基于多邊形維諾圖的梯度彈性多孔結構設計

陳小滿，謝卓尊，曹 偉*

（1.廈門華廈學院，廈門 361024；2.華僑大學 機電及自動化學院，廈門 361021）

0 引言

梯度多孔結構因其具有比強度高、比表面積大、輕量節材、彈性/硬度可定制等優點，被廣泛應用于汽車、航空航天、軍事、醫療等眾多領域。但由于梯度多孔結構具有極為復雜的內部結構，難以通過傳統加工裝備和工藝進行制造，限制了其功能的發揮[1]。近年來，由于增材制造技術的快速發展，使梯度多孔結構的制造成為可能。相比于粉末冶金、滲透鑄造、金屬沉積等制造方式，增材制造能通過多孔結構的數字化模型，實現更加精準的制造[2]。增材制造技術使梯度多孔結構具有更高的設計自由度，即可以自由定制孔的分布而不用考慮復雜結構帶來的傳統制造約束，因此對梯度多孔結構的設計提出了更高的要求。

梯度多孔的設計要求包括：

1）多孔結構的孔隙分布滿足幾何、力學性能的需求[3-4]；

2）多孔結構的設計滿足不同增材制造工藝的制造約束[5-6]。目前，大多數梯度多孔結構均是針對SLA、SLS等工藝，這些工藝要求多孔結構必須是全連通的[2-7]，以保證在打印完成后孔腔內部的材料（粉末、液體）能夠取出，因此基于這些工藝的梯度多孔結構多采用類似支桿連接的幾何結構[8-9]。如Liu等提出的一種各向同性三維維諾多孔結構，通過隱式曲面構建維諾胞元的內部孔腔和胞元間的甬道，實現全連通[10-11]。Wu等提出一種應力驅動的支桿晶格結構，該結構不僅能夠根據應力大小調整晶格密度，還能根據應力方向調整晶格朝向[12]。

而對于使用最廣泛、設備和材料價格最便宜的FDM工藝，具有完全不同的制造約束。首先，由于FDM是通過逐層堆積熔融材料實現對目標物體打印的，因此要求所打印物體必須滿足支撐要求[13-14]。而上述支桿多孔結構存在大量過度懸垂的支桿，必須額外添加內部支撐結構才能進行打印，造成打印材料和時間消耗增加。此外，由于這些內部支撐結構在打印后無法去除，會造成打印出的多孔結構和所設計的梯度多孔結構不相符，其力學性能也會發生改變[15]。再次，上述支桿多孔結構的每個切片層都包含大量相對孤立的橢圓（實體部分），導致FDM無法實現連續的噴絲打印，會產生大量拉絲，嚴重影響打印質量。因此，這些設計的梯度多孔結構并不適合采用FDM工藝打印。

基于此，本文聚焦于針對FDM工藝的梯度多孔結構設計。在幾何結構方面，提出一種基于多邊形維諾圖的自支撐梯度彈性多孔結構建模方法，建立閉孔的三維多邊形維諾多孔結構，在確保實現多孔結構自支撐的同時，還能實現切片層的連續打印。此外，在梯度設計方面，首先研究了設計參數對所設計的維諾多孔結構的幾何度變化的影響規律；其次，通過數值均質化方法，研究了設計參數對其彈性性能的影響規律，從而實現對其梯度彈性分布的控制。

1 自支撐多邊形維諾多孔結構建模

1.1 自支撐約束

如圖1所示，定義懸垂角ω為法向量與打印方向的夾角，其中。在3D打印的過程中，由于熔融的材料無法做到瞬時固結，當前打印層超出下一層部分過多時，即當當前打印區域的懸垂角大于材料的最大懸垂角ωmax時，會產生懸垂處材料的塌陷現象，影響成型精度，因此需要在懸垂材料的下方添加額外的支撐結構。

圖1 3D打印的懸垂角

對于FDM工藝來說，最大懸垂角ωmax僅與所使用材料的性能有關，如熔融狀態下流體的黏度等，每種材料的懸垂角會存在一定的差別，大多在45°左右。因此，本文將最大懸垂角設定為ωmax=45°，當模型某區域的懸垂角度ω＞ωmax時，需要在下方添加支撐；相反地，當ω≤ωmax時，不需要添加額外支撐。當模型所有區域的懸垂角ω均小于最大懸垂角ωmax時，稱該模型為自支撐模型。

