因式分解中的數學思想

鄒興平

一、整體思想

整體思想就是將待求問題中的某個代數式視為一個整體，合理地轉化其條件及結論的形式、結構，將問題轉化到熟悉的知識范圍內來解決的數學思想.

例1 分解因式x2 + 2xy + y2 - x - y - 2.

解析：從整體的角度出發，視x + y為整體，尋求解題的途徑.

原式 = （x + y）2 - （x + y） - 2 = （x + y - 2）（x + y + 1）.

二、換元思想

換元思想是把某個代數式當作一個新的變元來實行變量替換的一種數學思想.換元法實質是整體求解法，只是將某一整體用另一個字母來代換.

例2 分解因式（xy - 1）2 + （x + y - 2）（x + y - 2xy）.

解析：顯然，去括號后再分解不可取，但可以設x，y的和與積為輔助元來求解.

設x + y = a，xy = b，

則原式 = （b - 1） 2 + （a - 2）（a - 2b） = （a2 - 2ab + b2） - （2a - 2b） + 1

= （a - b）2 - 2（a - b） + 1 = （a - b - 1）2 = （x + y - xy - 1）2 = （x - 1）2（y - 1）2.

三、轉化思想

轉化思想是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去的一種思想方法.

例3 分解因式x3 + 6x2 - 27x.

解析：提取公因式x后剩下x2 + 6x - 27，不能直接分解因式，可想辦法轉化為平方差公式分解.

x3 + 6x2 - 27x = x（x2 + 6x - 27） = x（x2 + 6x + 9 - 9 - 27） = x［（x + 3）2 - 62］

= x（x + 3 + 6）（x + 3 - 6） = x（x + 9）（x - 3）.

四、方程思想

從問題的數學關系入手，運用數學語言將問題轉化為數學模型，如方程，然后求解，使問題得以解決的一種數學思想.根據多項式的特點設未知數，根據系數相等列出方程或方程組，求出未知數的值，達到分解因式的目的，這是方程思想的應用.

例4 分解因式a2 + ab - 2b2 - 2a + 5b - 3.

解析：利用分解因式的基本方法較難分解這個二次六項式，通過觀察發現前三項可分解為（a + 2b）（a - b），設原式 = （a + 2b + m）（a - b + n），展開后運用待定系數法即可求出m，n.

設原式 = （a + 2b + m）（a - b + n） = a2 + ab - 2b2 + （m + n）a + （ - m + 2n）b + mn，與原式比較對應系數，得[m+n=-2，-m+2n=5，mn=-3，]解得[m=-3，n=1，]所以原式 = （a + 2b - 3）（a - b + 1）.

分層作業

難度系數： ★★★★? ? ?解題時間：8分鐘

1.當[x4-12x3+54x2-108x+81]的值為1時，x的值為（? ? ? ? ）. （答案見第33頁）

A. 2 B. [7] C. 2或4 D. 2或-4

2.分解因式（x + 1）（x + 2）（x + 3）（x + 4） + 1. （答案見第33頁）

難度系數： ★★★★★? ? ?解題時間：4分鐘

3.（2022·青?！の鲗帲┌四昙壵n外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

將2a - 3ab - 4 + 6b因式分解．

【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式 = （2a - 3ab） - （4 - 6b） = a（2 - 3b） - 2（2 - 3b） = （2 - 3b）（a - 2）.

解法二：原式 = （2a - 4） - （3ab - 6b） = 2（a - 2） - 3b（a - 2） = （a - 2）（2 - 3b）.

【感悟】當項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）

【類比】（1）請用分組分解法將x2 - a2 + x + a因式分解；

【挑戰】（2）請用分組分解法將ax + a2 - 2ab - bx + b2因式分解；

【應用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理. 如右圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形. 若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a > b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．

根據以上信息，先將a4 - 2a3b + 2a2b2 - 2ab3 + b4因式分解，再求值．

（作者單位：湖北省恩施市龍鳳鎮民族初級中學）