核心素養視域下的拓展課設計研究
——以“直線的軸對稱和平移”為例

俞宏毓,尉勁松,胡 松,程一帆,4

(1.南京信息工程大學 教師教育學院,江蘇 南京 210044;2.紹興市柯橋區蘭亭中學,浙江 紹興 312041;3.南京市第二十九中學初中部,江蘇 南京 210029;4.江蘇省啟東中學,江蘇 南通 226200)

一、問題的提出

發展學生的核心素養是基礎教育課程改革的主要導向。近五年國內數學教育界涌現出眾多關于數學核心素養的研究,而如何發展學生的核心素養是其主要議題之一?！皵祵W課堂教學是學生核心素養的形成和發展的主要載體”[1]246,改進課堂教學是培養學生數學核心素養的關鍵。關于如何改進課堂教學以發展學生的核心素養,喻平曾進行教學設計與實施研究并提供了很多典型的案例[2]。

拓展課是最近十年盛行的一種新課型,它強調對教材內容進行擴充、開拓、擴展、延伸和展開,以促進學生數學核心素養的發展。拓展課一般沒有可參考的教材,對教師的學科功底、設計能力及教學水平都有較高的要求。通過對一些拓展課的課堂觀察及研究發現,目前拓展課設計及教學存在一些問題,如有的拓展課缺乏目標性,盲目延伸和拓展,超出學生的能力范圍,且拓展后沒有原理或方法上的歸納和總結。目前關于拓展課的研究雖然涉及各個學段各個學科,但數量不多。已有相關研究成果主要出自一線教師,內容集中在拓展課的開發、拓展課設計與實施和拓展課教學案例三個方面。比較典型的研究如浙江省溫州市溫州大學城附屬學校陳加倉的系列研究,其中有很多典型的小學數學拓展課案例[3]。為進一步研究如何設計好拓展課以促進學生數學核心素養的發展,課題組于2019年12月以“直線的軸對稱和平移”為教學主題在浙江省紹興市柯橋區KY中學進行了教學研究活動,下面對此予以介紹并作相關闡述。

二、研究概況

(一)參與人員與研究對象

浙江省紹興市柯橋區KY中學目前有50個班級、150多名教職工,是一所浙江省示范初中,在浙江省有較高的知名度。參與該教學研究活動的專家有兩位,一位是某重點大學從事數學教育研究的教師YHY(副教授,博士),另外一位是紹興市柯橋區某中學校長YJS(中學高級教師,教學經驗豐富)。YHY的四名數學教育方向外籍碩士研究生也參與了本次教研活動。本次教學實驗的兩位執教者即教師Z和教師Q均為數學與應用數學專業本科畢業,教齡分別為12年、7年,均為中學二級教師,屬于經驗教師。本次實驗班級為八年級四個平行班,各班學生學習基礎相當[4]。

(二)研究材料

“直線的軸對稱和平移”是“一次函數的圖象”的拓展課。該校使用的是浙江教育出版社2013年版教材,“一次函數”安排在八年級上冊第5章。在第4章“圖形與坐標”中,已經學過“坐標平面內圖形的軸對稱和平移”,該部分主要涉及的是“點的軸對稱和平移”。

(三)研究思路和過程

“直線的軸對稱和平移”是“點的軸對稱和平移”內容的延伸和拓展,實驗目的即通過拓展課的學習使學生實現從點的軸對稱和平移到線的平移和軸對稱的延伸,初步掌握函數圖象的對稱與平移規律,為二次函數以至高中函數圖象的對稱與平移學習打下基礎。這在一定程度上可以促進學生抽象能力、幾何直觀、推理能力、創新意識等核心素養的發展。

整節課主要有兩部分內容:從點的軸對稱延伸到直線的軸對稱、從點的平移延伸到直線的平移。根據《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出的“教師要發揮主導作用,處理好講授與學生自主學習的關系,引導學生獨立思考、主動探索、合作交流”[5]的教學理念,教師教學可以通過復習點的變換,引導學生探索直線的變換。從點的軸對稱延伸到直線的軸對稱可以通過復習點的軸對稱、找點確定直線、通過點的坐標確定直線的方程,找點是找特殊的點,對于直線來說一般是與對稱軸的交點。而直線的平移可以讓學生自主探索,首先是直線的上下平移,學生可能會出現兩種思路:第一種思路是類比直線的軸對稱,通過平移后特殊點的坐標來求直線方程;第二種是根據平移直接改變原直線方程中的b值。教師需要指出這兩種方法的原理是一致的,都是由點延伸到線,而且平移所得直線與原直線是平行關系k值相等,所以由點坐標來求只需要一個點。直線的平移也可看作左右平移,可以簡單處理。為加強學生對圖象變換問題的理解、拓展學生的思維,教學不應局限于點和直線變換,應在最后總結函數圖象變換的通用規律。

