關于加權Coxeter 群的胞腔理論的綜述

時儉益,黃 謙

（1.華東師范大學 數學科學學院,上海 200241;2.山西大學 數學科學學院,太原 030006）

0 引 言

記Z為整數集,N 為非負整數集,N+為正整數集,對于Z中任意的i≤j,記[i,j]為集合{i,i+1,···,j},簡記集合[1,j]為[j].設W是Coxeter 群,S是其 Coxeter 生成元集合.設?是長度函數,≤ 是群W上Bruhat-Chevalley 序.為了構造W及其Iwahori-Hecke 代數H(W)的表示,文獻[1]介紹了某些等價類,稱之為群W的左胞腔、右胞腔和雙邊胞腔,每個胞腔可以給出W和H(W)的某個表示.之后,文獻[2]在(W,S)上定義了權函數L,并稱(W,S,L)為加權Coxeter 群.文獻[2]還定義了相應的Iwahori-Hecke 代數H(W,S,L),并把(W,S)上的左胞腔、右胞腔和雙邊胞腔的概念推廣到(W,S,L)上,這也可以給出(W,S,L)和H(W,S,L)的某個表示.

文獻[2]通過H(W,S,L)的結構系數定義了函數a和W上獨異對合元集合D.隨后就(W,S,L)的胞腔、a函數和D中元素等方面提出了15 個猜想.這些猜想將分裂情形下有限或仿射Coxeter 群胞腔方面的已知結果拓展到一般的加權Coxeter 群.

對于任意給定的加權Coxeter 群(W,S,L)(其中L可取W上任意權函數),清晰地刻畫其胞腔是一個大工程,尤其對于那些權函數在S上不取常值的情形(此時稱(W,S,L)為不等參數情形).當W是型Im(m是偶數或∞),F4,和時,分解工作已經完成[2-5],而W是型Bn,和,n ＞2,的分解工作已經部分完成[6-15].

本文給出了本研究團隊在胞腔分解方面工作成果的一個綜述.

第1 章是預備知識,羅列了加權Coxeter 群胞腔方面的一些概念和已知結果以備后用.第2—4 章詳細描述了在擬分裂情形下仿射Weyl群的胞腔理論方面本研究團隊所取得的成果.第5 章簡要描述了擬分裂情形下仿射Weyl群中滿足條件a(Γ)≤6 的胞腔Γ和一般情形下加權泛 C oxeter 群的胞腔分解.

1 預備知識

本章羅列了文獻[2]中加權Coxeter 群胞腔方面的一些概念和已知結果以備后用.

設L:W →Z 是Coxeter 群(W,S)上函數,如果對于任意滿足條件?(wu)?(w)+?(u)的w,,有等式L(wu)L(w)+L(u),則稱L為(W,S)上權函數,(W,S,L)為加權Coxeter 群.明顯地,長度函數?本身是權函數,稱(W,S,?)為分裂情形.

設Wα|α(w)w},這里α是W的滿足條件α(S)S的群自同構.對于S中任意α-軌道J,如果W的由J生成的子群WJ是有限子群,則記wJ為WJ的最長元,它落在Wα里.設Sα是由元素wJ組成的集合,其中J取遍S的α-軌道.那么(Wα,Sα)是一個Coxeter 群,長度函數?在Wα上的限制是Wα的權函數,加權Coxeter 群(Wα,Sα,?)被稱作擬分裂情形.

設AZ[v,v-1]是以v為變量的整系數Laurent 多項式環,根據定義,(Wα,Sα,?)上的Iwahori-Hecke 代數H:H(Wα,Sα,?)是A上結合代數,它有一組自由A-基{Tw|,滿足:

對于任意x,,有等式cxcyz∈W hx,y,zcz,其中hx,y,z A.Lusztig[16]還定義了函數a:W →N,對任意z,滿足: 對于任意x,,有關系va(z)hx,y,zZ[v]且對于某組x,,有關系va(z)-1hx,y,z/Z[v].

對于任意z,定義Δ(z)N 滿足pe,znzv-Δ(z)+v的冪次嚴格低的項,這里nzZ{0},e是W的單位元.設D|a(z)Δ(z)}.那么當W是有限或者仿射Coxeter 群,并且(W,S,L)是在分裂或者擬分裂情形時,D是W中包含有限個對合元(對合元的意思是指階數不超過 2 的元素)的集合.在這種情形,W的任意左胞腔L都恰包含D∩L中唯一一個元素(記為d),任意x都滿足Laurent 多項式的次數關系hx-1,x,da(d)[2,17].

