考慮參數空間相關性的RC結構初銹時間預測

陽逸鳴，周成坤，陳歡，唐皇，李海

（湖南城市學院 土木工程學院，湖南 益陽 413000）

海洋及除冰鹽環境下既有鋼筋混凝土結構的安全性和耐久性評估是目前的研究熱點［1-2］。氯離子引起的鋼筋銹蝕是既有鋼筋混凝土結構承載力和耐久性顯著降低的主要原因［3-4］。因此，為了確保既有鋼筋混凝土結構的正常使用，以及制定維修加固策略，需要對鋼筋的初始銹蝕時間進行合理預測。

現有混凝土結構初始銹蝕時間預測模型大多假設銹蝕參數在空間上均勻分布，通常僅考慮銹蝕參數的時變性和不確定性。張建仁等［5］建立了綜合考慮預應力、氯離子結合作用、劣化效應、溫度、濕度等多因素影響的初銹時間預測模型。LI等［6］提出了一種考慮氯離子擴散系數和表面氯離子濃度時間依賴性的摻礦渣鋼筋混凝土結構的初銹時間預測模型。ZHANG 等［7］利用三階矩方法，提出了鋼筋初始銹蝕的隨機模型。LENG 等［8］建立了一種考慮最大值現象的雙時變氯離子擴散模型，并提出了適用于海洋環境的混凝土結構初銹時間預測模型。莊華夏［9］研究了氯離子在潮差區混凝土中的擴散規律，并提出了潮差區鋼筋混凝土結構初銹時間預測方法。然而，越來越多的實測數據表明：表面氯離子濃度、氯離子擴散系數和混凝土保護層厚度等銹蝕參數存在明顯的空間相關性［10-11］，導致不同位置處的氯離子擴散存在明顯的空間差異。因此，為了確保既有混凝土結構滿足耐久性及安全性要求，亟須提出一種考慮銹蝕參數空間相關性的混凝土結構鋼筋初銹時間的預測方法。

本研究采用K-L 級數展開法，對銹蝕參數隨機場進行離散，研究表面氯離子濃度Cs、臨界氯離子濃度Ccr、氯離子擴散系數Dc及混凝土保護層厚度C等銹蝕參數的空間分布特征，并基于現有初銹時間預測模型，提出考慮銹蝕參數空間相關性的既有混凝土結構鋼筋初銹時間預測模型，以期為既有鋼筋混凝土結構的耐久性和安全性評估提供借鑒。

1 銹蝕參數隨機場模擬方法

目前，常用的隨機場模擬方法有中點法、空間平均法、譜表示法和級數展開法等［12-13］。K-L 級數展開法作為一種極為重要的研究法，具有計算效率高、計算精度高、全局誤差小等優點，被廣泛用于隨機場模擬。且K-L 級數展開法對均勻和非均勻隨機場、高斯和非高斯隨機場［14］的模擬均適用。與非連續性模擬方法（點離散和平均離散）相比，K-L 級數展開法得到的模擬結果為一連續隨機變量，更符合實際情況。同時，相較于其他展開方法，該方法能用有限的展開階數獲得最優的整體均方差。因此，本研究采用該方法對表面和臨界氯離子濃度、氯離子擴散系數及混凝土保護層厚度等銹蝕參數的隨機場進行模擬。

根據K-L 級數展開法的定義，均勻隨機場Su通?？煞纸鉃椋?） 該參數的確定性均值部分；2） 可表示為獨立隨機變量和協方差矩陣相應特征函數乘積部分的線性組合，兩者的和即為隨機場模擬結果，其計算式為：

式中：μs，u為該參數隨機場的均值；{ζi，θ，i= 1，2，…，n} 為隨機場Su展開階數為i時的隨機變量；λi和φi，u分別為均勻隨機場Su相應協方差矩陣的第i階特征值及該特征值所對應的特征向量。