1.2 多邊形維諾圖

1.2.1 維諾圖

其中，q為空間中的任意點，d(si,q)和d(sj,q)分別為點q到站點si和sj的距離，即站點si所對應的維諾區域Ri(si)由所有距離站點si最近的所有空間點組成。因此，由站點集S定義的維諾圖為S中所有站點對應的維諾區域的并集，即

1.2.2 多邊形維諾圖

在式(1)中，根據“距離”d的定義不同，所得到的維諾圖也不相同。圖2所示為二維平面中站點集S相同時不同“距離”所對應的維諾圖，從左至右的“距離”分別為歐幾里得距離（圓形），切比雪夫距離（正方形），曼哈頓距離（菱形）以及三角形距離。

圖2 二維空間中不同距離定義的維諾圖

圖2最右側的三角形距離定義下的維諾圖的所有邊均能滿足自支撐約束，而其他三種維諾圖中存在部分不滿足自支撐約束的邊，例如存在水平的邊，從而無法直接通過FDM打印機進行成型。事實上，圖2中的四種圖形均屬于多邊形的實例，且均呈現出相同的特性——其維諾邊（面）的朝向的數量n是常數[16]，如正方形和菱形距離下n=4，三角形距離下n=3，且在三角形距離下所有的維諾邊和豎直方向（打印方向）的夾角均小于或等于45°，即滿足ω≤ωmax，說明在二維空間中三角形距離對應的多邊形維諾結構是自支撐的。

給定一個內部包含原點的凸多邊形P，從點p到點q的多邊形距離定義為：

其中，多邊形距離dP(p,q)為將多邊形P從圓點O移動到p點，并縮放t倍后使其能包含q點的最小t的值，如圖3所示。

圖3 多邊形距離

多邊形距離dP(p,q)的計算方式為：設q′為多邊形p+P與p到q的射線相交的唯一點，則：

其中，||q-p||和||q′-p||分別為空間中點q、q′、到p點的歐氏距離。

1.2.3 三維空間多邊形距離

將二維空間中的等腰三角形拓展至三維空間，可以建立三維自支撐多孔結構。本文選取了一種特殊的多面體——k-棱錐，如圖4所示。該棱錐的底面是正k邊形，棱錐具有k個側面。為方便描述，本文將二維空間中的三角形和三維空間中的棱錐都稱為“多邊形”，其對應的距離都稱為多邊形距離，對應的維諾圖都稱為多邊形維諾圖。

圖4 k-棱錐示意圖

根據定義可知，圖3d中維諾胞元的邊界是由站點集S中任意兩點之間的多邊形距離平分線組成，即所有到點p和點q的多邊形距離dP相等的點的集合。值得注意的是，多邊形距離平分線不是一條直線。在二維平面上，多邊形距離平分線往往是由多條線段組成的折線；在三維空間中，則拓展為多邊形距離平分面，同樣由多個相交平面組成。三維空間中多邊形距離平分面的定義如下：

圖5所示為采用枚舉法例舉出的所有多邊形（三角形）平分線的情況，同樣可以看出n=3。其中，vi和ei(i=1,2,3)分別為多邊形P的頂點和邊?？梢钥闯?，三種情況下其多邊形平分線均滿足自支撐條件，即不存在懸垂的頂點，同時所有平分線與打印方向（y軸）的夾角都有ω≤ωmax。

圖5 多面形距離平分線滿足自支撐條件

1.3 自支撐梯度多孔結構建模

梯度多孔結構的建模步驟如圖6所示，其初始輸入條件為站點密度場ρ={ρ1,ρ2,...,ρn}，其中ρi為單位體積內維諾站點的數量；ρi越大，對應的維諾胞元數量越多，力學性能越高。首先，采用站點隨機采樣算法將密度場ρ映射為設計模型內的站點分布，控制正交各向異性多孔結構力學性能的梯度分布；然后，采用切片算法對模型進行切片。對每一層切片，將其按一定分辨率離散為一系列體素，計算每個體素所屬的維諾胞元，可以得到每一層切片的灰度圖像。將所有切片層的繪圖圖像進行重構，可以輸入.stl格式的模型；也可以直接將圖像文件輸入FDM打印機，直接打印成型。

