利用RC充、放電過程測定電容值*

程 豪,廖昱博,張捷睿

(贛南師范大學 物理與電子信息學院,江西 贛州 341000)

電容是電子設備中最基礎的元件之一,在調諧、旁路、耦合、濾波等電路中起著重要的作用.電容值是電學中的重要參數.在電路設計和檢測中,電容的準確測量至關重要.電容測量不僅有助于檢驗電子元件是否符合設計要求,同時也有助于判斷電路的穩定性和可靠性,為電路設計和優化提供依據.

常用的電容測量方法主要有:萬用表法[1],交流電橋法[2-4]和RC振蕩電路法[5-7]等.萬用表內阻有限流作用,測量電路中的電流很小,不會對耐壓較低的電容造成永久性損壞,但測量精度較低,而且往往存在較大的讀數誤差.交流電橋法測量結果相對較為精確,但其不具備自動平衡措施,電路組合相對比較復雜,測量結果的干擾因素較多[2,4].RC振蕩法可以測量較寬的頻率范圍,適用于測量動態電容,靈敏度也較高,但對于小電容值的變化不靈敏[7],同時,電路測量結果易受雜散電容的干擾,穩定性相對較差.

目前,也有報道利用RC電路充放電原理測量電容的數字式方法[8-10],這些方法能夠比較準確地測量電容.但是,為了保證測量的準確性,其通常采用比較復雜的電路結構,因而成本相對較高.并且,電容測量過程不夠直觀,通常不能給出電容的等效電阻值.相比之下,通過示波器直接記錄RC充、放電曲線來測電容,原理比較清晰,裝置簡易,操作簡便,測量也較為準確,而且通過改變方波信號源的頻率,可以滿足一定范圍電容值測量的需要

圖1 實驗采用的RC充、放電電路

有鑒于此,本文借助示波器記錄RC充、放電過程來測定電容值.首先選取串接的電阻和已知電容,測量充、放電曲線,讀取τ值,建立C-τ定標曲線.然后選取若干待測電容,同理測得時間常數τ,并利用建立的C-τ關系式求得待測電容值.最后,利用差減法近似估計電容的等效串聯電阻值.

1 實驗方法

1.1 實驗原理

實驗采用的電路如圖1所示.S為示波器;為串接R的電阻(阻值可調);C為待測電容;F為方波發生器.方波信號脈沖如圖2所示,在0到t1內,以恒定電壓U加在RC電路兩端,此時電容充電;在t1到t2時間內輸出電壓降到0,此時電容C經電阻RC放電.當方波發生器連續將方波電壓加在RC電路時,電路中將周期地發生充、放電過程.

圖2 方波信號脈沖圖

圖3 RC串聯電路的等效電路圖

圖4 撤去電容之后的等效電路圖

圖5 LRC電路實驗儀實物圖

若電容初始電壓為零,充電時電容電壓滿足:

UC=U[1-exp(-t/τ)]

(1)

放電時電容電壓滿足:

UC=Uexp (-t/τ)

(2)

上述公式中的τ=RC表示時間常數,是反映暫態過程進行快慢的指標.對于充電過程,時間常數是指電容兩端電壓從0增加到最大電壓的63.2%時所經歷的時間;對于放電過程,時間常數是指電容兩端電壓從最大值降到最大電壓的36.8%時所經歷的時間.

實驗以頻率為1000 Hz的方波為例,將串接電阻值設為900 Ω.考慮到充、放電曲線的完整性,要求方波周期T>10τ,即電容測量上限值約為0.1 μF;又考慮到示波器所能辨識的時間靈敏度,選取0.01 μF為測量范圍的下限;即選取0.01 μF至0.1 μF的電容進行測量.

由已知電容測得時間常數,建立C-τ定標曲線,再測量接入待測電容后的時間常數,由C-τ函數關系式可得待測電容值.但是,由于待測電容非理想電容,可將其等效為理想電容串接電阻的形式,其等效電路見圖3.圖中F為方波信號源,r0為信號源等效內阻,忽略信號源的等效電抗.Cm為待測電容值,R′是待測電容的等效串聯電阻,R是包含可調電阻在內的外電路其余部分的等效電阻.假設測得待測電容值Cm,其對應電路時間常數為τ,由時間常數的定義式,可知:

τ=RtotCm

(3)

式中Rtot為RC電路總等效電阻,由圖3可知:

Rtot=R′+r0+R

(4)

由式(3)和式(4)可得待測電容的等效串聯電阻:

(5)

為了估計r0+R,將待測電容撤去,即將信號源直接連接可調電阻R兩端.如圖4所示為撤去電容之后的等效電路圖.設方波信號源的電動勢為ε,方波輸出高電平時,外電路兩端電壓為U0.根據全電路的歐姆定律有:

(6)

這樣,通過改變可調電阻值,從而獲得不同的外電路端電壓值,即可測算出r0+R.