求解第二類Fredholm積分，得到：

式中：CSS(u1，u2)為協方差函數；u1、u2分別為不同位置的獨立隨機變量。

由式（2）可知，協方差函數具有對稱、正定和有界的特點。因此，在有界區域D上，特征函數集形成完備正交集，且滿足歸一化條件：

式中：δij為Kronecker-Delta函數，當i=j時，δij= 1；當i≠j時，δij= 0。

K-L級數展開法中協方差函數矩陣的特征值通常具有快速降低的特點，這保證隨機場模擬在有限項級數時達到較高的精度?？紤]模擬精度及計算成本的平衡，本研究選取截段K-L 展開法對隨機場S(u)進行近似估計，則式（1）可改寫為：

式中：M是有限項級數為隨機場Su的近似估計值。

協方差矩陣的特征值及相應特征向量的求解方法有：① 當協方差服從指數分布和高斯分布時，直接對式（2）進行求解；② 采用數值方法或迭代算法［14］求解。目前，指數型協方差函數由于求解便利和適用范圍廣的優點，其在土木工程領域被廣泛運用。因此，本研究也采用指數型協方差函數來構建銹蝕參數隨機場。常用的指數型協方差函數的表達式為：

式中：σS為隨機場的標準差；dS為隨機場的相關距離。

采用指數型協方差函數時，式（2）可改寫為：

根據文獻［14］的推導，特征值及相應特征向量可求解：

1） 特征值。

2） 相應的特征向量。

式中：ωi和為超越方程式（9）和（10）的解，通?？刹捎枚址ㄇ蠼?，具體過程見文獻［15］。

基于式（7）～（8），獲得協方差矩陣的特征值及特征向量后，即可將其帶入式（4）得到隨機場的近似估計，從而分析表面和臨界氯離子濃度、氯離子擴散系數及混凝土保護層厚度等銹蝕參數的空間相關性特征。

2 混凝土結構鋼筋初銹時間預測模型

飽和混凝土中的氯離子擴散主要由濃度梯度或電勢梯度驅動，而對于非飽和混凝土，氯離子擴散取決于壓力梯度［16］。盡管在不同使用環境下，混凝土中氯離子的遷移機理不同，但暴露于海洋環境的混凝土中氯離子的遷移行為通常采用FICK 擴散第二定律進行描述［17］。給定初始和邊界條件，當氯離子擴散系數和表面氯離子濃度恒定時，氯離子擴散方程的解析解可表示為［18］：

式中：C(x，t)為t時刻距表面深度x處的氯離子濃度；C0和CS分別為混凝土中的初始氯離子濃度和表面氯離子濃度；Dc為氯離子擴散系數，erf為高斯誤差函數。

當臨界氯離子濃度為Cr，且混凝土保護層厚度為C時，鋼筋初始銹蝕時間式（11）改寫為：

當考慮銹蝕參數的空間相關性時，先利用K-L級數展開法對所有銹蝕參數隨機場進行離散化處理；然后，將離散結果帶入式（12）中，計算各離散位置的初始銹蝕時間；最后，基于最不利原則，即可獲得考慮銹蝕參數相關性時的既有混凝土結構的初始銹蝕時間。

3 案例分析

為驗證本預測模型的有效性，以某濱海區截面尺寸為40 m×20 m 的既有鋼筋混凝土板為例，利用二維均勻隨機場，對該構件的銹蝕參數空間相關性分布特征及初銹時間進行預測。在基于K-L級數展開法進行銹蝕參數的隨機場模擬時，選用指數型相關函數作為協方差函數，展開截斷階數M設定為10，且不考慮各參數在x和y方向空間相關的差異性，即認為兩方向的相關長度相同。初始相關長度的選取見文獻［10］。銹蝕參數空間分布特征參數見表1。

表1 銹蝕參數空間分布特征參數Table 1 Spatial distribution statistics characteristics of corrosion parameters

