一個Lebesgue稠密定理在動力系統中的推廣

張俊杰，孫浩宇，王 威①

（1.蘇州科技大學 數學科學學院，江蘇 蘇州 215009；2.南通理工學院 基礎教學學院，江蘇 南通 226002）

0 引言

Lebesgue微分定理是實變函數論［1-3］中的一個經典結論，該定理指出：對于幾乎處處的點x∈Rn，有

其中f為Rn上的Lebesgue 可積函數，m為Rn上的Lebesgue 測度。稱滿足上述等式的點為Lebesgue稠密點［4］。該定理表明，對于幾乎處處的點，局部可積函數取值等于圍繞該點小球上的平均值在球半徑趨近于0 時的極限。Lebesgue 稠密定理是Lebesgue 微分定理的一種特殊情況。Lebesgue稠密定理指出，對Rn中任意具有正Lebesgue測度可測集E，對幾乎所有的點x∈E，有

作為現代數學經典分析工具，Lebesgue稠密定理在測度論、實分析、動力系統和調和分析等數學領域起到關鍵作用。在過去的幾十年，有學者［5-10］做關于Lebesgue 稠密定理的拓展研究。Khan［11］研究發現，勒貝格稠密定理在算法隨機性的最新發展中發揮至關重要作用，例如解決ML-covering和ML-cupping問題。隨后，Bingham 等［12］在拓撲群上研究稠密拓撲相關性質，研究發現可以同時處理（Bair）類別情況和（Lebesgue 或Haar）測量情況，即在原始拓撲和合適加細（稠密拓撲）之間切換。Andretta 等［13］在N2空間上研究測度代數，總結在此條件下稠密函數與Lebesgue稠密定理的基本結果。糜澤亞［4］證明在固定的收縮集下，離散動力系統生成的動力系統球族條件下勒貝格稠密定理的準確性。Bienias 等［14］稠密點概念對理想收斂的推廣框架，并證明在此定義下關于稠密點的經典性質依然成立。此外，還構造一族Cantor集合，證明Lebesgue稠密定理不能在此方向上成立。

若用其他收縮集族來代替Lebesgue稠密定理中經典的歐幾里得球族，那么與該收縮集族對應的Lebesgue稠密定理是否依然成立？因此，文章主要研究在一般收縮集下，通過動力系統迭代而得到的球族，并驗證它們對應的Lebesgue稠密定理準確性。

1 預備知識與主要結論

設f:Rn→Rn為微分同胚，d為Rn上的歐氏度量，m為Rn上的Lebesgue 測度。記Bn(x,r)=f-n(B(fn(x),r))，n∈N，稱Bn(x,r)為在x處半徑為r的動力系統球。糜澤亞［4］給出固定收縮集下的擴張集定義，文章在此基礎上，給出其他一般收縮集族下的擴張集定義。

定義2［4］設x∈Rn，稱一族可測集{ }Ui是關于點x是良收縮的，如果點x滿足存在常數c ＞0，數列ri→0，使得對任意i∈N 和Ui?B(x,ri)，都有m(Ui)≥cm(B(x,ri))。本文主要結論如下。

設可測集A為Rn中的n≥1擴張集，其中f:Rn→Rn為C2微分同胚。有如下引理和命題。

引理1 對任意x∈A和n∈N，有Bn(x,r)?B(x,λnr)。

證明 對任意n∈N，任取點y∈Bn(x,r)，根據擴張集，可得

因此y∈B(x,λnr)，即Bn(x,r)?B(x,λnr)。

下面均假設存在常數c ＞0，使得對任意成立。

引理2 對任意k,n∈N 和x∈A，存在常數Tk，有m(B(fn(x),r))≤Tkm(f-kB(fn+k(x),r))。

又因為f:Rn→Rn為C2的微分同胚，所以對任意i∈N，有λni為λn的子序列。因此，存在常數c0＞0，使得

當α=exp(λ2rc0)，引理3即可得證。

命題1 對任意k,n∈N，x∈A，存在常數ck ＞0，滿足m(Bn(x,r))≤ckm(Bn+k(x,r))。

2 主要結果證明

基于上述討論，下面完成定理的證明。

證明 首先對任意θ∈(0,1)，令

事實上，只需證明對任意θ∈(0,1)，有m(Aθ)=0 即可。

對任意ε ＞0，不妨取開集U，使得Aθ?U，并滿足。定義Aθ的一個覆蓋

在W中取出一列不相交的集合?？紤]子族Wi1={Bi1(x,r)|Bi1(x,r)∈W,且對任意Bn(x,r)∈W,i1≤n}。任意

3 結語

Lebesgue稠密定理在實變函數論中扮演著重要角色，其推廣和應用成為眾多學者研究焦點。對于經典的Lebesgue微分定理和Lebesgue稠密定理，都是考察在規則的歐幾里得球條件下，研究歐幾里得球半徑趨向于0時的積分或者測度。本文首先給出擴張集和良收縮的定義，然后給出在一般收縮集下，通過動力系統迭代球族相關性質，最后驗證這些球族所對應的Lebesgue稠密定理仍然成立。這對Lebesgue稠密定理的拓展研究具有重要的影響。同時，它也在處理涉及測度迭代估計的動力學問題上具有重要理論意義。