1.2 實驗器材

雙蹤數字示波器(優利德,UTD2102CEX),LRC電路實驗儀(杭州澤勝,ZC1502)含方波信號源50 Hz～1 kHz,信號幅度0～10 Vpp可調,幅度和頻率調節均采用優質多圈電位;十進式電阻箱(10 kΩ+1 kΩ+100 Ω+10 Ω)×10,精度0.5%;十進式電容箱(0.1 μF+0.01 μF+0.00 1μF+0.0001 μF)×10,精度1%等.LRC電路實驗儀的實物圖如圖5所示.

1.3 實驗過程

開機預熱10 min.然后,按圖1連接電路.將信號源調至方波,頻率1000 Hz,串接電阻使用十進式電阻箱,阻值調為900 Ω.實驗所用電容均取自十進式電容箱,使用前將電容兩端短接,使其放電直至兩端電壓為零.在0.01 μF至0.1 μF范圍內,等間距地選取十組已知電容值,測量充、放電曲線.再從獲取的充、放電曲線中分別讀出τ1、τ2值,求得平均值τ,從而建立C-τ定標曲線.選取參考值為0.015 μF至0.095 μF等間距的九組待測電容,記錄其充、放電曲線.同理讀出τ值.然后,將每組讀出的平均值τ分別代入C-τ函數關系式,得出待測電容的測量結果,并求相對誤差.最后,撤去電容,電阻箱調為三個不同阻值,在信號源高電平時,用示波器分別測出外電路的端電壓,根據公式(6)求出r0+R,再由公式(5)求出待測電容的等效串聯電阻.

圖6 電容為0.07 μF時的充電曲線

表1 已知電容τ值的測量結果

圖8 C-τ關系曲線圖

表2 待測電容的電路時間常數測量結果

2 實驗結果與討論

測量十組已知電容,獲取充、放電曲線.以0.07 μF的已知電容為例,其充、放電曲線分別如圖6和圖7所示.由此分別讀出τ1、τ2值,求得平均值τ,如表1所示.

由以上數據作C-τ關系曲線如圖8所示.由圖可知,C和τ的線性關系非常顯著,其函數關系式為:

C=0.001τ

(7)

測量九組待測電容,獲取充、放電曲線.由充、放電曲線圖像,所得的時間常數結果如表2所示.分別將每組讀出的τ值代入C-τ函數關系式,得出待測電容的測量結果及相對誤差,如表3所示.可見,在所給的測量范圍內,相對誤差小于3%.

為測量待測電容的等效串聯電阻,撤去待測電容,示波器記錄可調電阻分別為900 Ω、50 Ω、10 Ω,對應的外電路兩端電壓值,如表4所示,可得如下三式:

(8)

(9)

(10)

聯立求得:r0+R=998.021 Ω

進而求得待測電容的等效串聯電阻值如表5所示.

表3 電容測量值、參考值以及相對誤差

表4 三組電阻值與外電路端電壓的測量結果

表5 待測電容等效串聯電阻的估算結果

3 結論

本文選取頻率為1000 Hz的方波信號源,通過RC充、放電過程測定已知電容的RC電路時間常數,建立了C-τ定標曲線,用于測量未知電容.在0.01 μF至0.1 μF范圍內,電容測量的相對誤差小于3%.相比交流電橋法、RC振蕩法等方法,本文的實驗裝置簡易,便于操作,測量結果也較為準確.同時,可通過差減法較好地估計電容的等效串聯電阻.實驗中誤差主要來源包括:一方面,示波器本身是非理想儀表,存在不可避免的系統誤差;另一方面,方波信號源電壓有波動,同時,示波器也有讀數誤差.再者,實驗所用的電容和電阻為十進式電容箱和電阻箱,精度不高,而且電阻箱也存在因繞線產生的電容副效應,這對電容測量結果都有一定的影響.盡管如此,本文測量結果的誤差相對較小.利用本文方法,不僅可以較準確測量電容,還可以很好地估計其等效串聯電阻值.并且,通過改變方波信號源頻率,可以適合一定范圍電容值的測量需要.