1） 相關長度對參數空間分布的影響。

相關長度是隨機場模擬過程中的關鍵參數，為研究其對銹蝕參數隨機場模擬結果的影響，本研究以初始相關長度為基準，在50%、100%和300%初始相關長度3 種工況下研究4 種銹蝕相關參數的隨機場模擬，結果分別如圖1～4 所示。圖1（a）、圖2（a）、圖3（a）、圖4（a）分別為相關長度為1倍初始相關長度工況下Cs、Ccr、Dc和C的隨機場模擬結果。從圖1（a）、圖2 （a）、圖3 （a）、圖4 （a）中均可以看出，這4種銹蝕參數在局部區域都呈現一定的相關性，而在整體上各參數的分布均表現為“多峰”形態，即具有較強的空間變異性。在表面氯離子濃度Cs的隨機場模擬結果（圖1（a））中，混凝土表面氯離子濃度Cs最大值為3.895 kg/ m3，所在位置的坐標為（26.5 ， 14.5） m，而Cs最小值為3.213 kg/ m3，所在位置坐標為（4.0， 4.5） m，最大值比最小值高21.23%；在保護層厚度C的隨機場模擬結果（圖4（a））中，C值最大和最小位置分別為（27.0， 4.5） m和（30.0， 15.5） m，對應的數值分別為4.38 cm和3.63 cm，前者比后者高達20.66%。從圖1～4中還可看出，相關長度的增加會導致這4種銹蝕參數的隨機場分布曲面越光滑，表明：這些參數在結構的不同位置處的空間相關性也越強，即整體波動強度越小。

圖1 Cs隨機場模擬結果Fig. 1 Random field simulation results of Cs

圖2 Ccr隨機場模擬結果Fig. 2 Random field simulation results of Ccr

圖3 Dc隨機場模擬結果Fig. 3 Random field simulation results of Dc

圖4 C隨機場模擬結果Fig. 4 Random field simulation results of concrete cover

2） 相關長度對鋼筋初銹時間的影響

基于本隨機場模擬結果，不同相關長度組合工況下的鋼筋初銹時間預測結果，如圖5所示。從圖5可以看出，相關長度分別為50%、100%和300%工況下鋼筋初銹時間的波動范圍依次為［7.9， 19.3］ a、［6.6， 29.4］ a 和［5.3， 31.9］ a，相應的極差分別為11.4、22.8 和26.6 a。這表明增大相關長度會導致鋼筋初銹時間的極差顯著提高。與之相反，鋼筋初銹時間均值對相關長度的改變并不敏感，3種工況下，初銹時間均值分別為13.6、14.1和14.5 a，變化幅度不明顯。

圖5 不同相關長度組合下的結構初銹時間Fig. 5 Initial corrosion time under different combinations of correlation length

與用傳統鋼筋混凝土結構初銹時間預測結果相比（即以各位置處初銹時間的平均值作為預測結果），當相關長度分別為50%、100%和300%時，考慮銹蝕參數空間相關性的結構初銹時間分別提前了41.9%、53.2%和63.4%，表明：傳統預測方法低估了結構的銹蝕風險，延誤結構抗銹措施的實施，且不利于后續結構服役狀態評估及維修加固策略的制定及優化。因此，基于實測數據合理估計銹蝕參數的波動系數，并考慮銹蝕參數空間相關性影響，對合理預測混凝土結構初銹時間至關重要。

4 結論

基于K-L 級數展開法，對銹蝕參數進行隨機場模擬，并考慮銹蝕參數空間相關性，對既有混凝土結構初銹時間進行預測，得出結論：

1） 相關長度的增加會導致銹蝕參數的隨機場分布曲面光滑，表明：這些參數在結構不同位置處的空間相關性也越強，即整體波動強度越小。

2） 增大相關長度會導致鋼筋初銹時間的極差顯著提高，但鋼筋初銹時間均值對相關長度的改變并不敏感。

3） 現有初銹時間預測方法會低估結構的銹蝕風險，當采用50%、100%和300%相關長度時考慮銹蝕參數空間相關性的結構初銹時間較現有方法分別提前了41.9%、53.2%和63.4%。