具有競爭機制的覓食者-掠奪者模型的高維空間有界性分析

劉洪燕,劉丹丹,江利情,蔣 敏

(貴州民族大學 數據科學與信息工程學院,貴陽 550025)

近年來,對多物種或多化學信號的趨化模型推廣在數學生物學領域引起了極大關注,例如Tao等[1]提出的覓食者-掠奪者模型:

(1)

其中,x表示覓食者、掠奪者、食餌所在的位置,t表示時間,u=u(x,t)、v=v(x,t)、w=w(x,t)分別表示覓食者、掠奪者、食餌的種群密度,-λ(u+v)w表示食餌的消耗,非負函數r=r(x,t)表示食餌的生產率,參數χ1、χ2、λ、μ分別表示趨化項系數(覓食者被食物吸引、掠奪者跟隨覓食者、2組動物都在隨機擴散、乙組動物在接觸時消耗營養),食餌消耗率以及食餌自身死亡率均為正,主要研究當空間維數n=1時模型(1)經典解的全局存在性和一致有界性;接著,在高維空間中,Wang等[2]通過對初始數據以及參數進行限制得到了模型(1)的有界性。除此之外,Cao等[3]和Liu[4]研究了擬線性覓食者-掠奪者模型經典解的存在性和有界性。對于具有奇異性、非線性項或者非線性擴散項的覓食者-掠奪者模型的研究,可以參考文獻[5-7]。這類模型可以用來描述剪水鹱通過追蹤三趾鸻尋找食物的過程,在生物學和生態學上有著廣泛的應用。但是,以上研究都沒有考慮到帶競爭機制的覓食者-掠奪者模型,所以Wang等[8]考慮到這一點,研究了帶有競爭機制的覓食者-掠奪者模型:

(2)

其中,μ1u、-μ1u2、-a1μ1uv分別表示覓食者的增殖、死亡、競爭,μ2v、-μ2v2、-a2μ2uv分別表示掠奪者的增殖、死亡、競爭,第1種趨化機制-(uwx)x表示覓食者向食餌梯度增加的方向移動,而掠奪者則跟隨覓食者去尋找食餌(對應第2種趨化機制-(vux)x),Wang等證明了模型(2)解的全局有界性以及大時間行為。

結合以上分析可知,對含有競爭機制的覓食者-掠奪者模型,已有文獻都沒有對高維空間進行研究,基于此,研究在高維空間中具有競爭機制的覓食者-掠奪者模型:

(3)

χ,ξ,λ,μ,a1,a2,b1,b2,δ1,δ2>0和α,β>1;

(4)

初值(u0,v0,w0)滿足

(u0,v0,w0)∈(W2,∞(Ω))3和u0,v0,w0≥0;

(5)

非負函數r滿足

(6)

(7)

則有如下主要結果:

定理1設Ω?n(n≥3)為具有光滑邊界的有界域,假設r滿足式(6)(7),p>n/2+1,(p表示p次冪可積),且式(4)成立。若

(8)

此外,存在常數C>0使得對任意t>0,有

(9)

在下文中,對時間t在空間Ω上的積分符號dt均省略。

1 準備工作

在證明主要結果之前,先給出模型(3)經典解的局部存在性。

引理1[9]假設Ω?n(n≥3)為具有光滑邊界的有界域,式(5)(7)成立,則存在時間的最大值Tmax∈(0,∞]使得模型(3)存在唯一非負經典解對任意t>0,滿足u,v,w>0。此外,若Tmax<∞,則有∞。

下面給出證明定理1需要用到的一些重要的引理。

引理2[1]假設引理1的條件成立,則對任意t∈(0,Tmax),模型(3)的解滿足

(10)

引理3假設引理1的條件成立,則對任意t∈(0,Tmax),模型(3)的解滿足

(11)

(12)

該引理的證明可以參考文獻[7],此處省略其詳細的證明過程。

y(t)≤max{y(0)+C2,(C2/C1τ)+2C2}。

其中,z0滿足z0∈W2,∞(Ω),z0>0,且在?Ω上?νz0=0,則存在常數C>0,使得t∈(0,Tmax-θ),

成立,特別地,存在常數C*>0使得函數z滿足

2 解的有界性及定理1的證明

本節將給出(u,v,w)的有界性證明,并由此證明定理1。

引理6設p>1并且式(5)～(7)成立,則存在常數M1>0使得

(13)

