基于加權L1-L2擬合的模糊活動輪廓圖像分割

王 選,唐利明

(湖北民族大學 數學與統計學院,湖北 恩施 445000)

隨著計算機科學技術的不斷發展,圖像處理和分析逐漸形成了獨立的科學體系。在計算機視覺和圖像處理領域,圖像分割占據著重要地位,被廣泛應用于圖像恢復、醫學檢測等方面。自20世紀以來,關于圖像分割的研究一直受到眾多學者的關注,并在醫學、交通、工業等領域得到了廣泛應用。

在現有的圖像分割方法中,基于活動輪廓模型的方法由于分割精度高、理論基礎完整受到了廣泛關注[1-4]?；顒虞喞Ｐ徒Y合圖像的特征信息,利用偏微分方程驅動輪廓演化,從而實現圖像分割。該模型可以分為2類:基于邊緣的活動輪廓模型[5-7]和基于區域的活動輪廓模型[8-11]。其中,基于邊緣的活動輪廓模型利用圖像的邊緣信息構造,最具代表性的是Caselles等[12]提出的測地輪廓(geodesic active contours,GAC)模型,該模型通過演化參數曲線對圖像進行分割,對于背景簡單且邊界清晰的圖像能達到較好的分割效果,但對邊界復雜、目標邊界模糊的圖像分割效果不理想,且分割結果容易受到噪聲、紋理等因素的影響。為了對目標邊界復雜圖像和弱邊界圖像進行分割,可考慮將圖像的區域信息融入到模型中,因此學者提出了大量基于區域的活動輪廓模型,其中最具代表性的是Chan等[13]在2001年提出無邊緣活動輪廓的CV(Chan-Vese)模型。該模型通過活動輪廓曲線內部和外部區域的信息差驅動活動輪廓運動,利用圖像的全局信息建立能量泛函對圖像進行分割,對于目標和背景比較均勻的圖像有較好的分割效果,但對灰度不均勻圖像往往不能得到準確的分割結果。對此,Li等[14]引入圖像的局部信息,建立局部二值擬合能量驅動的隱式活動輪(implicit active contours driven by local binary fitting energy,LBF) 模型。該模型利用高斯核函數實現局部區域的建模,可以捕捉圖像灰度的局部變化,從而克服CV模型的局限性,實現灰度不均勻圖像的分割。但LBF模型中含有二次積分,模型復雜度較高,導致計算效率較低。為提高分割效率,Zhang等[15]基于LBF模型構建局部擬合圖像提取圖像信息,并量化原始圖像與擬合圖像之間的差異,提出了局部圖像擬合能量驅動的活動輪廓(active contours driven by local image fitting energy,LIF)模型。相較于LBF模型,該模型提高了處理灰度不均勻圖像的能力,降低了計算量,但容易受到背景信息的干擾,產生誤分割的情況。

為了更加準確反映圖像的信息,避免陷入局部最優,精準找到目標的邊界,Krinidis等[16]提出基于模糊能量的活動輪廓分割(fuzzy energy-based active contours,FEAC)模型。該模型利用能量的模糊性提供了極強的拒絕局部極小化的能力,并且對圖像噪聲具有魯棒性,但是對于一些背景較為復雜的灰度不均勻圖像分割效果不理想?；贔EAC模型,各學者提出了多種結合模糊能量的活動輪廓模型,如Shyu等[17]提出利用全局模糊能量和局部模糊能量促進輪廓進行演化,Sun等[18]提出具有自適應對比度約束的活動輪廓模型,Fang等[19]提出加權全局和局部擬合能量驅動的模糊活動輪廓(fuzzy region-based active contours driven by weighting global and local fitting energy,FRAGL)模型。盡管這些模型對于灰度不均勻圖像均取得了較好的分割效果,但是計算量較大,并且對于灰度嚴重不均勻圖像分割效果仍不理想。

為此,結合圖像的局部和全局信息,提出基于加權L1-L2擬合能量項的模糊活動輪廓圖像分割(fuzzy active contour based on weightedL1-L2fitting energy for image segmentation,FAWFE)模型。該模型利用圖像的局部和全局信息構建混合模糊擬合圖像,通過L1范數量化擬合圖像與原圖像之間的差異,進而構建加權L1擬合能量項,以更好地對異常值進行處理;然后結合L2擬合能量項,以保證能量泛函的凸性,避免陷入局部極小;最后通過對真實圖像和合成圖像的分割實驗驗證FAWFE模型的優勢。