圖6 多孔結構建模流程圖

1.3.1 維諾站點隨機采樣

維諾站點分布是決定多孔結構梯度彈性分布的關鍵因素，本文采用基于隱式柵格的維諾站點生成算法，既能保證站點分布在宏觀上符合輸入的密度場，又能在微觀上具有隨機性。具體算法如下：

1）將模型離散為邊長為a的立方體柵格；

2）遍歷所有柵格，對當前柵格i，計算柵格i內的站點數量ti=a3ρi；

3）將柵格劃分為8個子柵格，若ti≤8，則隨機選取ti個子柵格，并分別在每個子柵格內部任意位置隨機生成一個站點；反之，若ti＞8，則遞歸的對子柵格執行站點采集算法。

1.3.2 多邊形維諾多孔結構生成

本文提出一種基于體素的多邊形維諾多孔結構生成算法，如圖7所示，將模型第i層切片離散為k×k個體素單元，計算每個體素所屬的維諾胞元，每個體素均隸屬于與其多邊形距離最近的站點對應的維諾胞元。若體素與其相鄰體素同屬一個Voronoi胞元，則該體素位于Voronoi胞元內部，為空相；否則位于Voronoi胞元邊界，為固相。

圖7 三維多邊形Voronoi圖建模算法示意圖

三維多邊形Voronoi圖生成算法步驟如表1所示。該算法的核心思想是在站點集合S中找到與體素i距離最近的站點s(i)；對于體素i，如果它的四個相鄰體素的最近站點都為s(i)，則說明體素i位于Voronoi胞元內部，為空相部分；否則說明體素i位于Voronoi邊界，為實體部分。

表1 三維多邊形Voronoi圖生成算法

1.4 幾何結構的控制策略

本文采用圖8所示幾何設計參數控制棱錐的幾何結構及其力學性能。由于棱錐的大?。ǖ缺壤s放）對最終生成的多孔結構沒有影響，因此設原點O到棱錐底面的高度為1，棱錐頂點的坐標為(0,0,Az)；參數θ為過原點和底邊的平面與底面的夾角，參數α為原點到側面的距離ε與l的比值，可以求得棱錐頂點Az的計算公式為：

圖8 棱錐的參數化

此外，通過將棱錐沿x方向收縮并以z軸為中心旋轉，可以實現多邊形Voronoi圖的各向異性，參數β∈(1,0)為收縮因子，決定收縮的程度。

圖9展示了各參數如何影響多邊形Voronoi面的幾何結構，圖中心的樣本參數為k=8，α=0.5，θ=45，β=1.0。其周圍每個樣本僅變化一個參數，每個樣本左下方為其對應的棱錐?？梢钥闯?，參數k的變化對多孔結構幾乎沒有影響，而通過調整參數θ、α、β的大小，可以實現對多孔結構幾何梯度的精確控制，具體如下：

圖9 多孔結構隨參數變化示意圖

1）參數θ決定了由棱錐生成的Voronoi面中傾斜面與水平面的夾角，當其他參數取值相同時，多孔結構中維諾面的斜率將隨著參數θ的增大而增大。

2）參數α為棱錐側面到原點的距離ε與底面中心到底面邊的距離l的比值。隨α減小，錐頂與原點的距離Az減小。圖10展示了在二維空間中多邊形維諾多孔結構隨著α的變化規律，隨著α減小，多維諾胞元的形狀由垂直方向扁平狀（正交各向異性）變化為非扁平狀（各向同性）。

圖10 α對多邊形維諾圖幾何結構的影響

3）參數β為棱錐沿x方向的收縮因子。引入參數β使距離棱錐在某一方向上發生收縮，能夠實現結構的正交各向異性。隨著β的減小，Voronoi單元在x方向上趨于扁平。

2 多邊形維諾多孔結構彈性性能分析

2.1 數值均質化

均質化是一種預測周期或近周期復合材料宏觀特性的有效方法，廣泛應用于材料性能分析與設計。其基本思想是用一種等效材料模型來替代復合材料。本文所提出的多邊形維諾多孔結構雖然并不是周期性結構，但由于站點采集過程中使用的算法具有一定的隨機性，因此，當多孔結構的尺寸比單個維諾胞元的尺寸大到一定程度時，可以看成具有近周期性。這種達到近周期性體積的多孔結構模型被稱作代表性體積單元（Representative Volume Element，RVE），是數值均質化的分析對象。在彈性變形階段，應力σ與應變ε關系如下：

