基于稀疏貝葉斯學習的大規模多用戶檢測算法

陳平平，王宣達，謝肇鵬，方毅，陳家輝

（1.福州大學先進制造學院，福建 泉州 362251；2.福建省媒體信息智能處理與無線傳輸重點實驗室，福建 福州 350108；3.廣東工業大學信息工程學院，廣東 廣州 510006）

0 引言

5G 海量機器類通信（mMTC,massive machine type communication）場景如今受到廣泛關注，并被應用于工業自動化、自動駕駛、智慧城市等物聯網領域。在mMTC 通信場景下，傳統的基于調度的正交多址接入方案已經無法滿足需求。由于基站要為每臺設備分配正交的時間或頻率資源，當設備的總數遠多于資源的總數時，復雜的調度過程會導致顯著信令開銷和過多時延[1]，這在發送零星短數據包的場景中效率很低。為了克服上述缺點，研究者提出一種免授權非正交多址接入（GF-NOMA,grant-free non-orthogonal multiple access）方案，允許設備在相同的時間或頻率資源上傳輸數據符號而不需要依賴基站授權[2-3]。用戶在傳輸過程中不需要基站的上行授權，而是隨機自主地傳輸數據，因此基站并沒有來自用戶的任何先驗信息，需要進行多用戶檢測，在接收到信號后能夠識別所有發送信息的活躍用戶集合，從而檢測出它們發送的數據。

在mMTC 傳輸場景中，活躍用戶數一般遠少于總用戶數，即活躍用戶是稀疏的，這就使原先的多用戶檢測問題能夠轉換為稀疏信號的重構問題。傳統的壓縮感知算法，如正交匹配追蹤[4]、分段正交匹配追蹤[5]等經典貪婪算法已經被廣泛應用。Wang 等[6]利用mMTC 系統中活躍用戶固有結構稀疏性提出一種結構化迭代支持檢測算法，能夠在連續的時隙中聯合檢測活躍用戶和其傳輸的數據。利用前一時隙估計的傳輸符號和活躍用戶集作為先驗知識，一種交替方向乘子法算法可以提高多用戶檢測性能[7]。文獻[8-9]研究了基于期望傳播的聯合活躍用戶檢測、信道估計和數據檢測的方法。通過改進識別序列，將正弦擴頻序列應用于mMTC 的擴頻序列，一種非迭代、低復雜度的算法被用于多用戶檢測[10]。

然而，上述方法得出的往往不是最優的稀疏解，貝葉斯算法證明在多數情況可以實現最優的稀疏解。Tipping 等[11]提出了一種稀疏貝葉斯學習（SBL,sparse Bayesian learning）算法，用于機器學習中的回歸和分類。Wipf 等[12-13]將SBL 算法引入壓縮感知（CS,compressive sensing）領域，針對單測量向量（SMV,single measurement vector）模型稀疏信號進行恢復，并擴展到多測量向量（MMV,multiple measurement vector）模型推導出MSBL（multiple SBL）算法。Zhang 等[14]研究了塊稀疏貝葉斯學習框架，將MMV 模型轉化為具有塊狀結構的SMV 模型，探索時間相關性進而提出了T-SBL和T-MSBL 算法。Fang 等[15]則提出了支撐集輔助的稀疏貝葉斯學習算法，應用一部分已知的先驗支撐集信息，在參數上增加了第三層先驗，表征稀疏控制的超參數。Fang 等[16]研究了結構化配對的稀疏貝葉斯學習算法，將每個單獨的超參數與每個系數獨立關聯，而每個系數不僅涉及其自身的超參數，還涉及近鄰的超參數。

由于傳統SBL 算法在實現每次迭代時使用矩陣求逆，對于高維度數據復雜性太高，因此文獻[17]研究了基于高斯廣義近似消息傳遞稀疏貝葉斯學習算法，通過使用該算法實現SBL 算法中的期望最大化步驟，顯著降低了計算復雜度。近幾年，基于SBL 的各種改進算法已經在mMTC 多用戶檢測中被廣泛應用[18-22]。

