基于WFRFT 頻譜預編碼的GFDM 系統性能優化方法

王震鐸，王朝暉，張若愚

（1.哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.南京理工大學近程射頻感知芯片與微系統教育部重點實驗室，江蘇 南京 210094）

0 引言

隨著科學技術的不斷發展，通信的意義和內涵不斷演變。太赫茲通信、通信感知一體化和智能超表面[1-2]等通信技術也迎來了蓬勃發展。智能制造、智慧醫療、智能家居、智慧城市等新興業務場景的不斷涌現，推動了通信、人工智能、大數據、圖像處理和遙感等技術的深度融合[3-4]。從1G 的語音通信到如今5G 的萬物互聯，通信場景正在向多元化的方向發展[5]。國際電信聯盟明確了5G 通信的三大應用場景[6-9]，包括增強型移動寬帶（eMBB,enhanced mobile broadband）、大連接物聯網（mMTC,massive machine-type communication）以及低時延高超可靠通信（URLLC,ultra-reliable &low-latency communication）。然而當今廣泛使用的正交頻分復用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術難以滿足上述應用場景對通信波形更加嚴格的要求，作為5G 候選波形的廣義頻分復用（GFDM,generalized frequency division multiplexing）由于具有更加靈活、高效的優點，成為當前研究的熱點。

GFDM 是一種基于時頻資源塊的非正交多載波調制方案，每個時頻資源單位由若干個子符號和子載波構成[10]。GFDM 系統具有良好的時頻聚焦特性，能夠在多徑環境下提供較好的抗干擾性能和頻譜利用率[11]，是一種適于物聯網、無線電視、衛星通信等領域的調制方式。由于時頻資源配置的靈活性，GFDM 可以很容易地實現與正交頻分復用（OFDM）的兼容，并且支持多個用戶共享物理層資源。從某種意義上說，GFDM 可以視作一種編碼OFDM 技術。另外，在GFDM 中，多個子符號共用一個循環前綴（CP,cyclic prefix），節省了頻帶資源，提升了GFDM 系統的頻帶利用率。此外，文獻[12]表明正交時頻空（OTFS,orthogonal time frequency space）可以作為具有簡單排列的GFDM 信號進行處理。通過正確選擇設計GFDM 參數，可以合成OFDM 和OTFS 等波形。因此以GFDM 系統為研究對象對其他波形技術有一定的參考價值。

為了提高GFDM 系統的性能，減少對相鄰信道的干擾以及推進GFDM 技術與物聯網、車聯網的融合，研究人員一直在深入探究抑制GFDM 系統帶外（OOB,out of band）功率泄漏和降低GFDM 系統的峰均功率比（PAPR,peak to average power ratio）等相關問題。針對OOB 問題，文獻[13]通過對傳統的基于向量的GFDM 系統表征深入研究，提出了一種基于矩陣化表征的GFDM 發射機模型，指出了GFDM 系統OOB 性能與原型濾波器的聯系，并為設計最優濾波器提供了參考。文獻[14]通過將GFDM 發射信號的功率譜密度表示為GFDM 濾波器系數的函數，將最小化OOB 問題轉化為濾波器設計問題，權衡了誤碼率（BER,bit error rate）性能和OOB 性能。文獻[15]利用二次規劃方法對原型濾波器加以設計優化以有效抑制GFDM 系統的帶外功率。除此之外，文獻[16-18]通過GFDM 與索引調制相結合，利用不同子載波的激活狀態從而達到降低帶外輻射、提高功率放大器效率和頻譜效率的效果。針對PAPR 問題，文獻[19]通過對GFDM 系統PAPR 性能的理論性能的分析，闡明了濾波器優化PAPR 性能所能達到的限制。文獻[20]設計了一種基于梯度下降法的線性預編碼器，通過最小化GFDM 信號瞬時功率的方差、二階矩和三階矩等統計參數來降低PAPR，并給出了相應的優化算法。文獻[21]提出了一種預編碼器，通過最小化瞬時功率（IP,instantaneous power），從而降低PAPR。文獻[22]提出了一種基于小波變換的技術，可以有效提升系統PAPR 性能。文獻[23]結合選擇映射（SLM,selective mapping）和部分傳輸序列（PTS,partial transmit sequence）等技術提出了混合沃爾什-哈達瑪預編碼技術，以進一步降低發射端的PAPR。文獻[24-25]通過加權分數傅里葉變換（WFRFT,weighted fractional Fourier transform）來優化GFDM系統PAPR 性能。此外，文獻[26-27]指出WFRFT在衰落信道中具有誤碼率性能優勢。