其中，C是彈性矩陣，表征多孔結構的彈性行為。各向同性材料的彈性矩陣有彈性模量E和泊松比υ兩個獨立變量。數值均質化的本質是利用均質復合材料的各向同性性質來計算其彈性矩陣CH，根據均質化理論，CH計算公式為：

其中，k是剛度矩陣，f是等效節點載荷列陣。

2.2 彈性性能的控制策略

由第2.4小節可知，多邊形維諾多孔結構的設計參數包括棱錐的幾何參數如θ、α、β外，還包括輸入的站點密度場ρ。為了研究上述設計參數對多孔結構彈性性能的控制規律，本小節以數值均質化方法為基礎，采用控制變量法對各參數進行逐一分析，如圖11所示。

圖11 設計參數對多邊形維諾多孔結構的影響規律

1）站點密度ρ

圖11(a)為固定參數θ=45°，α=0.5，β=1.0，k=4時，改變站點密度ρ的取值所對應維諾多孔結構分別在x、y和z方向的相對彈性模量（Ex、Ey、Ez）的變化曲線圖?？梢钥闯?，三個方向的相對彈性模量均隨著站點密度ρ的增大而增大。其原因在于：ρ越大，單位體積內站點數量越多，即維諾胞元的數量越多，孔隙率降低，相對體積分數增大，打印時消耗的材料也增多，因而在各方向上表現得更加堅固。

2）參數θ

圖11(b)為固定參數ρ=0.02，α=0.5，β=1.0，k=4時，改變θ的取值所對應的維諾多孔結構Ex、Ey、Ez的變化曲線圖?？梢钥闯?，θ增大主要導致Ez的增大，而對Ex、Ey影響較小。通過比較θ=45°和θ=65°的多孔結構，可以發現，隨參數θ的增大，多孔結構的部分孔壁斜率增大，在整體上更接近豎直，致使多孔結構在豎直方向的相對彈性模量Ez增大。

3）參數α

圖11(c)所示為固定參數ρ=0.02，θ=45°，β=1.0，k=4時，改變α的取值所對應的維諾多孔結構Ex、Ey、Ez的變化曲線圖?？梢钥闯?，隨著參數α的增大，Ez顯著增大，而Ex和Ey逐漸減小。其原因可分析如下，由于參數α=ε/l，固定l，則隨著α的增大，原點到側面的距離ε增大，即棱錐的錐頂向上移動，側面的面積增大，導致側面與側面之間生成的豎直孔壁占比增大，導致Ez增大。反之，當參數α減小時，棱錐的錐頂向下移動，側面的面積減小，而底面始終不變，導致側面與底面生成的斜率為θ的孔壁較側面與側面生成的豎直孔壁占比增大，使Ez減小。由于Az＞0，即錐頂始終在原點上方，故孔壁的斜率不會低于θ。

3 案例

本小節主要討論梯度維諾多孔結構的應用情況，建模過程均采用Visual Studio 2013的MFC框架，搭配CUDA程序并行計算，在硬件環境為Inter Core2 i5-10400CPU，16GB內存與NVIDIA GeForce GTX 1650顯卡的計算機上實現，最后通過FDM 3D打印機打印成型。

3.1 壓縮實驗

為嚴重本文多孔結構設計方法的有效性，建立了4組不同的立方體多孔結構模型，通過FDM 3D打印機打印成型，并進行壓縮實驗。打印的樣品如圖12(a)所示，包括1組各向同性多孔結構（包含2個樣品，記作iso1和iso2）和3組不同方向的正交各向異性多孔結構（記作xoy1，xoy2，yoz1，yoz2，xyz1，xyz2）。模型尺寸為30×30×30 mm3，打印層厚為0.2mm，打印材料為PLA，打印速度為50mm/s。

圖12 壓縮實驗

對上述各樣品進行x、y、z軸方向的壓縮實驗，實驗設備為萬測電子萬能試驗機TSE504D（圖12(b)），壓縮速度為0.5mm/min，可測的如圖12(c)所示的應力應變曲線，并計算出樣品的彈性模量Ee。為方便對比分析，需將真實彈性模量Ee按下式轉換為相對彈性模量Er：

