基于深度學習的子波整形反褶積方法

倪文軍，劉少勇，王麗萍*，韓冰凱，盛燊

（1.中國地質大學（武漢）地球物理與空間信息學院，湖北武漢 430074；2.同濟大學海洋與地球科學學院，上海 200092）

0 引言

高分辨率的成像結果是后續地震資料解釋、儲層預測的基礎。相比于常規的偏移方法，最小二乘偏移(Least Square Migration，LSM)法通過迭代反演的方式，可以較好地估計寬帶反射系數而廣泛應用于高分辨率成像[1-3]，然而以數據擬合的方式迭代成像計算量較大，且在初始模型不準確或者數據質量差時迭代不收斂。

在LSM 目標函數中，模型的二階導數相對應的反演成像系統的 Hessian 矩陣包含了限制成像分辨率提高的多種因素，如帶限子波、波場傳播過程中的振幅衰減和觀測系統的照明等[4]。在理論上，消除 Hessian 矩陣的模糊效應是高分辨率LSM 成像的關鍵。眾多學者發展了非迭代的真振幅成像方法進行Hessian 矩陣模糊效應的部分補償[5-7]。相比于數據域迭代的LSM 法,這些方法不存在不收斂的問題，且在照明補償方面是十分有效的[8-9]。Liu 等[10]利用局部支撐的點擴散函數(Point Spread Function，PSF)構造 Hessian 矩陣，通過基于PSF 的照明補償進行了像域的真振幅成像處理，補償成像結果的振幅均勻性和分辨率都有所提高。然而，由子波引起的模糊效應并沒有徹底消除，非迭代的真振幅成像仍然無法實現頻帶有效擴展的高分辨成像。

反褶積是一種通過壓縮子波提高地震數據的時間分辨率的重要方法。在子波最小相位、子波時不變和噪聲隨機的假設條件下，經典的反褶積方法廣泛應用于疊前、疊后地震數據的提高分辨率處理[11]。為了克服最小相位的假設條件的缺陷,Oppenheim等[12]最早進行了同態反褶積方法的研究；Rosa 等[13]首次將該方法應用于地震勘探領域的數據處理。然而，同態反褶積方法因為相位展開而導致其不穩定。最小熵反褶積(Minimum Entropy Deconvolution，MED)算法是另一種用于克服最小相位的假設條件的缺陷的方法，同時也是稀疏約束準則的首次應用[14]。Gray[15]假設反射系數具有稀疏性，提出了變量范數約束反褶積方法。針對子波時不變假設，Canadas[16]提出了一種盲反褶積策略，可以同時反演反射系數與子波，這在一定程度上彌補了子波時變的不足。Zhang 等[17]利用改進的 Cauchy 分布進行盲反褶積，并且采用交替迭代的求解策略得到反射系數和混合相位子波?？抵瘟旱萚18]在壓縮感知框架下引入L1/2范數進行稀疏約束反褶積。Wang 等[19]提出了基于 Toeplitz 稀疏矩陣分解的盲反褶積方法，將反射系數估計問題分解成為子波與反射系數的串聯反演，可以較好地克服反褶積方法對初始子波的依賴性。在此基礎上，Sui 等[20]將基于 Toeplitz 稀疏矩陣分解的反褶積擴展為具有非彈性衰減的非平穩稀疏脈沖反褶積。江雨濛等[21]基于廣義S 變換，提出了子波時變盲反褶積方法。這些發展的反褶積方法，在一定程度上可以彌補經典反褶積方法的理論假設條件的不足，提高成像剖面的分辨率。然而，反褶積效果仍受子波的估計誤差、噪聲等影響。

一般來說，非迭代的保真成像結果經過較好的照明補償，在一定程度上消除了子波的影響?；诖说姆瘩薹e處理通過壓縮子波進行子波整形，提高了分辨率，這與經典褶積模型描述的正問題并不是嚴格對應的。從圖像處理的角度看，反褶積前、后成像結果之間的關系隱含在帶限子波與寬頻理想子波之間，即常規的保真成像結果是帶限子波與反射系數的褶積，而高分辨成像結果是理想寬頻子波與反射系數的褶積。