目前，已有多篇文獻獨立且完整地提出了抑制GFDM 信號的OOB 輻射和降低PAPR 的方案，但只有少數文獻研究了兩者的聯合抑制問題。為了實現對GFDM 系統OOB 和PAPR 性能的聯合優化，本文基于頻譜預編碼（SP,spectral precoding）理論為GFDM 系統設計了一種通用預編碼器。頻譜預編碼是一種重要的技術手段，通過優化信號的頻譜分布，以實現對系統帶外功率的抑制。通過研究GFDM 系統功率譜衰減特性，給出了預編碼器的具體表達式，闡述了預編碼器參數對GFDM 帶外功率的影響，通過調節預編碼器參數實現對GFDM 系統帶外功率的調控。在此基礎上，提出了基于WFRFT頻譜預編碼的GFDM（WFRFT-SP-GFDM）系統，通過二維參數的靈活配置，實現了帶外功率、峰均功率比、誤碼率等性能的聯合優化。

1 系統模型

1.1 GFDM 模型

GFDM 系統是一種針對時頻資源進行調制的多載波傳輸系統，考慮一個具有K個子載波和M個子符號的GFDM 系統，發射端信源提供的比特信息通過正交幅度調制（QAM,quadrature amplitude modulation）得到碼元信息，一個時頻資源單位內包含的N個碼元信息通過M個子符號進行傳輸，每個子符號包含K個子載波，即N=KM。第m個子符號上的碼元信息記為dm=[d0,m,…,dK-1,m]T。GFDM 系統第k個子載波上的M個子符號通過原型濾波器循環卷積進行濾波，濾波后的信號經過上變頻到第k個子載波，生成第k個子載波上的發射信號，通過K個子載波疊加形成的GFDM 信號為

根據式(1)，GFDM 系統調制過程的矩陣形式可以表示為

其中，d=[d0,0,…,dK-1,0,…,dK-1,M-1]T表示待傳輸碼元信息，矩陣A為KM×KM階調制矩陣，表示為

調制矩陣A由原型濾波器經過時移和頻移形成，包含GFDM 信號調制過程中涉及的所有信號處理步驟。

1.2 WFRFT 模型

WFRFT 可以看作傅里葉變換的推廣形式，即傅里葉變換是WFRFT 在某種情況下的特例。階數為α的WFRFT 定義為

其中，x(n)為時域信號，x(-n)為時域反轉信號，X(n)為頻域信號，X(-n)為頻域反轉信號；ω0(α)、ω1(α)、ω2(α)和ω3(α)為WFRFT 的系數，定義為

其中，θ=0,1,2,3。另外，由于加權系數所具有的周期性，因此加權階數α的取值范圍通常為[0,1]。由式(4)可得，階數為α的WFRFT 的矩陣形式為

其中，Wα為α階加權分數傅里葉變換矩陣，表示為

其中，I表示單位陣，F表示傅里葉變換矩陣。當階數α=0時，Wα簡化為單位陣；當階數α=1時，Wα簡化為傅里葉變換矩陣。

2 WFRFT-SP-GFDM 系統模型

圖1 WFRFT-SP-GFDM 系統框架

在預編碼之后，每個子符號通過原型濾波器g(t)進行成型濾波并上變頻，經過時域疊加后得到GFDM 信號，在一個GFDM 信號時間間隔T內，GFDM 信號可以表示為

其中，IM為M階單位陣。當預編碼矩陣U為單位陣時，SP-GFDM 系統簡化為GFDM 系統。

SP-GFDM 信號基帶的功率譜密度可以表示為

通過重復分部積分將式(11)展開為無窮級數

由式(15)可以得出，當預編碼矩陣滿足約束條件時，GFDM 系統的帶外功率衰減速度為f-2J-2甚至更快。約束條件可以等價地改寫為

并且預編碼矩陣U滿足UHU=I。在GFDM 系統調制傳輸過程中，考慮到每個子符號具有相似的譜特性，使GFDM 波形的譜特性呈現一定的規律性。為了方便分析，假設在GFDM 系統預編碼和調制過程中，子符號攜帶具有獨立同分布的碼元信息，且滿足E。因此可得SP-GFDM 系統功率譜密度的另一種表現形式為