1 FAWFE模型的構建

1.1 混合模糊擬合圖像

為反映圖像的灰度信息,建立圖像I(x)的理想化擬合圖像,表示為

(1)

其中,h1(x)、h2(x)分別為圖像目標區域和背景區域的灰度值,Ω1、Ω2分別為圖像中的目標區域與背景區域。為更好地反映圖像的灰度不均勻性,考慮利用加權的灰度均值常數圖像和平滑圖像逼近理想化的擬合圖像,即有

hi(x)=λici+(1-λi)fi(x),i=1,2,

(2)

其中,λi為正的加權參數,且0≤λi≤1,ci為常值,fi(x)表示演化輪廓內部區域和外部區域的局部灰度均值。

在模糊集理論中,每個像素點對于各個區域都有1個隸屬度,此時的隸屬度從只能取值為0或1擴展到[0,1],且像素點對于各個區域的隸屬度之和為1。這種基于模糊集理論的軟分割算法提供了不確定性的機制,能更好地反映圖像的真實信息。因此,舍棄傳統的硬分割算法,利用模糊隸屬度函數將擬合圖像IFI建模為混合模糊擬合圖像,如下所示:

IHFFI(x)=u1(x)mh1(x)+u2(x)mh2(x),

(3)

其中,m>1,u1(x)、u2(x)分別是隸屬度函數,u1(x),u2(x)∈[0,1],且u1(x)+u2(x)≡1。因此,混合模糊擬合圖像可改寫為

IHFFI(x)=[u(x)]mh1(x)+[1-u(x)]mh2(x),

(4)

即

IHFFI(x)=[u(x)]m(λ1c1+(1-λ1)f1(x))+[1-u(x)]m(λ2c2+(1-λ2)f2(x))。

此時,演化輪廓C表示為0.5水平集。

1.2 加權L1擬合能量

尋找圖像I(x)在某種度量意義下的最優混合模糊擬合圖像IHFFI(x),過程如下所示。

(5)

與L2范數相比,L1范數具有的最小絕對偏差方法更具備魯棒性,能夠對異常值進行更好處理。將其應用到圖像分割領域,可以較好地處理灰度不均勻、噪聲、野點的干擾。另外,為了加強圖像邊緣等重要信息的擬合程度,在擬合能量中引入邊緣檢測算子,提出加權L1最優擬合能量,如下所示:

(6)

求解能量泛函EF關于u(x)、h1(x)、h2(x)的極小值點,按式(5)計算可得到最優混合模糊擬合圖像IHFFI(x)。下面研究EF關于變量u(x)、h1(x)、h2(x)的凹凸性,有如下命題。

命題1固定u(x),擬合能量EF關于h1(x)、h2(x)均為凸。

命題2固定h1(x)、h2(x),當I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)≥0時,擬合能量EF關于u(x)為凹;當I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)≤0,擬合能量EF關于u(x)為凸。

命題1證明對EF進行分析,經計算,有

根據命題1和命題2,可得到如下結論:

1) 由命題1可知,根據凸優化理論,擬合能量EF關于h1(x)、h2(x)存在極小值點,并且是唯一的。

2) 由于u(x)為模糊隸屬度函數,滿足0≤u(x)≤1,根據極值原理,可得

minI(x)≤ci≤maxI(x);minI(x)≤fi(x)≤maxI(x)。

由于0≤λi≤1,可得minI(x)≤hi(x)≤maxI(x)。綜上,可得I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)無法恒大于0或者恒小于0。因此,由命題2可知,擬合能量EF關于u(x)非凸。

為了保證擬合能量關于u(x)的凸性,FAWFE模型在加權L1擬合能量項中增加1個強凸項,具體方案如下節所示。

1.3 加權L1-L2擬合能量

為避免陷入局部極小并保證分割精度,結合加權L2函數進行擬合,構造基于加權的局部和全局信息的區域能量項,確保模型的凸性及模型解的存在性和唯一性。在圖像分割中,此二次擬合項可以提高模型捕捉目標邊緣信息的能力,降低圖像的灰度不均勻性給分割結果帶來的不利影響,確保演化曲線到達精準的邊界。加權L2擬合能量項的定義如下所示:

