可降階的高階微分方程中的一個教學案例

劉海濤 鐘文敏 李響軍

摘? 要：針對本科高等數學課程中可降階微分方程教學內容的特點以及軍隊院校育人要求，為了更好地提高學生學習積極性、培養學生數學應用能力，以導彈飛行軌跡問題為切入點設計教學案例，通過創設情景、提出問題，引導討論、建立模型，歸納分析、引出教學內容，分析討論、講解求解方法，回歸問題、培養應用能力等五個環節，對教學過程進行重新設計，方便教師使用。

關鍵詞：教學案例；可降階的高階微分方程；高等數學；數學應用能力；教學設計

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2023）32-0099-04

Abstract： In view of the characteristics of reducible higher order differential equations in Higher Mathematics of the undergraduate course， and the education requirement of military academies， in order to improve students' enthusiasm for learning and cultivate their mathematical application ability， the teaching case is designed with the missile flight trajectory as the starting point. Through creating scenarios and raising questions， guiding discussion and giving cases， summing up and leading to the teaching content， analyzing， discussing and explaining the method， returning to the problem and cultivating application ability， the teaching process has been redesigned for the convenience of teachers.

Keywords： teaching case; reducible higher order differential equations; Higher Mathematics; mathematics application ability; teaching design

基金項目：軍隊院校教學成果立項培育項目“為戰育人導向下的《工程數學》課程教學改革實踐”（NUE2022TA01）

第一作者簡介：劉海濤（1982-），男，漢族，河北廊坊人，博士，副教授。研究方向為應用數學。

微分方程是高等數學中一個重要教學內容，在同濟大學第七版《高等數學》教材中出現在第七章，對于培養學生抽象思維和分析解決實際問題的能力有重要作用[1]。通常，大學一年級學生往往求知欲旺盛，在學習過程中希望學以致用。特別是對軍隊院校大學一年級學員而言，濃厚的軍營氛圍以及未來的崗位特點使他們更希望將所學知識與軍事問題聯系起來。為了調動學員的學習積極性，培養學員數學應用能力，本文設計了一個有軍事背景的以導彈飛行軌跡問題為切入點的教學案例，旨在激發學生的學習興趣，引導其將理論與實踐聯系起來，提高創新意識和創造能力[2-3]。

在此部分教學內容之前，學生已經學習了一元微積分學，以及幾種典型的一階微分方程及其解法，從而對于微分方程形成了一些基本的認識。而本節內容即可降階的高階微分方程則是微分方程教學內容的又一個重要組成部分，主要體現在：首先，本節教學內容是學生第一次接觸高階微分方程，是他們學習更多不同類型微分方程的過渡和橋梁；其次，本次教學內容中的“降階法”，是求解許多高階微分方程的一種基本思路，對于后續課程的學習乃至一些實際問題的解決都有重要作用。

傳統教學方法通常是以分析可降階微分方程的特點為思路引出這部分教學內容，這對于學生掌握好這部分理論知識固然重要，但純粹從數學知識體系角度設計的教學過程難免顯得枯燥，不容易引起學生的學習興趣。探究式教學和案例式教學以具體問題為引入，對于調動學生的學習積極性有很好的作用，同時通過創設有軍事背景的問題情境，并以問題為牽引的方式開展教學，有助于更好地調動學生的學習狀態，培養學生的分析問題、解決問題的能力[4-5]?；诖?，本文通過抽象和簡化，給出一個基于導彈飛行軌跡問題的教學案例，方便教師在教學過程中使用。

一? 教學目標

通過本次課的課堂教學，使學生達到以下目標：一是會辨識常見的可以用降階法求解的微分方程；二是掌握可降階微分方程的求解方法，領會“降階法”的基本思想；三是通過利用所學知識解決導彈飛行軌跡問題，提高分析問題、解決問題的能力。

二? 教學設計

本案例主要討論一種可以用降階法求解的高階微分方程。首先通過一個學員較感興趣的軍事問題引入；然后，分析該問題的特點，并引出教學內容；接著，研究討論解決該問題的方法；最后解決開頭提出的軍事問題。

根據上述分析，將教學流程設計為以下五個環節。

第一，創設情境，提出問題。通過一個學生較感興趣的軍事問題，適當配以視頻、文字等素材創設情境并提出問題，即如何確定導彈在跟蹤和命中空中目標過程中的飛行軌跡。

第二，引導討論，建立模型。對問題進行適當抽象和簡化，通過建立該問題的數學模型，得到描述該問題的微分方程。

第三，歸納分析，引出教學內容。通過分析歸納該方程的特點，引出教學內容，即可降階的高階微分方程。

第四，分析討論，講解求解方法。通過分析微分方程的特點，提煉出用降階法求解微分方程的一般過程，并結合例題加以鞏固。

第五，回歸問題，培養應用能力。利用所學方法解決開頭提出的導彈飛行軌跡確定問題，激發學習興趣，提高學生的數學應用能力。

三? 教學流程

（一）? 創設情境，提出問題

針對軍校學員的專業背景特點，建議選取已公開的導彈射擊演練視頻作為課程的起始，以此創設教學情境，使學員迅速進入良好的學習狀態。通常，導彈跟蹤和命中空中目標的過程可以分為三個階段：一是偵察預警系統將目標運動軌跡、飛行速度等實時參數通過信息系統同步發送到導彈發射平臺；二是導彈發射平臺自動計算射擊諸元，完成射擊準備；三是發射導彈，跟蹤并命中空中目標。

