度

制導律引入實際應用中的難度。

● 制導律計算量

制導律單周期最大計算耗時,需與彈上計算能力相匹配。

2.2 戰術指標

戰術指標由導彈總體性能決定,與制導系統相關的主要包括如下內容。

● 燃料消耗

由于導彈燃料有限,因此導彈制導系統計算出的飛行軌跡需盡量減少燃料消耗。

● 姿態角變化量

為減少控制系統控制難度,制導系統給出的姿態角指令不能變化過大。

● 碰撞點交會角

交會角是指導彈速度矢量與目標速度矢量之間夾角的補角,由于交會速度往往比較大,因此碰撞點交會角的大小對攔截效果有很大影響。

● 飛行時間

飛行時間是指導彈從發射到命中的時間,飛行時間的長短會影響燃料消耗,制導系統規劃出的飛行軌跡需考慮飛行時間的長短。

● 碰撞速度、命中精度

碰撞速度和命中精度直接決定了攔截威力,也是衡量制導系統性能的關鍵指標。

2.3 其它性能指標

其它性能指標主要考慮飛行安全性、可靠性相關的指標,本文選取飛行過載約束項。

由此可得到制導系統性能評估指標體系如圖1所示。

圖1 制導系統性能評估指標體系

3 指標權重計算

本文使用應用最為廣泛的層次分析法確定底層指標權重,具體步驟如下。

3.1 建立判斷矩陣

根據指標之間的相對重要性,分別建立次層指標對頂層指標的判斷矩陣A、底層指標對對應三個次層指標的判斷矩陣B1、B2、B3。結果如下

B3=[1]

3.2 判斷矩陣一致性校驗

對上述四個判斷矩陣A、B1、B2、B3進行一致性校驗,得到的一致性指標如下

CIA=0.0012

CIB1=0.1032

CIB2=0.0091

CIB3=0

一般一致性指標臨界值與判斷矩陣階數n有關,具體取值如表1所示。

表1 一致性指標臨界值

可見四個判斷矩陣一致性指標均小于臨界值,一致性校驗通過。

3.3 相鄰層指標權重向量計算

依據判斷矩陣,使用對數最小二乘法求取權重向量,即對矩陣按行元素求積后,再求1/n次冪(n為矩陣階次),最后進行歸一化處理。

可得到判斷矩陣對應的權重向量,結果如下

3.4 底層對頂層指標權重向量計算

首先,根據前文計算得到的各層權重向量描述底層指標對次層指標的組合權重,結果如下

p=p0·pA

(1)

依據公式,計算得到底層指標對頂層指標的權重向量為

p=[0.1030 0.0478 0.0478 0.0918 0.1622 0.0259 0.1030 0.0257 0.0525 0.0525 0.0257 0.0850 0.0675 0.1095]T

4 灰關系系統評估

制導系統綜合性能指標由底層指標評估值及底層指標對頂層指標的權重向量決定。對于底層指標的評估一般分為理論評估和人為評估兩種。理論評估為建立底層指標評估相關的數學模型,嚴格按照指標數值計算得到評估值,但這種方法對數學模型要求過于苛刻,例如姿態角變化量、技術實現難易程度等,很難給出具體的評估模型;人為評估可以充分發揮評估專家的專業優勢,但單名專家的評估往往主觀性較強,而多名專家評估時,不可避免會存在一定的分歧,導致評估不準確甚至失敗。

灰關系系統評估法是灰色系統理論與層次分析法結合的一種評估方法。它主要解決的是底層指標對頂層指標權重向量確定后,如何利用數學的手段綜合多名專家的意見,完成對底層指標的評估,進而得到頂層指標的評估值。具體方法見下文。

4.1 評價灰類及白化權函數確定

定義灰關系系統中的指標評估分級,具體見表2。

表2 灰關系指標評估分級

對應的灰數和白化權函數如下:

第一灰類“優”,其白化權函數為f1(x);

第二灰類“良”,其白化權函數為f2(x);

第三灰類“中”,其白化權函數為f3(x);

第四灰類“差”,其白化權函數為f4(x)。

白化權函數以分段函數表示,見表達式(2)-(5)。

(2)

(3)

(4)

(5)

4.2 評價樣本矩陣確定

邀請n名專家按照灰關系指標評估規則對底層m個指標進行打分,可得到評價樣本矩陣Dm×n。

4.3 灰色評價數計算

假設U代表次層指標ui所組成的集合,記為U={u1,…,um}。ui為底層指標uij組成的子合集,記為ui={ui1,…,uin}。E代表評價專家打分Ek的合集,記為E={E1,…,El}。

