概率計算須“善”思而后行

肖學軍

在遇到概率問題時，我們應該做到：審視題目要仔細，如摸球游戲是“有放回”，還是“無放回”，條件不同，結果也不一樣；選用方法要得當，如有些問題適宜用樹狀圖，而不適合用表格；概念理解要清晰，如頻率和概率不是一回事，不能混淆。

一、有放回與無放回

例1 一個不透明的袋子中裝有2個紅球、3個黃球，每個球除顏色外都相同。曉君從袋中任意摸出1個球（不放回）后，曉靜再從袋中任意摸出1個球。兩人都摸到紅球的概率是（）。

A.[110]B.[225]C.[425]D.[25]

【解析】將紅球與黃球依次編號，紅球記為紅1、紅2，黃球記為黃1、黃2、黃3，列表如下：

由表格可知，共有20種等可能結果，其中兩人都摸到紅球的結果有2種，所以兩人都摸到紅球的概率為[220]=[110]。故選A。

【點評】本題是 “無放回”情形，若是“有放回”，則共有25種等可能結果，其中兩人都摸到紅球的結果有4種，此時概率為[425]，所以要注意題設條件。

二、表格與樹狀圖

例2 “三孩”政策實施后，甲、乙兩個家庭有了各自的規劃（假定生男生女的概率相同）：

（1）甲家庭已有一個男孩和一個女孩，準備再生一個孩子，則第三個孩子是男孩的概率是；

（2）乙家庭沒有孩子，準備生三個孩子，求至少有兩個孩子是女孩的概率。

【解析】（1）第三個孩子是男孩的概率是[12]。

（2）畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有8種等可能的結果，其中至少有2個女孩的結果數為4，故至少有2個女孩的概率為[48]=[12]。

【點評】當事件存在兩次試驗時，既能用畫樹狀圖法，也可用列表法；但當一個事件涉及三次試驗（如本例第2問）或更多次時，為便于不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，通常采用畫樹狀圖法。

三、頻率與概率

例3 某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的試驗，整理的試驗數據如下表：

①通過上述試驗結果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的；

②第2000次試驗的結果一定是“蓋面朝上”；

③隨著試驗次數的增多，“蓋面朝上”的概率接近0.53。

其中正確的是（填序號）。

【解析】①通過上述試驗結果，可以看出蓋面朝上的頻率大于0.5，所以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的，故正確；②第2000次試驗的結果不一定是“蓋面朝上”，故錯誤；③隨著試驗次數的增多，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故正確。綜上，答案為①③。

【點評】本題考查了利用頻率估計概率的知識。 一般情況下，頻率不等于概率，但是隨著試驗次數的增多，頻率會逐漸穩定到某個常數附近，這時可用這個常數來近似表示概率。

（作者單位：南京師范大學第二附屬初級中學）