其中，Gm(f)是e(f)gm(f)的傅里葉變換。作為多載波調制的一種方案，相對于單載波調制來說，GFDM 系統同樣也面臨著PAPR 較大的問題。PAPR較大時會導致功率放大器工作在非線性區域，引入了信號失真和頻譜再生，影響功率譜的快速衰減。因此通過對GFDM 系統頻譜預編碼，達到帶外功率快速衰減的同時也要考慮對PAPR 的抑制。為此將預編碼器U擴展為預編碼器UQ，并令P=UQ簡化后續表述，通過預編碼器P實現對GFDM 系統的帶外功率和峰均功率比的聯合優化。通過對Q加以設計，實現降低GFDM 系統PAPR 的同時保持帶外功率快速衰減的特性，此時SP-GFDM 系統功率譜可以表示為

酉矩陣具有保持信號能量的性質，它可以有效地保持信號的功率不變。當Q矩陣是酉矩陣時，其不會影響SP-GFDM 系統帶外功率的快速衰減。由式(22)也可得，當Q矩陣是酉矩陣時，其滿足QQH=I，此時式(22)退化為式(21)，即Q為酉矩陣時不影響SP-GFDM 系統帶外功率的快速衰減。值得注意的是，預編碼矩陣P是一個K×S的矩陣，Q矩陣為S×S矩陣，用于在不改變所得功率譜的情況下降低GFDM 系統的PAPR?？紤]到WFRFT預編碼矩陣為酉矩陣且具有易與GFDM 系統結合的特性，并可以有效降低GFDM 系統的PAPR。因此，以此為切入點來研究Q矩陣的具體表達形式。定義一個K×S的矩陣為α階加權分數傅里葉變換矩陣Wα刪除前J列和最后J列的形式。為了實現降低GFDM 系統PAPR 的目的，將預編碼矩陣逼近取得最小值，即約束條件為

在這種情況下，GFDM 波形與WFRFT 預編碼的GFDM 波形具有相似性，從而實現在帶外功率快速衰減的情況下降低系統PAPR。對約束條件進一步分析可得

由式(25)和式(26)可得優化后的結果為

WFRFT-SP-GFDM 系統的矩陣表示為

其中，J和α為預編碼器參數。當預編碼參數取特定值時，如表1 所示，WFRFT-SP-GFDM 可退化為不同的波形模態，在基于WFRFT 的通用預編碼框架下，實現了WFRFT-SP-GFDM、WFRFT-GFDM、SP-GFDM、GFDM 等波形體制的融合。

表1 WFRFT-SP-GFDM 參數等效關系

3 仿真結果與分析

為了驗證WFRFT-SP-GFDM 系統的性能優勢，本節對WFRFT-SP-GFDM 系統OOB、PAPR 和BER性能進行了仿真。表2 給出了WFRFT-SP-GFDM 系統仿真參數設定。

表2 WFRFT-SP-GFDM 系統仿真參數設定

3.1 帶外功率性能

為了研究WFRFT-SP-GFDM 系統在帶外功率快速衰減以及不同參數下的預編碼器對帶外功率影響的效果，對WFRFT-SP-GFDM 系統的OOB 性能進行了仿真分析。圖2 給出了當子載波參數K分別為128 和256 時，隨著參數J增大，WFRFTSP-GFDM 系統相比于GFDM 系統在子載波利用率所承受的具體損失。