由于整個過程是一個十分復雜的系統工程，因此，需要引導學員關注與本次課程內容緊密相關的部分，即在第二階段導彈發射平臺在進行射擊準備的過程中，如何確定導彈的飛行軌跡？

至此，創設情境環節結束，整個過程持續約2～3分鐘，并由此轉入下一階段，即引導學員參與討論，進而建立該問題的數學模型。

（二）? 引導討論，建立模型

一般而言，由于實際問題往往較為復雜，因此為了用數學方法加以解決，常常需要通過抽象和簡化，建立其數學模型。從另一個角度看，正是由于高等數學教學內容非常抽象，因此只有建立了實際問題的數學模型，才能更好地將其與所學知識緊密關聯起來。

針對導彈飛行軌跡確定問題，首先需要建立描述該問題的直角坐標系。假設在發射時刻t=0時，導彈位于坐標原點，不妨假設空中目標位于點（3，4），并且以200 m/s的速度沿x軸正向飛行。

接著，不妨假設導彈飛行速度為400 m/s，并且導彈采取的導引律為“尾追法”，即其在飛行過程中始終指向空中目標。為了求出導彈的飛行軌跡，記其飛行軌跡為函數y=f（x）。顯然，飛行軌跡函數中的x，y都是時刻t的函數，因此要求出該函數，就需要分析x，y隨時間的t的變化規律。

記導彈在t時刻位于點M（x，y），根據已知條件，導彈在飛行過程中始終指向空中目標，因此導彈的速度方向始終與導彈當前位置M點與目標t時刻位置A點的連線一致。

設空中目標在t時刻的位置坐標是（xA，4）。則由于目標的初始位置是點（3，4），而飛行速度是200 m/s，因此容易得到A點的橫坐標為xA=3+200 t。

又因為導彈始終指向目標，因此點M處的切線斜率等于M點和A點連線的斜率，即

再把導彈的速度進行分解，兩個沿坐標軸的分速度的平方和即為導彈速度的平方，由此得到

利用所得到的式（1）和式（2），通過整理消掉變量t，就可以得到導彈運動軌跡滿足的微分方程為

求解出這個微分方程，就可以確定導彈飛行軌跡。也就是說導彈飛行軌跡的確定問題轉化為了高階微分方程的求解問題。

該過程大約持續4～5分鐘。由此轉入下一環節，即通過歸納和分析，引出本次課的教學內容。

（三）? 歸納分析，引出教學內容

由于本次課教學內容是可降階的高階微分方程，因此需要通過歸納分析微分方程式（3）的一般特點，進而引出教學內容。

首先，復習微分方程的“階”的定義，并由此指出，該微分方程是一個高階微分方程。事實上，根據前面的學習可知，微分方程的“階”是指方程中未知函數的最高階導數的階數。具體到上述飛行軌跡方程，由于變量x是未知函數，而變量y是自變量，因此這個方程階是2。

再進一步，在這個方程中除了未知函數的導數，只有自變量y而沒有未知函數x。因此可以將其特點歸納為：不顯含未知函數的二階微分方程。其一般形式是

需要注意的是，在此過程中應提醒學生：盡管出于習慣，我們常常是把y看作未知函數，而把x看作自變量，但這不是必須的，例如在方程式（3）中就把變量x看作未知函數。

（四）? 分析討論，講解求解方法

經過上述幾個環節，大約使用8分鐘時間完成了創設情境、建立模型和引出教學內容等步驟，接下來進入分析討論、知識講解環節。

首先從認識論認知心理學的角度看，當我們面對一個新問題時，往往首先考慮的借助與之相關的、已經掌握的方法來解決它。因此，對于高階微分方程，一種自然也重要的思路是：將高階微分方程的階降低，轉化為一階微分方程，再來進行求解。

因此，接下來引導學員觀察式（4）：由于方程中只出現了二階導數，因此若把y′看作一個整體，用一個新的未知函數來代替它（即變量代換），例如令y′=p，則方程的階就可以降低。

嘗試令y′=p（x），并且兩邊同時對x求導數，可得

將式（5）代入原方程得到

至此可得到一個以x為自變量、以p為未知函數的一階微分方程（6）。若該一階微分方程能夠利用已有知識求解，則直接求出它的通解，并記為p=φ（x，C1）。

再將引入的變量p代入上述通解，就可以得到

于是，兩邊同時求不定積分，就可完成微分方程的求解

最后，引導學生歸納出上述方法的數學思想和關鍵步驟。顯然，上述求解過程的核心思想是“降階”，即把高階微分方程轉化為我們更加熟悉的一階微分方程。而關鍵步驟，也就是采取的核心手段是“變量代換”。事實上，變量代換是一種非常常用的轉化問題的手段，我們在之前學習極限的計算、導數的運算和定積分的計算等內容時常常用到。在這里，變量代換法再次發揮了重要作用，為了進一步掌握這種方法，需要仔細分析總結這種方法的特點，并通過適當練習加以鞏固。