假定w,設R(w)|ws ＜w},記M(w)為包含滿足如下條件的元素x的集合,即存在著W中一列元素x0w,x1,···,xrx,r≥0,并且對于每個i[r],都有xi-1,R(xi)與R(xi-1)互不包含.明顯地,如此的一列元素x0w,x1,···,xrx整個都落在M(w)中,稱它為M(w)中始于w的一條路.稱w,有相同的廣義τ-不變量,如果對于M(w)中任意始于w的一條路w1w,w2,···,wr,都存在M(y)中始于y的一條路y1y,y2,···,yr使得等式R(wi)R(yi)對于任意[r]都滿足,而且交換w和y的位置該條件依然成立[9,18].

文獻[2]就任意加權Coxeter 群(W,S,L)的胞腔、a函數和D中元素提出了15 個猜想.當這些猜想成立時,(W,S,L)的胞腔會具有一些好的結構性質.由文獻[2]可知,如果(W,S)是有限或者仿射的Coxeter 群,并且(W,S,L)在分裂情形時,這些猜想是成立的.Lusztig[2]提出這些猜想就是為了能夠將(W,S)上胞腔的一些結果由分裂情形推廣到一般情形中.當(W,S,L)在擬分裂情形時,Lusztig[2]證明了這些猜想成立.

2 擬分裂情形下加權仿射Weyl 群(,S,)

對于tZ和i[0,m],任意的w可由(m+1)-元組((1)w,(2)w,···,(m+1)w)確定,如果對于j[m+1]有等式(j)wij,則可記w[[i1,i2,···,im+1]].

這里當m2n-1,2n}時,?m,n1 ;當m2n+1 時,?m,n0 .如果m2n-1,對于[n-1],令tisis2n-i,t0s0,tnsn;如果m2n,對于i[n-1],令tisis2n+1-i,t0s0,tnsnsn+1sn;如果m2n+1,對于i[n-1],令tisis2n+1-i,t0s0s1s0,tnsnsn+1sn(圖1),這樣就給出了的Coxeter 生成元集合.

圖1 αm,n在Γ()上的作用,(m,n)∈{(9,5),(10,5),(11,5)}Fig.1 The action of αm,n on Γ()with(m,n)∈{(9,5),(10,5),(11,5)}

固定w,對于[m+1]中任意i／j,如果存在某個p,Z 使得p(m+1)+i ＞q(m+1)+j和(p(m+1)+i)w ＜(q(m+1)+j)w成立,則記作i?w j,這樣就定義了集合[m+1]里的一個偏序.如果i ?w j或者j?w i,則稱i／j為w可比較的,否則,稱它為w-不可比較的.

如果集合[m+1]中的數列滿足a1?w a2?w···?w ar,稱a1,a2,···,ar為w鏈.有時會將w鏈a1,a2,···,ar等同于相應的集合{a1,a2,···,ar}.對于任意k≥1,定義k-w-鏈族為[m+1]中k條w鏈X1,X2,···,Xk的無交并.對于任意k≥1,設dk是k-w-鏈族最大可能的基數.設λ1d1,λk+1dk+1-dk,對于k[r-1],那么根據文獻[19]中一個結果可知λ1≥λ2≥···≥λr.因此通過wψ(w):(λ1,λ2,···,λr),定義了映射ψ:→Λm+1.

如果[m+1]的子集E中元素兩兩w-不可比較,則稱集合E是w-反鏈.

例 1設w[[8,-6,5,-2,11,4,15,1]]，那么圖2 是文獻[5]中定義的偏序關系的Hasse表.在文獻[5]中,a當且僅當對于某個rN,存在一個數列x0a,x1,···,xrb使得對每個i[r],都有xi-1→xi.由圖可知存在w-鏈{2,6,3,1},2-w-鏈族{2,6,5}∪{4,3,1}和3-w-鏈族{2,6,5}∪{8,3,1}∪{4,7},每一個都是相應情形的最大可能基數.