其中Ee為實驗測得彈性模量，Eb為基體彈性模量，由基體試樣壓縮實驗測得，Eb=851MPa。

此外，按照本文提出的數值均值化方法，也可以分析出設計的各模型分別在x、y、z軸向的相對彈性模量。將數字均質化結果和壓縮試驗結果進行對比，如表2所示。分別表示樣本在三個方向的相對彈性模量，εx、εy和εz分別表示三個方向的相對誤差?？梢钥闯?，實驗結果和數值均質化結果在三個方向上的相對誤差分別為8.14%，4.54%和9.29%，說明本文提出的多孔結構設計方法準確性較高。

表2 壓縮實驗與數字均質化的結果對比

3.2 梯度多孔結構在鞋中底設計中的應用

本小節以足底壓力為驅動，采用本文方法生成定制化的梯度多邊形維諾多孔結構的鞋中底，使其不同區域的彈性模量按照足底壓力大小分布，并采用PLA材料通過FDM 3D打印機進行打印，如圖13所示。此外，本文還設計了各向同性的均質多邊形維諾多孔結構鞋中底作作為對比。

圖13 兩種多邊形維諾多孔結構鞋中底

為分析上述兩種多孔結構鞋中底的性能，本文設計了靜態足底壓力實驗，對足底各區域的壓力進行采集。將壓力傳感器貼合在鞋中底的上表面，體重為75kg的被測人員靜止站立在貼有壓力傳感器的鞋中底上，使用Tekscan足底壓力測量系統采集靜態站立時足底峰值壓力，如圖14所示。

圖14 靜態站立的足底峰值壓力測量

為了更準確的獲取足底壓力數據，分別對兩種鞋中底進行了5次重復實驗，獲得靜態站立時足底峰值平均應力云圖，并擬合出沿鞋中底長度方向的足底壓力曲線如圖15所示。

圖15 足底壓力實驗結果

可以看出，足底受力較大的區域集中在跖骨區和后跟區；在跖骨區，雖然兩種鞋中底受到的峰值壓力基本相當，約為0.083MPa，但梯度多孔結構鞋中底在該區域的受力面積更大，說明受力更均勻；在后跟區域，均勻多孔結構鞋中底受到的峰值壓力為0.156MPa，梯度多孔結構的鞋中底受到的峰值壓力為0.122MPa，相比下降了21.8%。實驗結果表面通過對鞋中底多孔結構進行梯度設計，能夠有效降低靜態站立時的峰值壓力，從而調整足底壓力分布，使鞋中底各區域受力更均勻，提升舒適性。

3.3 其他應用案例

圖16(a)所示為左右兩邊具有不同梯度彈性的長方體，長方體中間部分為各向同性的過渡單元，左右兩邊各向異性方向旋轉了90°，因此呈現出截然不同的彈性行為，即：左半部分可以輕易地彎曲，而右半部分卻保持著較大的剛度；相反，當受到來自上下兩個方向的按壓時，右半部分容易被壓縮，而左半部分則難以被壓縮。圖16(b)所示為手指模型，通過調整模型關節處維諾多孔結構的設計參數，可以使其在受力時僅在關節處發生彎曲，而其他部位不發生彎曲。圖16(c)所示為兩個徑向具有不同彈性性能的圓環模型，左邊的圓環能承受較大的徑向載荷，而右邊的圓環在承受徑向載荷時容易發生變形。圖16(d)所示為沿著軸線各向異性方向由0～90°連續變化的圓柱體，這種設計使其在軸向具有較大的剛度，不容易發生彎曲；而沿著各向異性變化方向扭轉圓柱體時，能輕松地使其發生變形。

圖16 其他應用案例

4 結語

本文提出了一種基于多邊形維諾圖的自支撐梯度彈性多孔結構設計方法，選擇k-棱錐計算多邊形距離，通過固空相判斷算法生成模型每一個切片層的灰度圖像，采用重構算法生成自支撐的維諾多孔結構。在此基礎之上，對k-棱錐進行參數化表達，提取維諾多孔結構的關鍵設計參數。研究了基于設計參數的梯度維諾多孔結構的幾何結構、彈性性能的控制策略。最后，基于數值均質化方法，探索了彈性梯度多孔結構的控制策略，并通過壓縮實驗證明了數值均質化方法的有效性。最后，本文還將所提出梯度多孔結構應用于鞋中底等物體的設計，結果表明：本文提出自支撐梯度彈性多孔結構設計方法設計簡單、可控性高，通過調整設計參數，能夠較為容易的設計出各向異性、各向同性或梯度彈性的多孔結構模型。