為了幫助學生及時消化，可通過例題加以鞏固。

例1 求解

解：分析方程特點可以發現，這是一個不顯未知函數的二階微分方程，可以按照上述方法求解。

令y′=p（x），則有

將其代入原方程，得到可分離變量的微分方程

求解該方程，得到p=C1（1+x2），即

再次兩邊同時求積分，得到微分方程的通解為

至此，大約使用28分鐘將本次課的核心知識講解完畢。接下來，可通過導彈飛行軌跡問題的解決，以及“降階法”的提煉，進一步提升學員數學應用能力和數學思維。

（五）? 回歸問題，培養應用能力

例2 導彈飛行軌跡問題。

首先引導學員思考：根據前面的分析，雖然已經得到了導彈飛行軌跡滿足的微分方程式（3），但由例1可知，若無其他條件，則只能求出通解，無法完全確定飛行軌跡。為此，需要找出問題的兩個初值條件，才能求出通解中的兩個常數，從而確定特解。

首先，在初始時刻，導彈位于坐標原點，所以當y=0時，x=0；其次，在初始時刻，空中目標位于點（3，4），而導彈速度方向始終指向空中目標，所以當x=0時，y′=4/3。再利用反函數求導法則，得到當y=0時，x′=3/4。于是，得到一個含有兩個初值條件的二階微分方程

顯然，這個方程屬于不顯含未知函數x，因此可以按照上述求解方法進行求解。

令x′=p，兩邊同時對y求導數，得到x″=p。

代入到原方程，轉化為

分離變量并對等式兩端同時取不定積分，得到

由初值條件x′|y=0=，解得C1=4，即

對等式左端進行分子有理化，得到

將式（11）和式（12）兩式相加，得到

將式（13）兩端同時對y求不定積分，得到

由此，得到導彈運行軌跡方程為

在問題解決后，需要引導學員思考以下問題。

一是在上述求解過程中可以看到，要想求出二階微分方程的特解，由于方程的通解中必然包含2個任意常數，因此需要利用2個初值條件來確定這2個常數的值。而在上述求解過程中，采取的是邊積分邊確定待定常數的方法，即得到式（10）后立即確定參數C2的值，得到式（14）后確定參數C1的值。事實上，在很多方程的求解過程中，邊積分邊確定常數的方法往往計算量更小。

二是在求解導彈追擊空中目標的飛行軌跡時，我們是在“導彈始終指向空中目標”這一假定下完成的，事實上，這是一種十分重要的導引律，即“尾追法”。由此可見，微分方程在實際問題中有著重要應用。當然，隨著技術的不斷進步，“尾追法”這種制導律已逐漸被更先進的制導律所代替，因此需要我們持續不斷地學習，才能在未來的工作中與時俱進，同時也鼓勵學有余力的學生查閱“精確制導原理”等方面的書籍資料，了解更多導引律及其數學原理。

三是分析上述問題的解決過程可以發現，我們是先自行建立了實際問題的數學模型，從而得到了刻畫該問題的微分方程，才能通過求解微分方程解決該問題。事實上，盡管我們在高等數學課程中，主要關注的是不同類型微分方程的求解方法，但在許多實際問題中，方程的建立往往比求解更為困難，甚至很多微分方程無法得到解析解。因此，為了將所學知識應用于未來的崗位實踐中，既要始終關注和學習微分方程的建立過程，同時還要不斷學習更多的數學類課程，如數理方程、微分方程數值解、有限元分析等。

綜上所述，對于不顯含未知函數的二階微分方程，其求解的基本思路是通過變量代換來降低微分方程的階，從而使二階微分方程轉化為兩個一階微分方程。這正是“降階法”的核心思想。在求解過程中，關鍵步驟在于令y′=p（x），即降階過程是通過變量代換來實現的。

四? 結束語

該案例以導彈飛行軌跡問題為驅動，以求解高階微分方程的降階法為核心，通過創設情景、提出問題，引導討論、建立模型，歸納分析、引出教學內容，分析討論、講解求解方法，回歸問題、培養應用能力等五個環節，引導學員由淺入深地思考，并學習如何運用所學知識解決實際問題。需要指出的是，所建立的微分方程式（3）是以x為未知函數的，這與我們以y為未知函數的習慣略有不同。要解決這一問題，只需將x軸和y軸互換，并將背景設定為魚雷追擊潛艇即可。但考慮到實際中的微分方程并非必須把y視作未知函數，因此這樣設定教學案例有助于幫助學生加深對微分方程的理解。此外，采用該案例進行教學通常比傳統方法多出6～8分鐘，考慮到培養學生數學應用能力的需要，筆者認為這是值得的。若條件允許，可以適當借助翻轉課堂的方式，讓學生提前適應案例內容，這也是筆者下一步研究的方向。

參考文獻：

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