(7)

其中,h1、h2的定義與式(2)相同。結合加權L1擬合能量項,構成FAWFE模型的能量泛函E。如下所示:

E=ER+αEF,

(8)

即

(9)

其中,α為正的加權參數。

下面研究E關于變量u(x)、h1(x)、h2(x)的凹凸性,有如下命題成立。

命題3固定u(x),能量泛函E關于h1(x)、h2(x)均為凸。

命題3證明經計算,有

命題4證明對能量泛函E作關于u(x)的二階偏導,即:

其中,m>1,α為正的加權參數,u(x)∈[0,1],h1(x),h2(x)>0,g>0。

綜上分析可知,當加權參數α限制在一定范圍內時,即可保證模型的凸性,又可避免陷入局部極小,從而實現更高精度的圖像分割。

1.4 模型求解

首先,由1.1中hi的定義可知,求能量泛函關于hi(i=1,2)的極小值點,即為求能量泛函關于ci和fi(x)的極小值點。為簡化計算,不直接求其極小,而是采用近似極小值點。ci為活動輪廓內外的全局灰度均值,則c1、c2分別表示為模糊隸屬度函數劃分的目標與背景區域的灰度均值,如下所示:

另外,fi(x)為活動輪廓內外的局部灰度均值,定義為

其中,*表示卷積運算,ωk(x)是大小為(2k+1)、標準差為σ的高斯窗口,發揮著代表局部空間權重的作用。

接著,求能量泛函關于隸屬度函數u(x)的極小值點。為了對u(x)進行更新,保持4個變量c1、c2、f1(x)、f2(x)不變,通過歐拉-拉格朗日方程計算能量的最小值點,可得

通過上式可以得到隸屬度u(x)的表達式,如下所示:

(10)

(11)

對隸屬度函數進行更新要通過式(10)更新點x處的隸屬度函數u(x)。該函數的變化將引起能量E的變化,通過新舊能量差ΔE判斷是否對該點的隸屬度進行更新:如果ΔE<0,則采用新的模糊隸屬度;如果ΔE≥0,則保留舊的模糊隸屬度。這種優化算法能使得模型的收斂速度更快。

2 實驗結果與分析

實驗采用Windows 10,64位操作系統,內存為8GB,處理器為Intel(R) Core(TM) i5-8250U CPU @ 1.60GHz 1.80GHz,利用Matlab 2020a軟件進行仿真實驗,測試FAWFE模型的有效性。實驗主要針對合成圖像、真實圖像、醫學圖像的分割,并與CV模型[13]、LIF模型[15]、FEAC模型[16]、FRAGL模型[19]進行對比實驗。

2.1 FAWFE模型的測試

2.1.1 輪廓初始位置的魯棒性 為驗證FAWFE模型對輪廓初始位置的魯棒性,選取3幅圖像(建筑、硬幣、螺絲)進行實驗,結果如圖1所示,圖中的綠色曲線為初始輪廓,紅色曲線為最終的分割效果。由圖1可知,建筑圖像與硬幣圖像的目標與背景灰度信息相差較大,螺絲圖像中目標區域的部分灰度信息與背景相似,都易對分割結果造成影響;從實驗結果來看,無論初始輪廓在什么位置,均可以得到理想的分割效果。由此證明,FAWFE模型的分割結果與輪廓初始位置無關,對輪廓初始位置更具魯棒性。

圖1 對輪廓初始位置的魯棒性Fig.1 Robustness to initial position of contours

2.1.2 加權L1擬合能量項的作用 為驗證加權L1擬合能量項在FAWFE模型中的重要性,選取4幅圖像(螺絲、汽車、鴨子、草坪),使用無加權L1擬合能量項的模型和有擬合能量項的FAWFE模型進行實驗,結果如圖2所示。由圖2可知,螺絲圖像的背景干凈、目標突出,汽車、鴨子、草坪圖像的背景較為復雜,容易對分割結果造成影響;比較分割結果可以發現,利用無加權L1擬合能量項的模型對圖像進行處理時,容易受到目標信息的干擾,產生誤分割的情況,而有加權L1擬合能量項的FAWFE模型能夠準確地識別目標信息,精準找到目標邊界,并準確地對圖像進行分割。