深度學習在圖像處理方面具有良好的性能和更高的效率。卷積神經網絡(Convolutional Neural Network，CNN)常常用于挖掘隱藏在數據集之間的關系。經過良好訓練的CNN 往往無需人為調整參數，減輕了頻繁的人機交互的負擔。近年來，基于CNN 學習類算法也廣泛應用于地震數據處理，如插值、去噪、波阻抗反演、斷層識別、全波形反演等。Chai 等[22]利用CNN 進行反褶積，認為反褶積方法需要一個比較精確的初始子波。Gao 等[23]基于廣義的褶積模型，利用深度學習技術對地震資料進行反褶積處理，在一定程度上提高了地震資料的垂向分辨率。黃顏茹等[24]利用深度學習技術估計地震子波。Avila 等[25]利用多種網絡在理論模型上進行了反褶積處理，認為 U-Net比傳統方法相對更高效。Liu 等[26]提出了一種基于CNN 的點擴散函數反褶積方法，利用深度學習技術模擬基于 Hessian 濾波LSM 法的偏移反褶積過程，并通過數值實驗和實際數據驗證了其有效性和優越性。

為了有效拓寬常規偏移結果的波數帶，實現高分辨處理，本文首先從LSM 反演成像的角度出發，對影響成像分辨率的重要因素進行了分析，指出 Hessian矩陣中的觀測系統照明和子波是影響成像精度的重要因素；然后從圖像處理的角度 指出反褶積的目標應當是具有寬頻帶的反射系數，然而常規偏移成像結果與地下寬帶反射系數之間具強非線性關系，因此利用CNN 對二者進行映射，同時引入寬頻子波構建標簽，發展基于卷積神經網絡的子波整形反褶積方法；針對反褶積中初始子波估計不準確的問題，設計了子波和與反射系數串聯、迭代、更新的實現方案；最后應用本文方法對層狀模型資料和實際數據進行處理，兩者結果均表明了該方法能夠較好地壓縮子波，可實現穩健寬頻處理，獲得寬帶反射系數。

1 方法原理

1.1 地震資料成像分辨率分析

地震勘探的目的是利用觀測的地震資料估計地下結構和其對應的模型參數。在 Born 近似假設下，地震記錄與地下模型之間的關系表示為

式中：d表示一階地震反射波記錄；R表示地下反射系數模型；L表示 Born 正演算子。給定地震觀測數據估計反射系數模型是一個典型的地震反問題，可以通過如下目標泛函求解

式中dobs為觀測的地震反射數據。此目標泛函關于地下反射系數模型的一階偏導為梯度。令目標函數的梯度為零，可得到其法線方程

式中：LTd即為常規偏移結果，將其記為I；LTL為Hessian 算子，記為H。上述方程可以寫為

綜上所述，常規偏移結果為真實反射系數經過Hessian 算子濾波后的結果。Hessian 算子也叫做模糊算子，它包含了觀測系統、傳播和子波等因素給真反射系數帶來的模糊作用。梯度引導下的LSM 可以修正上述 Hessian 算子引起的各種模糊效應并完成寬帶反射系數估計。然而，實際應用中子波因素很難完全消除，即成像結果還是受子波頻帶限制。

1.2 成像域稀疏脈沖盲反褶積

基于圖像反褶積理論，照明補償后的成像結果可以表示為反射系數與子波褶積的結果，即

式中：S為子波；?表示褶積運算。

在假設反射系數為高斯白噪、子波為最小相位的條件下，上述褶積模型對應的反問題的目標函數為

由于子波與反射系數都是未知的，直接求解上式比較困難。為此，可以采用迭代優化方法求解，交替地估計子波和反射系數，即

式中：S0為初始子波，可通過對振幅譜平均值的反傅里葉變換粗略估計；Rk和Sk分別表示第k次迭代得到的反射系數和地震子波的估計值。

1.3 基于卷積神經網絡的子波整形反褶積

CNN 作為深度學習中具有代表性意義的網絡，由于其強大的特征提取能力以及非線性特征映射能力，在地球物理領域得到了廣泛的應用。

本文從圖像處理角度引入深度學習技術，利用寬頻子波構建寬頻樣本集，完成常規成像結果與地下模型之間的非線性映射，實現基于CNN 的子波整形反褶積。反褶積過程包括訓練和測試兩個階段，具體流程如圖1所示。