則可定義評價專家打分屬于灰類的評價數,具體公式見表達式(6)。

(6)

其中,dijk代表專家Ek對指標uij的打分;fe(dijk)代表dijk對應的灰類評價數。

依據表達式(6)可以得到底層指標的四類灰色評價數,例如最大需用過載指標得到的5名專家打分分別為5.0、4.5、5.0、4.5、5.0,則其四類灰色評價數如下:

X111=f1(5.0)+f1(4.5)+f1(5.0)+f1(4.5)+f1(5.0)=5

X112=f2(5.0)+f2(4.5)+f2(5.0)+f2(4.5)+f2(5.0)=4

X113=f3(5.0)+f3(4.5)+f3(5.0)+f3(4.5)+f3(5.0)=2

X114=f4(5.0)+f4(4.5)+f4(5.0)+f4(4.5)+f4(5.0)=0

4.4 灰色評價權向量及權矩陣計算

例如前文提到的最大需用過載指標示例,其灰色評價權向量為

r11=[5/11 4/11 2/11 0]

灰色評價權矩陣為灰色評價權向量的合集,具體為

R1=[r11r12r13r14r15r16r17]T

R2=[r21r22r23r24r25r26]T

R3=[r31]

4.5 綜合指標評價

根據前文計算得到的灰色評價權矩陣R1、R2、R3與權重向量p,可得到頂層指標灰色評價結果計算公式見表達式(7)

(7)

其中,C為各類評價灰類等級值向量,取值為C=[5.0,4.0,3.0,2.0]。

5 計算結果

為驗證算法有效性,本文以愛國者-3防空導彈為研究對象,進行仿真驗證。其中愛國者-3防空導彈采用公開數據建立其六自由度數學模型,攔截目標采用三自由度模型。

目標共選取五種運行模式,運動模式見表3。針對每種運動模式的目標進行1000條防空導彈拉偏彈道打靶,得到五種工況的仿真統計結果供性能評估使用。

表3 目標機動模式

根據仿真結果進行如下計算分析。

5.1 指標打分

由于前文已經計算得到底層指標對頂層指標的權重向量,因此首先邀請5名專家對五條工況的14個底層指標仿真結果進行打分,得到的打分結果見表4。

表4 底層指標專家打分

其中,專家打分對應的指標次序按照圖1從上往下排列,最大需用過載、最大航程、最大射高、技術實現難易程度為統計型或獨立型數據,已通過其它遍歷打靶或分析提前得到,因此每個專家針對這四項指標對應各個工況的打分均相同。

5.2 乘積計算評估值

乘積計算是一種常用的系統評估值計算方法,其原理為將底層指標對頂層指標的權重向量p與底層指標打分值向量Di直接相乘,即Zi=Di·pT,則可以計算得到5名專家的針對每條工況的打分情況見表5。

表5 乘積計算評估值

可見,由于每個專家的知識背景、對指標優劣的理解程度不同,導致專家的打分結果存在一定的差異。

前三條攔截效果較好的工況中,這種差異較小,可以使用平均值來作為系統的評估結果。但后兩種攔截效果較差的工況中,專家之間的分歧過大(工況5中專家打分最大最小分值偏差比接近60%),顯然無法將平均值作為評估結果;且工況5攔截效果明顯不如工況4,但二者評分均為良好,與實際仿真結果不符,因此可以認為工況4、工況5評估失敗。

5.3 灰關系系統評估

直接采用第4章中給出的灰關系系統評估法進行計算?？梢杂嬎愕玫轿迕麑＜业脑u估結果見表6。

表6 灰關系系統評估值

由評估結果可知,前三條攔截效果較好的工況中,灰關系系統評估值與乘積計算評估值基本相同。而在后兩條攔截效果較差的工況中,灰關系評估法通過將專家打分進行灰色分類,有效地中和了專家之間的打分差異,最終的評估結果也與實際仿真結果具有良好的符合性。

由此可見,灰關系系統評估法可以有效地綜合多名評價專家的打分結果,針對各種工況,均可以給出合理的評估值,證明了該方法的合理性。

6 小結

本文以愛國者-3防空導彈為研究對象,首先建立了制導系統性能評估指標體系,之后采用了一種灰色系統理論與層次分析法相結合的評估方法進行性能評估,最后通過實際評估結果驗證了該體系及評估方法的合理性。