現有SBL 算法都是基于高斯逆伽馬（GIG,Gaussian inverse Gamma）先驗模型，沒有考慮稀疏信號所對應的支撐集中存在的稀疏性，即稀疏信號中的元素是稀疏的，那么其所對應的支撐集向量也是稀疏的。因此，為了更好地利用這個特性，本文提出了一種伯努利高斯逆伽馬（BGIG,Bernoulli Gaussian inverse Gamma）先驗模型。該先驗模型首先引入了一個服從伯努利分布的二元向量作為支撐集向量，通過SBL 算法進行學習，促進重構解的稀疏性。接著，利用信號在多時隙場景傳輸中所具備的聯合稀疏性，通過共享一個服從伽馬分布的超參數來增強該重構性質，從而將該模型推廣到了MMV 場景中。最后，在GF-NOMA 系統中多個時隙內多用戶檢測實驗結果表明，本文提出的 BGIG-SBL 算法和BGIG-SBL-MMV 算法檢測性能優于現有的GIG-SBL 算法。

1 系統模型

本文考慮了一個GF-NOMA 的mMTC 多用戶上行鏈路系統，共有一個基站和K個用戶（K>100），系統模型如圖1 所示。

圖1 系統模型

每個用戶配有一根發送天線且基站配有一根接收天線。系統使用N個子載波來傳輸信號，其中N＜K?；驹诘趎個子載波上接收到的信號可以表示為

其中，xk代表第k個用戶所發送的符號；φnk代表長度為K的擴頻序列φk上的第n個分量；gnk代表用戶所在的第n個子載波上的信道增益，是一個具有零均值和單位方差的獨立同分布復高斯變量。也就是說，本文考慮的是瑞利衰落信道，該模型廣泛應用于無線通信中[23]。vn代表第n個子載波均值為0、方差為η2的加性白高斯噪聲。

基站合并N個子載波上的接收信號，接收信號向量可以進一步表示為

H是一個大小為N×K的等效信道矩陣，第n行第k列所對應元素hnk=gnk φnk，h·k代表等效信道矩陣H的第k列，hn·代表H的第n行。如果考慮信號是連續J個時隙發送，則有

其中，yj代表第j個時隙接收到的信號向量；Hj代表第j個時隙的等效信道矩陣，其具體形式是不同時隙內的信道增益gnk(j)乘相同的擴頻矩陣φnk；xj代表第j個時隙發送的信號向量；vj代表第j個時隙高斯噪聲向量。本文假設用戶在發送多個時隙的信號時，活躍用戶索引是不變的。這使信號獲得了聯合稀疏的先驗特征，使用此特征將有助于提升稀疏信號的重構性能[24]。

2 GIG-SBL 算法

2.1 分層貝葉斯模型

先回顧一下傳統的分層貝葉斯模型，其通過添加GIG 先驗模型來重構稀疏解。

在傳統的分層貝葉斯模型中，似然函數一般假設服從高斯分布，即是大小為N×N的單位矩陣。

先驗函數分為兩層，在第一層中，發送信號x通常被假設服從具有零均值的高斯先驗分布，即p(x)～ N (0,τ-1)。x的每個分量xk均采用高斯分布建模，即

其中，τ=[τ1,…,τk],=diag(τ)。

第二層中，假設超參數τ服從伽馬分布，即p(τ)～Gamma(a,b)。τ是非負超參數，a是形狀參數，b是尺度參數。本文把參數a和b設為非常小的值，即 10-4。之所以假設超參數τ服從伽馬分布，是因為伽馬分布是高斯分布的共軛先驗。因此其后驗分布和先驗分布形式相近，意味著當獲得新的數據時能夠直接通過參數更新獲得新的后驗分布，此后驗分布將會在下次新數據到來的時候成為新的先驗分布。再更新后驗分布就不需要通過大量的計算，即

假設噪聲參數ε也服從伽馬分布，即p(ε)～Gamma(c,d)。設超參數c,d=10-4，有

基于GIG 先驗的概率圖模型如圖2 所示。

圖2 基于GIG 先驗的概率圖模型

2.2 GIG-SBL-SMV 算法

接收端目標是根據單接收信號向量y恢復出稀疏信號x。從圖2 可以看出，y分別由2 個變量x,ε控制。超參數τ負責控制稀疏信號x的精度，τ,ε分別取決于超參數a,b和c,d。

在GIG-SBL-SMV 算法中，接收端的后驗概率分布p(x,,)在實際中往往無法直接算出?？捎米兎重惾~斯推斷使用另一個模型分布q(x,τ,ε)近似表示。根據平均場理論，該分布可以被完全因式分解為相互獨立變量的后驗概率分布，即