圖1 成像域子波整形反褶積方法實現流程圖

1.3.1 訓練階段

首先，利用已知模型構建訓練集，通過最小化網絡輸入與標簽之間的損失函數獲得初始網絡F(Imodel;θ0)及初始網絡參數θ0，其表達式為

式中M為已知模型反射系數，將其與S0的褶積結果Imodel作為輸入并對標簽數據進行匹配。標簽Rlabel由寬頻子波和M褶積獲得。

將靶區數據的成像結果Itarget作為初始網絡的輸入，可以初步估計靶區數據寬帶反射系數Rsoft，即

據此可以進行子波更新，如

式中：Sk為第k次估計得到的子波；λ2為加權系數。利用更新后的子波Sk+1，重復式(9)、式(11)和式(12)串聯迭代子波和反射系數。

損失函數是衡量模型預測結果與真實標簽之間的差異的函數。損失函數的值越小，說明模型的預測能力越強，反之則越弱。本文采用均方差(Mean Squared Error，MSE)損失作為評價參數，即

作為當今國內外語言學界的一門前沿學科，構式語法理論是在Fillmore和Kay等人研究的基礎上發展起來的。構式語法理論是一門研究說話者知識本質的認知語言學理論，一個構式本身就是一個整體，其意義不是各組成成分之間的簡單相加，也不是把無意義的形式任意地擺放在一起。也就是說，一個整體中的某一部分不能脫離整體而獨立存在，整體大于部分相加之和。（鄭世高，2015:1）語言學家認為，語言是由構式組成的系統，語言習得也就是構式的習得。構式是語言的基本單位，而語塊則是構式語法的有機組成部分。

式中θ表示訓練過程中的網絡參數。

1.3.2 測試階段

利用訓練好的網絡對成像結果進行高分辨處理，得到的反褶積結果為

式中：Rconfirm為測試階段得到的寬頻反射系數；為最優網絡參數。

1.4 網絡模型

本文CNN 結構如圖2所示。網絡設計參考 UNet 結構，將振幅譜的平均值做逆傅里葉變換估計得到的初始子波、疊后地震數據作為輸入，輸出為反射系數。網絡主要由卷積核(Conv)+ 批歸一化(BN)+激活函數(ReLU)的模塊堆疊組成。輸入數據通道數為2，在兩個 Conv+BN+ReLU 模塊后變為64 通道，卷積核尺寸為3×3。池化（尺寸為2×2）后特征圖的尺寸減半，通道數不變。上采樣由一個雙線性插值和一個卷積層組成。上采樣后特征圖尺寸變為原來兩倍，通道數不變。將左邊特征圖沿通道方向拼接到右邊，實現不同尺度特征圖的融合。在通道方向對特征圖降維得到網絡輸出，最終的輸出層卷積核尺寸為1×1。本文網絡可在多尺度下融合圖像特征，在小數據集的情況下能夠充分提取隱含在成像結果與寬帶反射系數之間的特征映射關系，以進行穩健的高分辨處理。

圖2 U-Net 結構圖

2 模型測試

本文采用 Marmousi 模型作為已知模型訓練網絡，并通過設計的薄層模型對網絡進行測試。分別引入寬頻子波和雷克子波構建不同的學習標簽，以對比不同標簽進行子波整形反褶積的效果。具體的學習標簽分別采用理想的75 Hz主頻的寬頻子波和100 Hz主頻的雷克子波與 Marmousi 模型的反射系數進行褶積獲得(圖3)。

