城市地下嵌巖型和摩擦型雙層襯砌豎井結構豎向地震響應對比分析

張 卜,盧立東,鐘紫藍,姬若愚,杜修力

(1. 北京工業大學 城市建設學部,北京 100124; 2. 北京工業大學 城市與工程安全減災教育部重點實驗室,北京 100124)

0 引言

隨著城市深層地下空間的開發與發展,豎井結構作為主體結構被廣泛應用于城市深層地下停車場、海綿城市防洪排澇豎井和地下調蓄池等市政工程領域,并呈現出大深度和大直徑的發展趨勢。已有震害經驗表明,地下結構遭受嚴重的地震威脅[1-2],明確豎井結構地震響應規律對提升和完善地下結構抗震設計具有重要意義[3-4]。

目前國內外對城市豎井結構的抗震研究處于起步階段,對豎井結構抗震研究主要采用數值模擬和解析解方法,KIM等[5]采用動力時程分析方法和擬靜力分析方法對豎井及其周圍土體之間的荷載傳遞機理和動力響應進行了研究;GUERRA等[6]提出一種新的數值模型研究了大直徑混凝土襯砌豎井在地震激勵下的響應;MAYORAL等[7]采用三維動力非線性分析方法研究了豎井響應并建立了地震作用下豎井結構的易損性曲線;ZHANG和CHEN等[8-10]對線彈性地層中文克勒地基模型下豎井的地震響應提出了理論解析解,基于擬靜力法推導了名義柔度比公式評估豎井動力響應特征,并采用三維動力時程分析方法研究了上海軟土大深度豎井地震響應;ZHANG等[11-13]提出了橫向荷載作用下豎井與隧道接頭節點動力響應解析解,推導了SH波下豎井-隧道接頭處的地震響應解析解;陳向紅等[3]采用數值計算方法研究了水下隧道通風豎井地震響應規律。

常見的城市地下豎井結構底部邊界條件有兩種:第一種為“嵌巖型”即豎井底部固定于場地下部堅硬巖層中;第二種為“摩擦型”即豎井底部安置于場地土層中。然而,兩種類型豎井地震響應區別及底部邊界對其初襯與二次襯砌響應影響規律尚未明確,亟需開展豎井底部邊界條件對初襯及二次襯砌地震響應影響研究。

為明確豎井底部邊界條件對其豎向地震響應的影響,本文基于廣義位移法基本思想[14],分別建立了“嵌巖型”與“摩擦型”兩種豎井力學模型,采用分布傳遞函數法建立并推導力學平衡方程及地震響應解析解[15]。通過數值模擬驗證了解析解的準確性和可行性。最后,基于解析解研究了兩種邊界條件下地基彈簧剛度、二次襯砌剛度和豎井外徑對豎井結構初襯和二次襯砌豎向地震響應的影響。

1 豎井模型與假定

本文通過將豎井結構初襯及二次襯砌簡化為兩根平行豎向振動的桿研究其在兩種底部邊界下的地震響應,初襯周邊土層簡化為文克勒粘彈性地基,其中均勻分布的彈簧和阻尼器分別模擬豎井周圍土體的動切向剛度和輻射阻尼,假設初襯與二次襯砌之間切向為彈性連接,忽略法向相互作用,將其簡化為均勻分布的切向彈性連接層,豎井的初襯與二次襯砌構成了一個文克勒地基桿系統,兩種邊界條件下簡化計算模型如圖1所示。其中:初襯簡化為桿1;二次襯砌簡化為桿2;初襯抗拉剛度為E1A1;等效線密度為ρ1;二次襯砌襯抗拉剛度為E2A2;等效線密度為ρ2;側向土層分布彈簧剛度為Ke;輻射阻尼系數為Cs;初襯與二次襯砌襯間切向彈簧剛度為K;豎井深度為L。在地震動激勵作用下,初襯豎向位移響應為w1(z,t),二次襯砌豎向位移響應為w2(z,t)。

圖1 簡化計算力學模型示意圖Fig. 1 Diagram of simplified calculation mechanical modal

計算分析作出如下假定:1)豎井初襯和二次襯砌為各向同性并且均質的線彈性體。2)初襯與二次襯砌頂部為自由端,即應變為零。底部分別假設為固定端和彈性邊界,以模擬底部嵌巖和底部懸浮兩種工況。3)地震激勵為垂直入射的P波,在地震激勵作用下土層自由場產生豎向位移響應,豎井初襯和二次襯砌在自由場位移作用下隨之產生豎向位移響應。