(四)研究過程

教學活動采取的是簡化的行動教育模式,簡化了第二階段,首先是教師原生態的第一次執教,第一次課后基于課堂觀察的結果進行課后研討,教師根據研討的結果改進教學設計,然后針對改進的教學設計進行第二次研討,教師再次修改教學設計后第二次執教[6]。為驗證教學改進的結果,對學生進行前后測(測試題由專家YHY和YJS共同設計修訂,并在正式使用前已選取部分學生進行過預測)。兩次課堂教學及課后的研討會議都進行了全程錄像,兩次課均對學生進行前、后測,收集了學生的課堂作業單、教師的教學設計及課件等數據資料。

(五)數據分析方法

運用錄像帶分析法對課堂教學和研討會議進行了分析。對于學生測試卷、課堂作業單,首先做了量的統計,然后進行了質的分析。對教師的教學設計及課件進行質性分析。數據統計工具是Excel2007。

三、結果與分析

兩位教師的原生態教學(即第一次課)主要為灌輸式教學,執教者完全沒有領會本實驗的意圖。經專家指導,兩位教師的教學設計及課堂教學均發生了質的改變,教學重點落在了從點的變換延伸到圖形的變換上,尤其教師Z真正實現了從灌輸到引導學生探究的轉變。下面以教師Z的教學為例,分析兩次課教學理念及行為的變化并對測試結果進行分析。

(一)教師Z兩次課堂教學比較

分析教師Z兩次課堂教學錄像發現,教師Z前后兩次課在教學理念、主要教學內容和具體教學行為方面均有改變(表1和表2)。

1.教師Z兩次課概況。從教學內容來看,第一次課僅涉及直線的平移,綜合練習用了較多的時間。第一次課后研討,兩位專家指出本節課的重點是從點的變換延伸到直線的變換,關鍵在于對圖象變換原理的理解,不需要太多的練習,而相對簡單的軸對稱內容可以放在一節課。第二次課,教學分別從點的軸對稱延伸到直線的軸對稱、點的平移延伸到直線的平移,最后安排了綜合練習。

表1 教師Z兩次課主要教學環節及用時

表2 教師Z兩次課教學行為變化

表2 教師Z兩次課教學行為變化(續)

2.教師Z第一次課教學行為。從教學行為來看,在第一次課上無論是直線的上下平移還是左右平移,都是通過具體實例來歸納平移的方法、推出平移公式(圖1至圖3),貌似有數與形的結合且經歷了由具體到抽象的過程,但歸納的過程中僅限于數值的比較和公式的變形,沒有充分利用點的軸對稱和平移原理來解釋直線的軸對稱和平移,教學以教師傳授為主且強調機械記憶,如左右平移讓學生記住“左加右減”口訣。下面為左右平移小部分教學片段,從中可以看出教學過程中學生完全被教師牽著鼻子走而沒有進行深入的思考。

圖1 第一次課直線的平移公式推導 圖2 第一次課直線左右平移的推導(1)

師:我要求是左右平移,把直線l向左平移到m這條直線,又該如何平移?把l平移到m,你覺得平移幾個單位長度就可以了?

(學生沒反應)

師:看不清嗎?好,我們可以再來看看這幾個點,你看看這幾個點有什么異同?(邊說邊用手指圖2上直線與x軸的交點)

(學生仍然沒反應)

師:與誰的交點?

生:x軸。

師:與x軸的交點,你看移動了幾個單位長度?

生:1個。

師:好,所以l到m只要移動幾個單位長度就可以了?

學生:1個。

師:好,照這個樣子,大家再想想右邊這個要移動幾個單位長度?(手指圖2中最右邊的直線)

生:2個。

師:正確。依此,左移1個單位長度得到y=2x+4,右移2個單位長度得到y=2x-2。根據這兩個式子的變化,大家看看能否找到并說出左右平移的規律。

圖3 第一次課直線左右平移的推導(2) 圖4 第二次課求軸對稱直線圖形

3.教師Z第二次課教學行為。指導改進后的第二次課,教學邏輯非常清晰,首先通過求直線的函數解析式復習待定系數法,為用待定系數法求直線的函數解析式做好鋪墊。從點的軸對稱延伸到直線的軸對稱環節,首先師生共同復習關于坐標軸對稱的點的坐標之間的關系,然后教師引導學生由點的軸對稱過渡到直線的軸對稱。下面為教師引導學生由點的軸對稱過渡到直線的軸對稱的片段,教師在教學中注重數與形的結合,從點延伸到“圖形”也比較自然,對稱直線讓學生動手畫圖探究。軸對稱直線的函數解析式也由學生求出,師生共同總結步驟。

師:做題時,可以記口訣,也可以通過圖形找出兩個對稱點的坐標。對于對稱圖形,除了點的對稱,當然還有圖形的對稱。這里有一條直線AB,你能畫出直線AB關于y軸對稱的直線嗎?你會怎么畫?