這里，在更新一個變量的同時，其他變量的最新分布保持固定[18]

對于向量變量z，其估計期望值定義為

此時，稀疏信號x的更新規則為[15]

其中，D:=diag()?？梢缘玫絨(x)服從均值為、方差為Φ的高斯分布，即q(x)～ N(,Φ)，更新式如下

另外，精度τ的更新規則為

其中，σ2代表所求協方差矩陣Φ中對應的對角線

進一步地，可以得到τ的更新結果為

最后，噪聲參數ε的更新規則為[18]

可以驗證出q(ε) 服從伽馬分布，即

因此，可以得到ε的更新結果為

傳統GIG-SBL-SMV 算法總結如算法1 所示。

算法1GIG-SBL-SMV 算法

3 BGIG-SBL 算法

現有SBL 算法都是基于上述GIG 先驗模型進行研究的，忽略了稀疏解中所對應的支撐集中存在的稀疏性。本文提出了一種新的基于伯努利高斯逆伽馬的稀疏貝葉斯學習算法，解決稀疏信號重構問題。不同于傳統GIG 模型，本文在新先驗模型中引入了伯努利先驗。該先驗參數是一個二元向量，即其元素為0 或1，可通過基于分層貝葉斯模型的SBL算法進行學習。另外，本文利用發送信號所具有的聯合稀疏性先驗這一特點，通過共享一個控制稀疏度的超參數來提升信號的重構性能。

3.1 BGIG-SBL-SMV 算法

在伯努利高斯逆伽馬模型中，稀疏解定義為s?x，其中，s為二進制支撐集向量，表示稀疏解中非零元素的位置；x為重構稀疏解；?為哈達瑪積，這里表示2 個向量中的對應元素相乘。先驗參數s結合了一個參數γ來決定重構稀疏信號所對應的支持集中存在的稀疏性。

本文假設向量s中的各個元素sk服從伯努利分布，即p(sk)～Bernoulli(γk)，以及

向量γ中的各個元素γk假設服從貝塔分布，即p(γk)～Beta(α0,β0)。

其中，α0和β0是支撐集向量γ的初始超參數，文獻[25]證明了為向量s的初始超參數分配較大的值會使信號對應的支撐集中具有更多的連續性，因此這里將超參數α0和β0分別設為1.4 和2。這里選擇伯努利分布和貝塔分布，是因為兩者存在著共軛分布屬性。此外，剩下的參數仍與上文提到的GIG 模型一致，服從相同先驗分布，即p(x)～N(0,τ-1),p(τ)～Gamma(a,b),p(ε)～Gamma(c,d)。

本文將這種基于單觀測向量y的伯努利高斯逆伽馬的稀疏貝葉斯學習算法稱為BGIG-SBL-SMV。本文提出的基于BGIG 先驗的概率圖模型如圖3 所示。

圖3 基于BGIG 先驗的概率圖模型

由于本文在傳統GIG 模型中加入了一個支撐集向量s，稀疏解被定義為s?x。因此，盡管2 個模型中很多參數的先驗分布基本是相同的，但是BGIG-SBL-SMV 中參數的更新規則相較于傳統的GIG 模型有所區別，各個參數的更新規則如下。具體式推導如附錄1 所示。

1) 支撐集向量s的更新規則為

進一步地，可以得到參數s中第k個元素sk的更新規則為

2) 控制支撐集向量s的參數γ更新規則為

從而可以得到參數γ的更新規則為

3）稀疏信號x的更新規則為

其均值和方差分別更新如下

4) 控制稀疏信號x的精度τ更新規則為

則參數τ的更新式為

5) 噪聲參數ε的更新規則為

則ε的更新式為

本文提出BGIG-SBL-SMV 算法如算法2 所示。

算法2BGIG-SBL-SMV 算法

3.2 BGIG-SBL-MMV 算法

傳統基于MMV的SBL算法將原來單個的觀測向量y擴展出J個接收時隙的多個接收信號向量[y1,y2,…,yJ]并行處理，而在此過程中，觀測矩陣φ依舊是不變的。通過共享從伽馬分布中提取的公共超參數τ，與貝葉斯推理相結合生成了一種新的MSBL 算法[13]。