2 解析解推導

2.1 運動控制方程

取簡化模型微元體作力平衡分析,可得微分控制方程[15]:

(1)

式中:f1(z,t)為等效荷載,其表達式為:

(2)

式中:uff(z,t)為自由場隨著深度方向的豎向位移。

2.2 兩種邊界條件下豎井地震響應解析解

將式(1)進行初始條件為零的拉普拉斯變換,得到下式:

(3)

其寫為狀態空間的形式為:

(4)

(5)

(6)

(7)

底部固定邊界條件滿足下式:

w′1(0,t)=w′2(0,t)=0w1(L,t)=w2(L,t)=0

(8)

底部彈性邊界條件滿足下式:

(9)

式中:kt為彈性邊界豎向剛度,c為彈性邊界輻射阻尼。

將兩種邊界條件進行拉普拉斯變換并寫為矩陣的形式:

(10)

式中: 底部固定邊界條件Mb1和Nb1為:

(11)

底部彈性邊界條件下Mb2和Nb2分別為:

(12)

根據LIU等[15]的分布傳遞函數法,在s域內式(4)的解可以表示為:

(13)

其中:

(14)

(z,s)=Φ(z,0,s)Z-1(s)Z(s)=Mb+NbΦ(L,0,s)

(15)

式中:Φ(z,ξ,s)為狀態轉移矩陣,其形式為:

Φ(z,ξ,s)=U(z,s)U-1(ξ,s)U(z,s)=ezF(s)

(16)

地震作用下頻域中自由場豎向位移可以表示為下式[16]:

u(z,t)=cos(ksz)u0eiwt

(17)

式中:u0為土體表面的簡諧振動位移幅值,w為圓頻率,Gs=Es/2(1+vs)為土層的剪切模量,Es、ρs、βs和vs是土層的彈性模量、密度、阻尼比和泊松比。將上式代入到荷載向量P(z,s)中并將s替換為iw,通過式(13)可以得到系統的解析解向量:

(18)

本文體現場地土層與豎井相互作用的分布彈簧剛度和輻射阻尼系數可以表達為[17]:

(19)

彈性邊界的彈簧剛度和輻射阻尼可以表示為[18]:

(20)

將自由場地震動位移時程進行快速傅里葉變換轉換為頻域位移幅值,代入上述公式可以計算出頻域下豎井結構響應,再進行快速逆傅里葉變換即可求得初襯和二次襯砌任意位置處時域地震響應。

3 解析解數值驗證

3.1 數值有限元模型

基于有限元軟件ABAQUS驗證上述解析解的準確性。在軟件中使用truss單元建模以模擬初襯和二次襯砌,采用直接穩態動力學分析得出數值模擬結果。

驗證工況參數如下:豎井深度L=60 m,初襯和二次襯砌的彈性模量為E1=E2=34.5 GPa,密度為ρ1=ρ2=2 500 kg/m3,初襯外徑d=8 m,厚度為0.3 m,二次襯砌的厚度為0.4 m。豎井周圍土層密度ρs=1800 kg/m3,泊松比vs=0.2,阻尼比βs=0.05,彈性模量Es=160 MPa。切向彈性連接層的剛度K=4×107N/m2。地震激勵選用El-Centro波,其位移時程與相應幅值譜曲線如圖2所示。

圖2 El-Centro波時程曲線Fig. 2 Time history curve of El-Centro

3.2 解析解與數值解對比

本文分別對兩種邊界條件下的豎井中部地震響應解析解進行數值驗證,計算結果如圖3所示,圖中可以看出:本文解析解與數值解整體分布一致,吻合較好。為了進一步驗證解析解的正確性,分別提取解析解與數值解的位移應變正向響應最大值進行誤差對比分析,結果見表1-表2,式(21)為表中誤差計算表達式。由表可得:除固定邊界條件應變響應最大值外,其余誤差均可控制在5%以內。僅固定邊界條件下應變響應的最大值誤差達15.7%,通過其時程響應曲線可以看出:應變值分布規律一致,解析解準確性可得到保證。

表1 固定邊界條件解析解數值解最大地震響應值對比Table 1 Comparison of maximum seismic response values between analytical and numerical solutions with fixed boundary conditions

表2 彈性邊界條件解析解數值解最大地震響應值對比Table 2 Comparison of maximum seismic response values between analytical and numerical solutions with elastic boundary conditions

圖3 豎井z=30 m處地震響應對比驗證Fig. 3 Shaft response of z=30 comparison verification

(21)