證明首先,對參數γ>0定義輔助函數

g(s)=eγs2,?s∈[0,M],

(14)

其中,M為定理1給定的。因此,可以得到

g′(s)=2γsg(s),

(15)

g″(s)=2γ(1+2γs2)g(s),

(16)

1≤g(s)≤eγM2。

(17)

利用模型(3)中的第1個和第3個方程,再結合式(15)(16),對?t∈(0,Tmax)有

(18)

再由Young不等式可以得到

(19)

(20)

應用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式,結合式(7)(10)(15)(17),存在任意常數C3>0,有

(21)

其中,d1=eγM2(2γMr+2a1p+r),a=(np-(n/2))/(1+np-(n/2))。將式(19)～(21)代入式(18),結合式(10)(15)(16),有

(22)

對常數s∈R,令

因此,當f(s)=0時,h(s)至少存在1個正解,則可以找到γ>0滿足

使得

由式(22)可以得到

再由式(17)和引理4可得式(13)。

引理7[11]假設定理1的條件成立,則存在常數M2>0和M3>0使得對?t∈(0,Tmax),有

(23)

(24)

引理8假設定理1的條件成立,則存在常數M4>0使得對?t∈(0,Tmax),有

(25)

(26)

接下來,由式(11)(23)和B(t)的定義,有

(27)

其中,θ=2(p-1)q/(2(p-1)-q)>1。令f(u)=a1u-a1b1uα,則存在任意常數C4>0使得

結合Neumann熱半群光滑估計[12]可以得到對任意t∈(0,Tmax),存在任意常數C5,C6>0,使得

(28)

再由內插不等式可知,存在任意常數C7>0,對?t∈(0,Tmax),有

(29)

其中,1/q=a+(1-a)/2p(a∈(0,1))。將式(27)～(29)代入式(26),則存在任意常數C8,C9>0使得對任意t∈(0,Tmax),有

引理9假設定理1的條件成立,則存在常數M5,M6>0,使得對?t∈(0,Tmax),有

(30)

(31)

證明由模型(3)中的第1個方程可知

(32)

由文獻[13],有

(33)

由文獻[14]和式(25),有

(34)

(35)

對于I2(t),由文獻[15]中的式(3.35)～(3.38),有

(36)

(37)

將式(35)～(37)代入式(32),可以得到

(38)

由Young不等式和式(34),有

再根據式(12),則式(38)可以寫成

(39)

根據模型(3),令f(x,t)=-λ(u+v)w-μw+r(x,t),則w滿足

因此,結合式(7)(10)(11)(25),存在任意常數C11>0使得對?t∈(0,Tmax-τ),有

(40)

引理10假設定理1的條件成立,則存在常數M7>0,使得對任意t∈(0,Tmax),有

(41)

證明當p>1+(n/2)時,可以找到任意常數q滿足n

后面的證明與引理8類似,因此可以得到引理10的證明。

引理11[7]假設定理1的條件成立,則存在常數M8>0使得對任意t∈(0,Tmax),有

(42)

引理12假設定理1的條件成立,則存在常數M9>0使得對任意t∈(0,Tmax),有

(43)

證明對模型(3)的第1個式子進行計算,有

此時,可以用類似于引理9的方法計算得到

由模型(3),可令f(x,t)=-ξ?·(v?u)+a2v(1-b2vβ-1-δ2u)滿足

最后,根據引理2、引理8～12,再結合引理1,可以得到Tmax=∞和定理1的證明。

3 結論

通過應用Lp估計、Young不等式、H?lder不等式、內插不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Neumann熱半群理論等,發現當初值和參數滿足一定的正則性和限制條件時,可以得到在高維空間中模型(3)解的全局存在性和有界性。最終結果表明,通過提高空間維度,可使對模型(3)的研究更有難度,同時在生物學上更具有實用性。