圖2 偏序關系 w 的Hasse 表Fig.2 The Hasse diagram of the poset w

圖3 αm,n在Γ()上的作用,其中m ∈{2n,2n+1}Fig.3 The action of αm,n on Γ()withm ∈{2n,2n+1}

對于任意iZ,定義 〈i〉[m+1]使滿足條件 〈i〉≡i(模m+1).設 Ξ 是所有滿足如下條件的元素的集合,即存在某個T(T1,T2,···,Tr)+1滿足:

(i)在[r]中,如果i＜j,那么對任意a,b,都有 〈(a)w-1〉?w〈(b)w-1〉 ;

(ii)對于任意i[r],〈(Ti)w-1〉 是[m+1]中最長w-反鏈.

明顯地,表T完全由wΞ 確定,記T為T(w).根據文獻[18]可知,映射T:Ξ→Cm+1是滿射.由Greene 在文獻[19]中的一個結果可知,κ(T(w))ψ(w)∨.

例 2設w[[7,10,-8,1,11,5,14,-4]],那么wΞ,且T(w)({4,8},{1,5},{2,3,6,7})和ψ(w)(4,2,2)∨(3,3,1,1).

特別地,當 |Tj||Tj+1| 時,TT′.

對任意T,T′+1,如果Cm+1中存在T0T,T1,···,TrT′滿足: 對于每個i[r],都存在某個整數hi,使得Ti可由Ti-1通過一個{hi,hi+1}-變換得到,則記為T≈T′.這就在集合Cm+1上定義了一個等價關系.

對于a(a1,a2,···,ar),記aop(ar,···,a2,a1),如果aopa,稱a是對稱的.

引理 3[15]設T,T′+1.

(3)如果T≈T′,那么T是(m,n)-自對偶的當且僅當T′也是.

由引理3(3)可知,如果等價類里某個(因此所有的)表是(m,n)-自對偶的,就稱Cm+1中的≈-等價類是(m,n)-自對偶的.

3 借助于表來計算 中集合 Eλ 的左胞腔個數

對于r2 的情形,可給出一個精確公式.

命題 1[15]對于a(n+t,n-t),t[n-1],有

命題 2[15]對于a(n+1+t,n-t),t[0,n-1],有

命題 3[15]對于a(n+1+t,n+1-t),t[n],有

推論 1[15]符號如上所示,γm+1-2n(a)等于

注 1設a(r,s),其中r,N+且r+[m+1].由命題1—3 能得到γm+1-2n(a)的計算公式.注意到有r≤s的情形.如果rs,那么a是對稱的,因此γm+1-2n(a)由定理2 可知;如果r＜s,那么γm+1-2n(a)γm+1-2n(aop).

假設r+s ＜m+1,當m+1-20,2},有r+s2p和r-s2q,其中p,Z .如果r＞s,那么分別替換n,t為p,q,根據式(6)可得到γ0((r,s))的個數,分別替換n,t為p-1,q,可得到γ2((r,s))的個數.當m+1-2n1,有r+s2p+1和r-s2q+1,其中p,Z .如果r＞s,那么分別替換n,t為p,q,根據式(7),可得到γ0((r,s))的個數.

問題 1[15]對于滿足條件a1＞a2＞···＞ar和r≥3 的任意a(a1,a2,···,ar)m+1,能否找到關于γm+1-2n(a)的精確公式?

4 集合 Eλ 中的胞腔,其中λ Λm+1

文獻[11-14]刻畫了對應于某些劃分λ+1的集合Eλ中的胞腔.

對于所有被研究的λ2n,已經證明了集合Eλ中的左(相應的,雙邊)胞腔都是左(相應的,雙邊)連通的(見定理4—12).時儉益猜想: 對于任意加權Coxeter 群的所有左胞腔和雙邊胞腔,連通性猜想也是正確的.

設η是的群自同構,由對于任意i[0,n]的等式η(ti)tn-i所確定.

(4)除了k2,3 之外,集合Ek212n-k-2對于任何其他的k都是無限的.

定理 6[13]對于k[n],設λ(2n-k,k).

(3)表 1 列出了對于任意λ6,n(λ)的值.