然而，本文考慮的是實際mMTC 傳輸場景，即信道狀態在多個時隙內是隨機變化的。而之前mMTC 傳輸場景中基于SBL 的多用戶檢測算法依舊是假設信道增益g和擴頻矩陣φ在多個時隙內是不變的，從而也就沒有對等效信道矩陣H分時隙來考慮[20]。本文的MMV模型與之前的MMV模型不同之處在于，本文考慮了信道增益g在多時隙發送時是隨時間變化的，這更符合實際mMTC 無線通信場景。擴頻矩陣φ依舊保持不變，但由于擴頻矩陣φ與不同的信道增益gnk(j)相乘，因此等效信道矩陣H劃分成了多個時隙[H1,H2,…,HJ]。

本文將提出的BGIG-SBL 算法推廣到上述的MMV 模型中，提出了BGIG-SBL-MMV 算法，來進一步提高稀疏信號的重構性能。在該 MMV模型中，BGIG-SBL-MMV 算法仍假設各參數具有與3.1 節相同的先驗分布，即

定義對于任意向量zj，有標量zk,j∈zj,?k=1,2,…,K，zk,j為第j個向量zj中的第k個元素，j=1,2,…,J?；贛MV 的BGIG-SBL 先驗概率圖模型如圖4 所示。

圖4 基于MMV 的BGIG-SBL 先驗概率圖模型

所提BGIG-SBL-MMV 算法各個參數的更新規則如下，具體推導如附錄2 所示。

1) 第j個時隙支撐集向量sj的更新規則為

進一步地，可以得到sj中第k個元素sk,j的更新式為

2) 第j個時隙的控制sj的精度參數γj的更新規則為

由此得到參數γj的更新式為

3) 第j個時隙的發送信號xj的更新規則為

其均值和方差更新式分別為

4) 給定J個xj信號控制精度參數τ的更新規則為

從而得到參數τ的更新式為

其中，是協方差矩陣Φj中對應的對角線元素，即=diag(Φj)?？梢钥吹?，超參數利用J個不同時隙的信號參數，加強了重構解的聯合稀疏性，而且由于與高斯似然共軛，可以方便地進行貝葉斯推理。

5) 第j個時隙噪聲參數εj的更新規則為

因此，可以得到參數εj的更新式為

所提BGIG-SBL-MMV 算法如算法3 所示。

算法3所提BGIG-SBL-MMV 算法

4 算法仿真結果及分析

本節在一個GF-NOMA系統中測試所提方案的性能。與文獻[7,18]相似，本文設置該多用戶mMTC通信中的總用戶數K=108，子載波數N=72，活躍用戶數M=12，時隙J=7，采用BPSK 調制。這里比較不同算法在多時隙傳輸場景的檢測性能，指標包括誤碼率（BER,bit error rate）、活躍度差錯率（AER,activity error rate）、均方誤差（MSE,mean squared error）和歸一化均方誤差（NMSE,normalized mean squared error）。

定義BER 為重構信號后的錯誤比特數與總傳輸比特數的比值，AER 為估計的活躍用戶索引出錯個數與總活躍用戶索引個數的比值。MSE 和NMSE分別定義為[10,12]

采用GIG-SBL-SMV 算法[26]和GIG-SBL-MMV算法作為對比算法，多時隙傳輸場景下不同SBL 算法在不同信噪比（SNR,signal to noise ratio）下的BER 如圖5 所示。從圖5 可以看出，在SNR=2～8 dB時，在單測量向量 SMV 方案下，本文提出BGIG-SBL-SMV的性能優于傳統GIG-SBL-SMV約1 dB。這是因為所提方案引入一個二元伯努利向量來學習活躍用戶索引的信號稀疏性，提高了稀疏信號的重構性能。從圖5 還可以看出，在多測量向量MMV 架構下，所提BGIG-SBL-MMV 算法相對于傳統GIG-SBL-MMV 算法有2 dB 的性能增益，同時比單測量向量BGIG-SBL-SMV 算法有4 dB 的性能增益。因為前者在處理多個時隙信號時，共享了控制稀疏解的超參數，提高了解的聯合稀疏性和重構性能。

圖5 不同SBL 算法的BER

多時隙傳輸場景下，不同SBL 算法在不同信噪比下的AER 如圖6 所示。從圖6 可以看出，在相同的AER 時，所提BGIG-SBL-SMV 算法優于傳統的 GIG-SBL-SMV 算法約 1 dB，同時與所提BGIG-SBL-MMV 相差約2 dB。

