小學數學教學“比較”運用研究

周建東

比較是通過將兩類具有相同或相似屬性的事物進行對比，進而分析事物的異同，認識規律。運用比較的方法，可以防止知識之間的相互干擾，把表面形式相似、容易彼此混淆的知識區分清楚，加深理解[1]。烏申斯基說過：“比較是一切理解和思維的基礎”[2]。比較是數學學習的常用方式和手段之一，它能激起學生主動地、深入地、有質量地、有指向地研習，促進數學思維由表及里、由淺入深。數學教學中，教師要敏銳把握合適時機，引領學生展開比較，讓學生在比較中辯明說清、辨析明義，把握本質、入腦入心。

一、在知識生長之處比較——發現聯系，內驅引入

《義務教育數學課程標準（2022年版）》也指出，“要關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構?！盵3]教師要在知識生長之處引導學生適時比較，讓學生在強烈的內心驅動下發現新舊知識存在的關聯，自然綻放新知。如筆者在教學蘇教版五年級上冊“認識公頃”時，是這樣來展開比較的：

知識點1：我們之前已經學習了一些面積單位，你能從小到大有序地說說嗎？

生：……

知識點2：這些面積單位的大小是如何規定的？

生1：邊長是1 厘米的正方形，面積是1 平方厘米；

生2：邊長是1 分米的正方形，面積是1 平方分米；

生3：邊長是1 米的正方形，面積是1 平方米。

知識點3：觀察平方厘米、平方分米、平方米這三個面積單位，你發現了什么？

生4：面積單位通常都是以一個正方形的大小來規定的；

生5：面積單位跟正方形的邊長有關，邊長越大面積單位越大；

生6：正方形的長度都是10 倍的關系在變大；

生7：我發現，邊長是多少長度的正方形，面積單位就是1 平方多少。

知識點4：你能根據剛才的發現，自己創造一些更大的面積單位嗎？出示圖1：

圖1

邊長是（ ）的正方形，面積是1（ ）。

學生通過比較，思維頓開，在1 平方米的基礎上創造出了更大的面積單位：“邊長是10 米的正方形，面積是1 平方十米”“邊長是100 米的正方形，面積是1 平方百米”“邊長是1000 米的正方形，面積是1 平方千米……”，此時，教師指出：“1 平方百米就是1 公頃，公頃就是今天要學習的新的面積單位?！?/p>

上述教學中，教師緊緊抓住知識生長之處讓學生比較發現之間的脈絡延展，讓學生自己創造一些更大的面積單位，學生在強烈的學習欲望的驅動下，自然引入新知“公頃”。

二、在分層探究之后比較——揭示規律，建立模型

教師要在學生探究的各個環節適時引導學生比一比、想一想、說一說，讓知識在比較中破繭而出。如教學蘇教版三年級下冊“求整體的幾分之一”，筆者是這樣來逐步深入組織學生展開比較的：

第一層次：改變數量之后的比較。探究“一籃蘑菇共6 個，1/3 是黑蘑菇，黑蘑菇有多少個？”，從“這籃蘑菇的1/3 是黑蘑菇”，想到把這籃蘑菇平均分成3 份，黑蘑菇就是1 份，由此產生用圓片代替蘑菇來分一分得到結果，或者用整數除法“6 ÷ 3”算出一份是幾個的想法。接著把一籃蘑菇的個數改為9 個，求黑蘑菇的個數。教師在學生獨立思考、實物操作、分數理解探究解決問題的基礎上出示圖2 和圖3：

圖2

圖3

同樣是這籃蘑菇的1/3，為什么每份黑蘑菇的個數不相同呢？此時，學生的思維就聚焦到這籃蘑菇的總個數上，求黑蘑菇的個數也就是平均分為若干份后求每份是多少個，每份的個數與總個數有關。雖然兩次都是求這籃蘑菇的1/3 是多少個，但由于組成整體的個數不同，所以整體的1/3 的個數不同。

第二層次：一份數的比較。此時，教師又出示圖4 和圖5：

圖4

圖5

現在這籃蘑菇的總個數都是6 個，為什么每份黑蘑菇的個數不一樣呢？學生的關注點自然而然就指向平均分的份數即題中的分數，雖然整體包含的蘑菇個數相同，但把整體平均分的份數不同，所以每份的個數就不同。