圖3 Marmousi 訓練模型

在訓練階段，提取靶區數據的子波和Marmousi模型的反射系數，二者褶積可得到成像剖面，并將它作為輸入。其中初始子波可由靶區數據地震道的平均振幅譜估計而得。初始網絡構建完成后，再根據式(11)、式(12)迭代更新反射系數和子波。

在訓練過程中，利用90%的數據用作學習標簽，另外10%的數據作為驗證集。本文網絡的訓練采用Adam 梯度下降法。設置批大小為20，共迭代3×105次。初始學習率設為0.001，每迭代1.2×105次學習率衰減90%。網絡每訓練3×104次后，均需在驗證集上評估模型的性能。

驗證結果如圖4所示。由圖可見，在驗證集中，訓練得到的網絡的反演誤差基本都在3%以內，最大誤差不超過7%，這說明了本文方法的準確性。

本文設計了一個薄層模型，用于對比、測試訓練得到的網絡的泛化能力，并分別測試寬頻子波與雷克子波作為標簽情況下的方法的有效性。該薄層模型包含厚度為5～200 m 的小層。

圖5a 為該模型模擬的真振幅成像結果（通過37 Hz 的寬頻子波與反射系數褶積得到，作為網絡測試的輸入），圖5d 為該模型理想反射系數剖面（為75 Hz 寬頻子波與薄層模型真反射系數褶積得到，在此不參與訓練，只用作評價結果的標準）。利用 Marmousi 模型標簽訓練得到的兩個CNN，分別對圖5a成像結果進行反褶積，最終結果分別如圖5b 和圖5c所示。由圖5 可見，通過雷克子波(圖5b)和寬頻子波(圖5c)訓練的網絡都能有效拓寬成像結果的頻帶，薄層都能得到較好地分辨。二者與理想模型剖面之間的差距都很小。

為了進一步驗證寬頻處理的必要性，分別抽取CDP為600的數據進行對比(圖6)。由圖可見，利用寬頻子波標簽學習得到的網絡進行反褶積得到的結果可以有效地壓縮子波、提高分辨率。相比于利用雷克子波標簽學習得到的結果，寬頻子波標簽的反褶積結果與寬帶反射系數剖面吻合更好，其振幅也更加均衡。

3 實際資料應用

為了測試本文方法的應用效果，應用本文方法對中國東部M 探區實際地震資料進行處理。

由圖7 可見，經過反褶積處理后，分辨率明顯提高，同相軸的橫向連續性也得到提高，一些無法分辨的同相軸得到有效識別（紅色箭頭處）。

圖7 實際數據（a）與本文方法處理結果（b）對比

再分別對兩個局部剖面(圖7a、圖7b)進行二維傅里葉變換，其二維波數譜如圖8所示。由圖可見，經過反褶積處理后，局部剖面的波數帶得到了有效拓寬，尤其是低波數部分。由此可以證明，本文方法在實際數據處理中具有較好的應用效果。

圖8 實際數據（a）與本文方法處理結果（b）波數譜對比

4 結束語

針對偏移后成像結果的分辨率提高問題，本文提出的基于CNN 的深度學習子波整形反褶積方法，能充分利用已知模型數據，充分提取數據集的特征，建立成像結果與寬帶反射系數的非線性映射關系，有效地實現目標數據的反褶積處理。薄層模型的測試結果表明，基于寬頻子波褶積反射系數的標簽進行訓練，可以較好地壓縮子波旁瓣，實現高分辨處理。子波和反射系數串聯迭代反演，可以在一定程度上克服對固定子波假設的不利條件，但初始子波的準確性對反褶積過程還是有一定影響。中國東部M 探區實際資料處理結果顯示，本文方法能較好地拓展成像結果的波數帶，同時保持和輸入成像結果類似的波組特征，展示了該方法良好的應用效果。

然而，本文方法只是針對圖像進行子波整形反褶積處理，將來可進一步利用模型測試分析低波數分量和與吸收衰減有關的高波數分量等恢復的有效性。