4 兩種邊界條件下的參數影響對比分析

4.1 地基彈簧剛度變化的影響

基于兩種豎井邊界條件,使用所推導解析解分析其在地基彈簧剛度變化時豎井結構頂部初襯和二次襯砌的地震峰值位移響應規律。通過改變土層彈性模量進行對比,分別取Es=80、120、160、200和240 MPa進行計算,其余參數與驗證工況保持一致。對比結果如圖4所示,可以得出:隨著地基彈簧剛度增大,兩種邊界條件下初襯頂部峰值位移響應均會增大,固定邊界條件下增大較顯著;二次襯砌頂部峰值響應在固定邊界條件中略微增加,但在彈性邊界條件中甚至會減小。這是因為初襯直接與土層相連,地基響應較直接的傳遞在初襯上,當地基彈簧剛度增大時對自由場振動緩沖減小,引起其位移峰值增大。由此可得:在豎井抗震設計中,對于豎井頂部而言,若土層彈性模量較大,則需要著重考慮地震作用下初襯響應的影響。在底部為摩擦型邊界的豎井設計中,土層彈性模量較小時可以重點關注二次襯砌的位移響應。

圖4 地基彈簧剛度對峰值位移的影響Fig. 4 Effect of foundation spring stiffness on peak displacement

4.2 二次襯砌剛度變化的影響

本文通過改變二次襯砌彈性模量探究二次襯砌剛度對兩種邊界條件下豎井頂部峰值位移響應的影響。圖5給出分別取E2=23、26.5、34.5、39.5和45 GPa時豎井頂部峰值響應對比結果,從中可以看出:當二次襯砌剛度增大時,彈性邊界條件下的響應大于固定邊界條件下的響應;兩種邊界條件下二次襯砌頂部峰值響應有略微減小,但初襯位移響應無明顯變化,二次襯砌剛度的變化對初襯頂部峰值位移影響不大。由分析可得:在修建摩擦型豎井時應重點考慮其頂部豎向位移響應,尤其是初襯頂部位置處。

圖5 二次襯砌剛度對峰值位移的影響Fig. 5 Effect of secondary lining stiffness on peak displacement

4.3 豎井外徑變化的影響

通過改變豎井的外徑研究其對兩種邊界條件下頂部峰值位移響應的影響。分別取外徑d=6、7、8、9和10 m進行計算,結果如圖6所示,可以得出當豎井外徑增大,豎井頂部峰值位移均呈減小趨勢,無論是嵌巖型豎井還是摩擦型豎井初襯響應均比二次襯砌響應要大,其中嵌巖條件下初襯和二次襯砌位移響應均小于摩擦型豎井的響應,在嵌巖條件下豎井二次襯砌頂部的響應值非常小,可以忽略不計。因此,當豎井外徑較小時,摩擦型豎井其頂部豎向位移響應較大,且在雙層襯砌抗震設計中,應重點關注摩擦型豎井的初襯頂部地震響應。

圖6 豎井外徑對峰值位移的影響Fig. 6 Effect of shaft outer diameter on peak displacement

5 結論

本文為明確城市地下豎井結構底部邊界條件對其地震響應影響,采用分布傳遞函數法推導出豎井結構在兩種底部邊界條件下的動力響應解析解,通過與數值模擬進行對比,驗證了本文解析解的準確性。最后采用解析的方法分別從地基彈簧剛度、二次襯砌剛度和豎井外徑的角度開展了兩種邊界條件下豎井頂部峰值位移響應對比分析,結果表明:

1)底部固定邊界條件下的豎井峰值位移響應均小于底部彈性邊界條件下的響應。

2)兩種邊界條件下地基彈簧剛度越大,初襯峰值位移響應均會明顯增大,固定邊界下二次襯砌峰值響應增大,而彈性邊界條件下二次襯砌峰值位移反而減小。在豎井抗震設計中,在土層彈性模量較大時應著重考慮地震作用下初襯頂部響應的影響。摩擦型豎井設計中,土層彈性模量較小時應重點關注二次襯砌頂部的位移響應。

3)兩種邊界條件下二次襯砌剛度變化對初襯頂部峰值位移影響很小。在摩擦型豎井抗震設計時應重點考慮其頂部豎向位移響應,尤其是初襯頂部位置處。

4)兩種邊界條件下豎井初襯和二次襯砌頂部峰值位移均隨豎井外徑增大而減小。當豎井外徑較小時摩擦型豎井頂部豎向位移響應較大,且應重點關注摩擦型豎井的初襯頂部地震響應。

該研究得出的對比分析結論可為豎井抗震設計提供一定參考,并為今后豎井的抗震研究提供理論方法和科學依據。