第三層次：整體比較。將上述解決的問題的過程同時用圖6、圖7、圖8出示：

圖6

圖7

圖8

圖9

教師總結：都是求的什么？你有什么體會？學生在比較中概括得出了問題的共同點：都是求一個整體的幾分之一是多少，體會到解決這類問題要抓住題中整體包含的數量和分數，關鍵是理解分數的意義，把整體的數量平均分成幾份，數量關系也就顯而易見了。

上述教學中，在分層探究之后，學生有目的、有針對性地進行了三次比較，在比較中發現求整體的幾分之一的規律，主動而又深刻地建模，為后續求整體的幾分之幾打下堅實的基礎。

三、在變式遞進之中比較——體驗過程，感悟深化

變式可以加強學生的數學技能和思維訓練，引導學生發現“變”中“不變”的本質，同時還可以讓學生探索“不變”中的“變”的規律，讓學生在變式中觸摸思維的脈搏[4]。如蘇教版六年級上冊“解決問題的策略”，在學生完成練習題“1 張桌子和4 把椅子的總價是2700 元，椅子的單價是桌子的1/5，桌子和椅子的單價各是多少？”后，抓住關鍵信息適時進行了兩次變式比較：

變式一：“椅子的單價是桌子的1/5”還可以怎樣說？（椅子與桌子價格的比是1∶5、桌子的價格是椅子的5 倍。）換成這些說法后，什么變了？什么沒變？（表述兩種量關系的形式變了，但假設的依據不變、假設后的數量也不變。）

變式二：“1 張桌子和4 把椅子的總價是2700 元”變式為“王叔叔帶了3000 元，買了1 張桌子和4 把椅子后，還剩300 元”，怎么解決？“王叔叔帶了2400 元去買1 張桌子和4 把椅子，還差300 元”，又該怎么解決？這樣改編后，什么變了？什么沒變？（總量沒有變，數量關系不變。）上述變式比較中，緊扣假設的依據、假設的數量關系，將假設策略的運用不斷向深處探尋。

教師要找準脈絡、掐準“穴位”，在變式中即時組織學生展開深入比較，讓學生在比較中明晰運用假設策略解決實際問題的題型結構，確定解題思路，感受假設的策略對于解決特定問題的價值，增強解決問題的策略意識，進一步發展分析、綜合的推理能力。

四、在混淆出錯之時比較——突出重點，指向本質

對一些相似或相近的數學知識，學生或是依葫蘆畫瓢照搬照用，或是審題不清分析草率，經常會出現混淆。教師要在學生混淆出錯之時，指引學生采用多種方法進行比較，找到錯誤癥結，規整思路，主動尋求正確的方法。如以蘇教版六年級上冊“列方程解稍復雜的百分數應用題”為例。筆者在教學中，有針對性地出示一組典型題“建造一座污水處理池實際投資比原計劃節約10%，1.節約了4.8 萬元，原計劃投資多少萬元？2.實際投資43.2 萬元，原計劃投資多少萬元？3.建造一座污水處理池實際投資是原計劃的90%，實際節約了4.8 萬元，原計劃投資多少萬元？”讓學生自主解答。在反饋交流中，對第一小題用“解：設原計劃投資x 元。x- 10%x= 4.8”。錯誤方法解答的學生人數果然不少。此時，筆者讓學生先將兩小題仔細比較，再將第一和第三小題比較，可以讀一讀、圈一圈、畫一畫、說一說等，從題目本身和解題思路兩方面比較之后再來辨析下定論。學生用自己的方法進行了兩次細致地比較，發現錯誤的癥結在于沒有抓住題中的已知量理解意思，并根據題意從已知量出發分析等量關系，已知量表示的意思相同，但等量關系不一定相同。教師在學生比較交流反饋之時，相機出示圖示，從理解題意、畫線段圖、分析等量關系等方面比較。