表1 λ ∈Λ6 時,n(λ)的值Tab.1 The value of n(λ)forλ ∈Λ6

表2 λ ∈Λ8 時,n(λ)的值Tab.2 The value of n(λ)forλ ∈Λ8

(5)表 3 對于所有λ7列出了n(λ)的值.

借助于右廣義τ-不變量,通過逐個討論,文獻[25]證明了定理12.

表3 λ ∈Λ7 時,n(λ)的值Tab.3 The value of n(λ)forλ ∈Λ7

5 加權Coxeter 群的一些其他成果

定理 13[9]的滿足條件a(Γ)≤6 的每個左胞腔Γ都左連通.

表4 n ≥3 ,k ∈[6]時,m2,1(n,k)的值Tab.4 The value of m2,1(n,k)for n ≥3 andk ∈[6]

表5 n ≥3 ,k ∈[6]時,m2,3(n,k)的值Tab.5 The value of m2,3(n,k)for n ≥3 andk ∈[6]

Lusztig 在文獻[2]里曾猜想: 對于任意加權Coxeter 群(W,S,L),函數a:W-→N 有一個上界NmaxIL(wI),這里I取遍S中所有滿足條件 |WI|＜∞的子集.當(W,S,L)是有限或者仿射的加權Coxeter 群時,Lusztig[2]證明猜想成立.時儉益和楊高在文獻[29]里首先對于任意加權泛Coxeter 群(W,S,L)(即等式o(st)∞對于S中任意s／t都成立)證實了該猜想,進而在文獻[30]里對于Coxeter 圖是完全圖的任意加權Coxeter 群(W,S,L)(即對于S中任意s／t都滿足關系o(st)＞2)證實了該猜想.此后,時儉益和李艷在文獻[31]里對于Coxeter 圖的邊標記都不等于3 的任意加權Coxeter 群(W,S,L)(即對于S中任意s／t都滿足條件o(st)／3)證實了該猜想.

為了將加權Coxeter 群(W,S,L)在分裂情形下的一些結論推廣到一般情形,Lusztig[2]提出了15 個猜想.當W是有限或者仿射Coxeter 群,(W,S,L)在分裂情形或者擬分裂情形時Lusztig[2]證實了這些猜想.M.Geck 在文獻[3]對于F4型的任意加權Coxeter 群;時儉益和楊高在文獻[29]對于任意加權泛Coxeter 群;J.Guilhot 和J.Parkinson 在文獻[4-5]對于和型的任意加權Coxeter 群;高劍偉和謝迅在文獻[32]對于秩為3 的任意加權Coxeter 群;謝迅在文獻[33]對于Coxeter 圖是完全圖的任意加權Coxeter 群,都分別證實了這些猜想.

定理 14[29]設加權泛Coxeter(W,S,L)群滿足上面的條件.

(1)a(e)0 .對于w,a(w)max{L(s)|,s≤w}.如果w,k[l],那么a(w)Lk.

(2)W的左胞腔或者是{e}或者有形狀,其中k[l],s和u.(W,S,L)有無限多個左胞腔當且僅當或者l＞2,或者l2且|S1|＞1 .

(3)W的雙邊胞腔或者是{e}或者有形狀,其中k[l].因此(W,S,L)的雙邊胞腔個數等于l+1 .

(4)W的任意左(相應的,雙邊)胞腔都是左(相應的,雙邊)連通的.

時儉益和楊高在文獻[34]里將文獻[29]中加權泛Coxeter 群上的結果拓展到更一般的加權Coxeter 群(W,S,L): 其中S是兩個非空子集I和J的無交并,這里J:|o(st)∞,對任意(稱J為S的泛部分),并且W中由I所生成的子群WI是有限的,設wI是子群WI的最長元,所研究的(W,S)中權函數L包括以下情形: ①m in{L(s)|≥L(wI);②max{L(s)|min{L(t)|;③存在t使得對于任意s,都有不等關系L(t)＜L(s),并且L在J上取常值LJ,這里LJ屬于[L(wI)-1]的某個子區間.時儉益和楊高在文獻[34]里刻畫了(W,S,L)的所有這種左胞腔和雙邊胞腔,它們中的每一個都與WWI有非空交.在情形 ③中,WI中權值次大的元素:wIt在討論中起到了重要作用.文中推導出了的一些有趣性質,其中某些性質與最長元wI類似,某些有獨特之處.