2.1.3 加權L2擬合能量項的作用 為驗證加權L2擬合能量項在FAWFE模型中的重要性,選取4幅圖像(茶杯、鴨子、草坪、飛蛾),使用無加權L2擬合能量項的模型和有加權L2擬合能量項的FAWFE模型進行實驗,結果如圖3所示。由圖3可知,茶杯圖像與鴨子圖像的背景干凈、目標突出,草坪圖像、飛蛾圖像具有較強的灰度不均勻性,容易對分割結果造成影響;比較分割結果可以發現,利用無加權L2擬合能量項的模型對圖像進行處理時,容易受到圖像灰度不均勻的影響,無法準確定位目標邊界,而有加權L2擬合能量項的FAWFE模型能夠準確定位目標的邊界,提高模型的分割精度。

圖3 加權L2擬合能量項在模型中的作用Fig.3 The role of the weighted L2 fit energy term in the models

2.2 對比實驗測試

首先,選取5幅合成圖像(雙橢圓、圓圈、橢圓、多圓、五瓣花)作為分割對象,測試CV模型、LIF模型、FEAC模型、FRAGL模型和所提FAWFE模型的分割結果;其中的幾個對比模型都經過了多次實驗,選擇不同的初始輪廓和模型參數,最后將較好的分割結果進行對比分析,結果如圖4所示。由圖4可知,雙橢圓圖像具有細紋理,圓圈圖像與橢圓圖像具有灰度不均性,多圓圖像為多目標圖像,五瓣花圖像為弱邊緣圖像,各圖像的分割都具有一定難度。

幾個對比模型的分割時間、迭代數量及均值如表1所示。由表1可知,FAWFE模型在分割時間和迭代數量上的降低不明顯;但是結合圖4的圖像分割效果對比可知,該模型仍然可以準確地提取目標輪廓,在分割精度上具有明顯的優勢。另外,由表1可知,FAWFE模型的分割時間都為1s左右,且均值(0.952s)小于1s,這在可以接受的范圍內。

接著,選取5幅真實圖像(花朵、小貓、大雁、繡球、鐵鏈)作為分割對象,測試CV模型、LIF模型、FEAC模型、FRAGL模型和所提FAWFE模型的分割結果;類似地,幾個對比模型都經過了多次實驗,將較好的分割結果進行對比分析,結果如圖5所示。由圖5可知,花朵、小貓、大雁圖像的目標較為突出,背景干擾不是太大,分割難度相對較小,繡球、鐵鏈圖像的目標區域與背景區域具有一定的相似性,分割結果容易受到干擾;雖然幾個對比模型的部分圖像分割結果與FAWFE模型分割結果沒有太大的差距,但是整體上看,FAWFE模型對于所有的5幅測試圖像都可以取得較好的分割效果,很少出現誤分割現象。

幾個對比模型的分割時間、迭代數量及均值如表2所示。由表2可知,對于真實圖像來說,FAWFE模型在迭代數量和時間上更具有優勢,可以在更短的時間內對圖像進行準確地分割。

表2 真實圖像CV、LIF、FEAC、FRAGL、FAWFE模型分割時間和迭代數量對比Tab.2 Comparison of real images segmentation time and iteration times between CV,LIF,FEAC,FRAGL and FAWFE models

3 結論

FAWFE模型基于圖像的局部和全局信息,構建了加權L1-L2擬合的模糊能量。該模型首先通過衡量原始圖像和模糊擬合圖像之間的差構建加權L1擬合能量項;為保證能量泛函的凸性,再結合加權L2擬合項構成FAWFE模型的能量泛函;最后通過計算新舊能量差對隸屬度函數進行更新。一系列模型性能測試實驗及對比模型實驗結果表明,FAWFE模型的分割效果不受輪廓初始位置的影響,能精準定位目標邊界,并且能夠在0.6s左右完成圖像的分割,與其他模型相比,收斂速度較高。所提模型對合成圖像和真實圖像均有良好的處理效果。