上述教學中，教師著力于混淆出錯處濃墨重彩引導學生用多種方法比較，在比較中突出重點，化解難點，條分縷析、明白透徹，指向本質、提升思維[3]。

五、在思維定式之際比較——豐富提升，融會貫通

在學生的學習中，知識遷移是一種重要的學習方法[4]。但也因為新舊知識的遷移，學生容易產生思維定式，對學習新知識產生零遷移甚至是負遷移，造成新盲點。如果沒有厘清這些新盲點，學生容易對新知識，甚至是對原本的舊知識產生模棱兩可的認知。此時，教師如能在知識的新盲點上巧用比較策略，通過對比幫助學生掃清知識的盲點，將有助于他們建立起清晰的知識體系，為提高思維的靈活性奠定扎實的基礎[5]。

如在教學蘇教版六年級上冊“比例尺”時，例題及隨后練習呈現的均是縮小比例尺，易于使學生造成思維定式，簡單地認為，所有比例尺化簡后的前項都為“1”。于是在學完縮小比例尺后，筆者出示了“一個精密零件長2 毫米，把它繪在圖紙上長10 厘米，求這幅圖的比例尺”一題。絕大部分學生認為結果是1∶50。筆者以錯誤結果為資源，讓學生說說對1：50 的理解：“圖上1 厘米，表示實際50 厘米；圖上距離是實際距離的1/50；實際距離是圖上距離的50 倍?！惫P者追問：“這個比例尺符合實際情況嗎？題中的圖上距離與實際距離比較哪個大呢？它是圖形的縮小還是放大呢？”而后，再讓學生結合比例尺的意義去審題、去理解：題中的圖上距離應是實際距離的50 倍，原來是受縮小比例尺的思維定式影響，習慣性地認為比例尺的前項通常為1，混淆、顛倒了題中的圖上距離和實際距離，本題是一個放大比例尺，結果應為50∶1。至此，再讓學生深入比較兩種比例尺的聯系和區別，在追根究底中使學生理解到都是根據比例尺的意義——用圖上距離∶實際距離，關鍵是要正確審題，搞清題中的圖上距離和實際距離；同時，它們又有區別：縮小比例尺的比值都小于“1”，而放大比例尺的比值都大于“1”。

學生在比較中巧妙地化解了思維定式的負遷移，有效地提升了思維層次，深刻地把握了知識的實質。

六、在回顧反思之間比較——完備建構，優化思路

教師要引導學生在回顧反思中比較，可以把相同的知識點放在一起進行比較，那么就可以更好地激發學生的數學前經驗，喚醒以前的知識結構，并把新的知識結構融入舊的知識結構之中，形成一種全新的完備知識結構。如筆者在教學蘇教版六年級上冊“解決問題的策略”時，在引入、揭示和感受假設策略之后，引導學生在兩個層次的回顧反思中比較。

第一層次：回顧例題的解題過程，是怎樣假設的？這些假設具有什么共同特征？假設在解決這道例題時起到什么作用？讓學生初步體會到假設是解決問題的一種策略。

第二層次：回顧以往的數學學習，曾運用假設的策略解決過哪些問題？

生1：計算除數是兩位數的除法，把除數當作整十數試商；

生2：估算時把接近整百或整十的數看作整百數或整十數，估算出大致的結果；

生3：已知兩個數的和與差，假設兩個數同樣多，分別求出這兩個數；

生4：在列方程解決實際問題時，設未知數時用到了假設策略；

……

教師引導比較：“這些運用假設的策略解決問題的過程有什么共同點？”“假設策略對解決這些特定問題具有什么價值？”“以后再遇到一個復雜或者陌生問題時，你會怎樣想呢？”學生在比較中直指學習目標，發現假設策略是一種重要且常用的解決問題的策略，可以運用在不同的地方，假設策略的表現形式靈活多樣，既可以用圖形來表達，也能用線段表達，還能在計算中表達。這些解決問題的過程，實際上都是通過假設把復雜問題轉化為簡單問題的過程。

學生在兩個層次的回顧反思比較中，充分體驗和感受了假設策略的價值，增進了策略運用意識，豐富完備了假設策略的建構，優化了解決問題的思路，提升了思維力和學習力。

數學會因為比較而深刻，因為比較而豐富。比較是推動學生的數學學習走向實質、走向深入、走向智慧的方法[6]?？傊?，在課堂教學中，教師要善于捕捉良機，引導鼓勵學生學會比較、主動比較、善于比較，在比較中學習，在比較中提升。