生:作B關于y軸的對稱點,對稱點坐標是(-2,0),A點的對稱點是它自己(0,3)。

師:一條直線的對稱,我們可以先畫一個點(B)的對稱點,確定一條直線需要兩個點,另外一個點是A的對稱點,通過A、B兩個點的對稱點,就畫出了AB關于y軸對稱的直線。由此可見,一個圖形的對稱,我們往往把它看成是(特殊)點的對稱。事實上,直線AB上的每一個點和它對稱直線上的每一個點都關于y軸對稱,直線的對稱可以看成無數個點的對稱,直線的確定需要兩個點。

從點的平移延伸到直線的平移,第一步也是復習點的平移(圖5),然后過渡到直線的平移。首先讓學生作出上下平移后的直線,要求學生用一種以上的方法求出平移后直線的解析式。學生出現由平移后兩個點的坐標求解析式和直接改變原直線解析式中b的值兩種方法,教師適時對兩種方法進行總結,如下為對兩種方法總結點評的環節。

圖5 第二次課復習點的平移課件 圖6 第二次課求平移直線圖形

師:下面回顧一下直線平移以后的函數解析式,我們是怎么做的?

生:第一步,先求兩個點;第二步,求平移后的點;第三步,待定系數法。

師:這個思路和軸對稱差不多。兩直線平行,k如何?

生:k相等。

師:那么剛剛這道題,我們還需要代入兩個點嗎?

生:不用,只需要代入一個點就可以了。

師:有沒有其他方法呢?

生:直線向下平移幾個單位,就給b減去幾個單位;向上平移,就給b加上幾個單位。

師:你是怎么知道的?

生:因為點上下平移幾個單位,縱坐標就加減幾個單位,所以直線上下平移后y的值就加減。

師:兩種思路都是由點的平移得出直線的平移,第一種思路是通過求平移后點的坐標來確定直線,第二種思路是根據平移原理直接求平移后的解析式,后者更簡潔。

課堂小結環節,除師生共同總結求對稱和平移變換后直線的思路和方法外,教師最后點出“其實不僅是直線,其他圖象的變換問題也類似,都可以根據點的變換來求得”。教師最后這句總結性的話,成功地將問題拓展至一切函數圖象的變換問題,發散了學生的思維。

(二)測試與結果分析

1.前測與學情分析。因為本節課是“直線的軸對稱和平移”拓展課,設計思路要從點的變換拓展延伸到直線甚至其他圖形的變換。首先需要考查學生關于點的變換的掌握情況,同時也需要考查學生對直線的軸對稱和平移的了解程度,因此設計了如下七道前測試題:第1題根據坐標求點的對稱關系,第2題根據對稱求出點的坐標,第3題和第5題都是根據平移求點的坐標,第4題是點的對稱和平移的綜合運用,第6題和第7題是根據直線的解析式寫出直線的平移或對稱關系。

四個實驗班總共122名學生,前測結果如表3所示。從前測結果來看,學生關于點的變換掌握情況較好,一般情況下不僅點的對稱和平移正確率都在85.00%以上,且點的對稱與平移綜合變換以后正確率也在85.00%以上。而第3題將線段放到直角坐標系內,讓學生自己找到點的坐標來確定平移關系,然后求一個用字母表示的任意點C(a,b)平移后的坐標問題,正確率則只有66.39%。不會做的題,學生要么空白,要么出現如圖7所示的情況。還有一些采用如圖8所示求出直線方程來做的,雖然結果對了但是走了彎路。這些都表明學生習慣解決確定性問題,在解用字母表示的任意點問題時存在一定的困難。由兩直線解析式寫出平移相對簡單,比較兩直線解析式容易得出結論,正確率比較高。第7題由兩直線解析式寫出對稱不是那么明顯,如果畫出圖象則比較容易看出,但通過畫簡圖來確定兩直線位置關系的僅有2人,說明學生沒有數形結合的意識,這跟教師平時教學忽視數形結合有關。

表3 前測情況統計

圖7 前測試卷剪輯1

2.后測及教學效果分析。為驗證本次實驗的效果,設計了后測試卷,共有7題。其中前三題為簡單的直線平移和對稱問題,第4題和第5題為復雜的直線平移和軸對稱問題。為考查本節課對后續學習的影響,另設計了二次函數圖象的簡單平移和對稱問題、簡單的分段函數軸對稱問題。后測結果從以下三個方面展開分析,從中可以看出,兩位教師改進前后兩次課的效果都發生了改變。

