關于各向異性范數下徑向引理的推廣

單威威，李曉萌①

（淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000）

0 引言

徑向引理在偏微分方程解存在性和正則性、Trudinger-Moser 型不等式極值函數的存在性［1-6］等問題中有重要作用。它體現徑向函數的正則性和衰減性之間存在相互作用。

1997年，Strauss［7］證明關于徑向型函數的最早結果：

設H1( Rn)是通常的Sobolev 空間n≥2，f∈H1( Rn)為徑向函數，若f～f?a.e 成立，且f在x≠0 處連續，那么存在僅依賴于n的正常數C，使得，其中

1982年，Lions［8］將上述結果擴展到W1,p( Rn)空間中。在此之后，結合Schwarz重排理論［9-10］，通過文獻［9，11］，對于徑向遞減函數有如下結果：

設u*∈Lp( Rn)是一個非負遞減徑向對稱函數，?x∈Rn{0 } ，那么，其中wn-1是n維單位球體的表面積。這一結果常用于無界區域上徑向對稱函數的估計，解決Trudinger-Moser型不等式極值函數存在性問題。

近來，隨著Finsler-Laplacian 方程以及Finsler-Liouville 方程研究的深入，各向異性Trudinger-Moser不等式［12］進入大家的視野，徑向引理也得到廣泛的應用。關于徑向引理，一個自然的問題是：在Sobolev空間W1,n( Rn)中各向異性范數下，如何對徑向函數做出估計？文章在實分析、凸重排理論［13］的基礎上，結合相關不等式推廣各向異性范數下的徑向引理，對W1,n( )Rn空間中的徑向函數做出估計。

1 基礎知識

2 主要內容

通過構造出相關不等式的使用條件，證明徑向引理不等式。

定理1 設W1,n( Rn)是通常的Sobolev空間，u∈W1,n( Rn)，u關于Fo(x)的凸對稱記為u#，那么

其中Cn表示僅依賴于n的常數。

證明 通過各向異性Sobolev范數的定義，有

及

根據函數F的性質：，那么

故

由于u*∈Ln( Rn)，則存在sk→∞時，u*(sk)n→0，那么

由式（4）通過變量變換，令t=κnrn，得

通過計算得

將式（3）和式（6）帶入式（5），得

那么

當sk→∞時，u*(sk)→0，故|u*(sk)n|→0，再對式（7）使用Young不等式，那么

3 結語

徑向引理是偏微分方程的研究中必不可少的工具之一。用各向異性Sobolev 范數代替通常Sobolev范數，給出W1,n( Rn)空間上徑向對稱函數u的徑向引理表達式，這一結果將解決徑向函數在各向異性范數下的相關估計問題。后續將通過此徑向引理繼續研究Trudinger-Moser型不等式極值函數存在性和極值函數列緊性問題。