圖6 不同SBL 算法的AER

圖7 和圖8 分別展示了不同信噪比下發送端的原始信號與接收端檢測出的信號之間的MSE與NMSE。從圖中7 和圖8 可以看出，隨著SNR的增加，檢測出的信號值與原始發送信號值之間的差異會越來越小。所提BGIG-SBL-MMV 相較于其他算法具有顯著的性能優勢，具體來說，在MSE 或NMSE 相同時，其相較于GIG-SBL-MMV有約2 dB 的性能增益，相比BGIG-SBL-SMV 有約4 dB 的性能增益，相較于GIG-SBL-SMV 有約5 dB 的性能增益。這是因為BGIG-SBL-MMV 不僅通過本文提出的二元伯努利向量來學習活躍用戶索引，同時在處理多時隙信號時，共享控制重構稀疏解的超參數，從而保證了估計信號的聯合稀疏性。

圖7 不同SBL 算法的MSE

圖8 不同SBL 算法的NMSE

不同SBL 算法在不同活躍用戶度Pa下的BER性能如圖9 所示。從圖9 可以看出，當SNR=6 dB 時，所提BGIG-SBL-SMV 算法在Pa較小時，即Pa<0.2時，具有良好的檢測性能。例如，在Pa=0.1 時，BGIG-SBL-SMV 算法相較于傳統的GIG-SBL-SMV算法檢測性能更好。但是隨著活躍用戶度的增加，當活躍用戶度大于0.2 時，BGIG-SBL-SMV 算法檢測性能會逐漸和傳統的GIG-SBL-SMV 算法持平。這是因為SBL 算法本身利用了傳輸信號的稀疏性，因此其只適用于活躍用戶少的場景，不適合活躍用戶多的場景。而本文提出的BGIG-SBL-MMV 算法在不同活躍用戶度下相較于其他算法依舊維持著較高的性能。比如GIG-SBL-MMV算法在Pa=0.1時可達到BER在10-3數量級，而BGIG-SBL-MMV 算法在更多活躍用戶下，即Pa=0.15 時，也達到相同的BER 性能。

圖9 不同活躍用戶度下的仿真結果

5 結束語

本文提出了一種基于伯努利高斯逆伽馬先驗模型的稀疏貝葉斯學習算法，通過引入一個二元伯努利向量來學習稀疏信號所對應的支撐集中存在的稀疏性。同時將BGIG-SBL 算法擴展到多測量向量MMV 模型中，共享了控制稀疏解的超參數，利用了信號的聯合稀疏解特點，進一步提升多用戶信號的重構性能。實驗結果表明，在mMTC 多用戶檢測場景中，本文提出的BGIG-SBL-SMV 以及BGIG-SBL-MMV 算法的重構性能顯著優于現有的GIG-SBL-SMV 和GIG-SBL-MMV 算法。此外，基于MMV 多測量向量的檢測方案BGIG-SBL-MMV相對單測量向量BGIG-SBL-SMV和GIG-SBL-SMV方案，分別有2 dB 和4 dB 的性能增益，同時能檢測更多的活躍用戶。

附錄1 BGIG-SBL 算法各參數更新規則推導過程

1) 支撐集向量s更新規則式(25)推導如下[25,27]

其中，ψ是伽馬函數的對數導數，即

由于sk是一個隨機的二元伯努利變量，因此

2) 支撐集向量s的參數γ更新規則式(26)推導如下

可以驗證q(γ) 服從貝塔分布，即

3) 稀疏重構信號x的更新規則式(28)推導如下

可以驗證q(x) 服從高斯分布，即

4) 控制稀疏信號x的精度τ更新規則式(32)推導如下

可以驗證q(τ) 服從伽馬分布，即

5) 噪聲參數ε的更新規則式(34)推導如下

由此可以驗證q(ε) 服從伽馬分布，即

附錄2 BGIG-SBL-MMV 算法各參數更新規則推導過程

1)sj的更新規則式(38)推導如下

其中，hnk,j代表第j個等效信道矩陣Hj中的第n行第k列上的元素，從而有

因為sk,j是一個隨機的二元伯努利變量，有

由此可以驗證

2)γj的更新規則式(40)推導如下

則可以驗證q(γj)～Beta(αj,βj)。

3)xj的更新規則為

由此，如式(41)，可驗證

4)τ的更新規則式(45)推導如下

通過推導可得

5)εj的更新規則式(47)推導如下

由此，可以驗證