(1)簡單的直線平移和對稱問題。表4為簡單的直線平移和軸對稱問題正確率統計。簡單的直線平移和軸對稱問題,兩位教師改進前后的兩次課正確率都大幅度提高,差異顯著。

圖8 前測試卷剪輯2

表4 簡單的直線平移和軸對稱問題正確率 %

(2)復雜的直線平移和對稱問題。表5所示,學生對于復雜的直線平移和軸對稱問題的回答的正確率,兩位教師改進后的課比第一次課顯著提高:關于“求經平移和對稱兩次變換的直線”,教師Z由第一次課的17.39%提高至第二次課的51.43%,教師Q由第一次課的33.33%提高至38.71%;關于“求關于直線y=1對稱的直線”,教師Z由第一次課的0提升至17.14%,教師Q由33.33%提升至58.06%。

表5 復雜的直線平移和軸對稱問題正確率 %

(3)對后續內容的影響。兩次課后續內容的正確率(表6)表明,改進前后兩次課對后續學習的影響是不一樣的,無論是二次函數的圖象變換還是求分段函數的軸對稱函數,改進后的課學生都受到了更好的啟發。如圖9為后測試卷剪輯,掌握了方法和規律,學生對完全陌生的二次函數、分段函數的簡單變換問題都可以解決了。

表6 后續內容正確率 %

圖9 后測試卷剪輯

四、結論與建議

(一)教學設計與改進是促進學生核心素養發展的有效途徑

數學核心素養不是學生數學學習的必然產物。核心素養是日積月累、自己思考的經驗的積累,其形成依賴學生參與其中的教學活動、依賴學生的感悟與思維。全盤灌輸和機械訓練等教學方式不利于學生核心素養的發展。在這樣的教學方式下,學生通常會死記硬背和生搬硬套,對教學內容的理解和把握往往也是片面或不正確的,所形成的技能也是死板的,相應的數學能力很難形成,伴隨認知過程產生的情意大多也是消極和負面的[1]63。而灌輸和機械訓練等問題教學在中小學數學課堂中不僅長期存在而且屢見不鮮,如“長方形和正方形的面積與周長”實驗中教師的機械訓練和“就事論事”的片面教學,“面積與周長的關系”和“一元一次方程的解法”實驗中教師的全盤灌輸。但是,這些教學經成功設計和改進后都發生了本質的轉變,教學效果差異顯著[7-9],也就是說,教學設計與改進是促進學生數學核心素養發展的一個有效途徑。本實驗同樣也說明了這一點。經指導改進后,教學成功地實現了從點的變換到圖形的變換的遷移和拓展,學生也經歷了思考和探索的過程。

(二)拓展課的設計與教學有章可循

拓展課是由執教教師自行選材并設計,必須要對教材內容進行擴充和拓展,一般無現成的教材和參考資料,因此對教師要求較高。拓展課的設計及教學只有把握正確的原則和方向,才不容易出現問題。

拓展課的設計首先要做到有的放矢。以教材為綱,教學目標要非常明確,這樣才不容易出現教學內容隨意化、教學要求把握不準、教學目標偏離等現象。本實驗設計的目的非常明確,使學生實現從“點的變換”延伸拓展至“圖形的變換”,經歷參與教學活動、動手實踐和思考探索的過程。

拓展課的難度要適宜。拓展課要求寬于教材和高于教材,但這個寬和高是有限度的,要考慮學生的思維水平和可接受能力。實際教學中,很多教師的拓展課容易出現難度過大的問題。理想的拓展課難度應該在學生的最近發展區內或者稍微超出學生的最近發展區。教師在設計拓展課時,要充分了解學情、考慮學生的可接受范圍。本次實驗,在“點的變換”的基礎上拓展至“直線的變換”,而且適當延伸至“其他圖形的變換”,這些均在學生可接受范圍內。

拓展課教學應該是教師引導下的學生探究。拓展課因為是對教材內容的延伸和拓展,因此和探究課一樣具有探索性和挑戰性。實際教學中容易走極端,會出現教師全盤灌輸或學生摸索迷失方向的情況。理想的拓展課應該是教師恰當引導下的學生的有效探究。教師如何做到恰當引導,需要其在教學實踐中不斷摸索。如在本實驗的改進后的第二次課上,兩位教師通過一連串啟發式的提問引導學生由“點的變換”延伸至“直線的變換”,然后師生共同解決“直線的軸對稱”問題,而“直線的平移”則由學生自己探索后點評。

(三)數與形的結合任重而道遠

致謝!本研究得到紹興市柯橋區柯巖中學的支持。