圖2 WFRFT-SP-GFDM 系統子載波利用率

如圖3 所示，與GFDM 系統相比，SP-GFDM系統帶外功率泄露較低，即SP-GFDM 系統可以實現更快的帶外功率衰減，而且參數J不同時的SP-GFDM 系統的帶外功率衰減也有差異，即隨著參數J的增大，衰減速率加快，證明了推導結果的正確性。如圖4 所示，不同α參數下的SP-GFDM系統和WFRFT-SP-GFDM 系統的OOB 性能基本一致，即WFRFT-SP-GFDM 系統OOB 性能不受參數α的影響。相同參數J下 SP-GFDM 系統和WFRFT-SP-GFDM 系統OOB 性能具有一致性，驗證了式(22)所指出的當Q為酉矩陣時不會影響GFDM 系統帶外功率的性能。另外，圖3 和圖4 表明，當預編碼參數J增大時，系統使用的子載波并未減少，仍為128 個子載波，即所有子載波均處于使用狀態。這一結果表明，無論預編碼參數J的取值如何，系統都能夠充分利用所有子載波進行信息傳輸?？傮w而言，WFRFT-SP-GFDM 系統可以通過調節參數J來調控帶外功率抑制性能，實現帶外功率抑制和子載波利用率的折中，且比GFDM、WFRFT-GFDM 等波形具有更低的帶外功率。

圖3 SP-GFDM 系統帶外功率性能

圖4 WFRFT-SP-GFDM 系統帶外功率性能

3.2 峰均功率比性能

為了研究預編碼參數對WFRFT-SP-GFDM 系統PAPR 性能的影響，對WFRFT-SP-GFDM 系統PAPR 性能進行了仿真分析，仿真過程中采用4 倍過采樣處理。

如圖5 所示，其中，橫坐標r0表示PAPR 門限值，縱坐標CCDF 表示系統大于對應PAPR 門限值的概率。SP-GFDM 系統的PAPR 性能與GFDM 系統的PAPR 性能相比基本一致，即U預編碼對GFDM 系統的PAPR 性能有輕微的影響。參數α相同時，不同參數J下WFRFT-SP-GFDM 系統性能基本一致，即參數J不影響WFRFT-SP-GFDM 系統的PAPR 性能。參數J相同時，與GFDM 系統相比，不同參數α下WFRFT-SP-GFDM系統PAPR性能有所改變，且隨著參數α的增大，PAPR 抑制效果逐漸增強。結合WFRFT-SP-GFDM 系統OOB 性能分析，通過矩陣U和矩陣Qα分別實現了對GFDM 系統的OOB 性能和PAPR 性能的調控，且兩者具有不會相互作用影響的良好性質，通過調節參數J和α，實現GFDM 系統OOB 性能和PAPR 性能的協同控制。此外，當編碼參數α相同時，WFRFT-SP-GFDM 系統的 PAPR 性能逼近于WFRFT-GFDM 系統PAPR 性能。

圖5 WFRFT-SP-GFDM 系統峰均功率比性能

3.3 誤碼率性能

為了探究預編碼參數對 WFRFT-SP-GFDM系統誤碼率的影響，對WFRFT-SP-GFDM 系統BER 性能進行了仿真分析。仿真中信道為AWGN信道和多徑信道，其中，多徑信道設置為6 條徑，每條徑的時延設置為[0,100,150,200,250,300]ns，每條徑的平均功率設置為[0,-3,-6,-7.2,-10.8,-18,-25.2]dB。

圖6 SP-GFDM 系統誤碼率性能

圖7 WFRFT-SP-GFDM 系統誤碼率性能

4 結束語

本文面向通信波形的帶外功率抑制需求，針對GFDM 系統的帶外功率、峰均功率比、誤碼率等性能的聯合優化問題，提出了一種基于WFRFT 的通用頻譜預編碼器。通過對SP-GFDM 系統功率譜衰減特性的理論分析，推導了使其快速衰減的約束條件，給出了預編碼矩陣的具體表達式，詳細論述了預編碼參數對GFDM 系統帶外功率衰減的影響機理。在此基礎上，結合 WFRFT 理論提出了WFRFT-SP-GFDM 系統，通過二維參數的靈活配置，WFRFT-SP-GFDM 可退化為GFDM、SP-GFDM、WFRFT-GFDM 等波形，實現了對帶外功率、峰均功率比等性能的靈活調控。仿真結果表明，WFRFT-SP-GFDM 系統實現了帶外功率、峰均功率比、誤碼率、子載波利用率等性能的聯合優化，與GFDM 波形相比，具有更低的帶外功率和峰均功率比；與WFRFT-GFDM 波形相比，在峰均功率比和誤碼率性能近似相同時，具有更低的帶外功率性能。