雙頻激勵下高溫超導改進型懸浮架系統的混沌運動研究

張明亮, 段佳琪 , 楊新夢 , 劉鵬飛 , 張連朋

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院,河北 石家莊 050043;2.石家莊鐵道大學 河北省工程機械動力與傳動控制重點實驗室,河北 石家莊 050043;3.西南交通大學 軌道交通運載系統全國重點實驗室,四川 成都 610031)

0 引言

磁懸浮制式通常分為永磁磁懸浮制式、常導磁懸浮制式和超導磁懸浮制式。永磁磁懸浮制式導向不穩定,常導磁懸浮制式不能精細反饋控制,而超導磁懸浮制式具有被動穩定的優點。超導磁懸浮制式一般又分為低溫超導電動磁懸浮制式和高溫超導釘扎磁懸浮制式。與低溫超導電動磁懸浮制式相比,高溫超導釘扎磁懸浮制式利用高溫超導體的磁通釘扎作用,在產生懸浮力的同時,又能實現橫向穩定的導向力,且具有超導態低成本實現的特點,成為一種新型的、懸浮導向一體化的軌道交通工具[1]。研究結果表明,其懸浮系統是典型的非線性系統[2],且磁軌耦合易發生共振,影響列車的安全性和舒適性[3]。因此,近年來,對高溫超導磁通釘扎懸浮列車非線性振動行為的研究成為該領域的一個研究熱點[4]。

LEI et al[5]對垂直振動下的高溫超導磁通釘扎懸浮列車如何長期保持懸浮穩定進行研究,發現采用預緊力法并選取合適的預緊高度可以有效改善懸浮力的衰減。同時LI et al[6]發現,增加二系懸掛系統也能提高減振性能。為了增強高溫超導磁通釘扎懸浮系統的阻尼特性, ZHANG et al[7]引入了渦流阻尼器。MOON[8]從研究系統的混沌運動角度出發,利用實驗以及數值仿真證明了高溫超導磁通釘扎懸浮系統在某些外部激勵下就會產生混沌運動。ZHUO et al[9]通過研究改進的懸浮力數學模型,發現系統通過倍周期分岔和陣發性2條路徑可出現混沌運動。盡管上述研究可以分析高溫超導磁通釘扎懸浮系統的部分非線性振動行為,但針對系統參數和運行參數對混沌的綜合影響研究相對較少。

現基于Melnikov方法為高溫超導釘扎懸浮列車改進型懸浮架系統通往混沌運動的研究提供了一種新的思路:利用等效處理方法得到改進型懸浮架系統的懸浮力數據,建立系統的運動微分方程,使用Melnikov方法推導得出系統的混沌閾值,分析系統參數與運行參數對混沌閾值的影響,給出系統避免發生混沌運動的可行域。

1 改進型懸浮架系統的提出

高溫超導磁通釘扎懸浮列車通常采用上方高溫超導體和下方永磁軌道的布置方式,這種傳統的上下單層布置方式在列車運行時存在著一定的脫軌風險。為了提升列車運行的安全性和增大懸浮特性,將傳統的高溫超導體與永磁軌道單層面面相對式的懸浮架系統改為雙層抱軌式。包含改進型懸浮架系統的高溫超導磁通釘扎磁懸浮列車主要組成部分如圖1所示,高溫超導塊組合與永磁軌道之間存在著上下2個懸浮間隙,其值各自可變但和為定值,在后續的研究中,懸浮間隙是指上懸浮間隙。

圖1 包含改進型懸浮架系統的高溫超導磁通釘扎磁懸浮列車主要組成示意圖

2 懸浮力理論分析及討論

2.1 實驗裝置和測試原理

利用實驗裝置測試高溫超導塊組合與永磁軌道之間的懸浮力數據。實驗裝置實物如圖2所示,其測試原理如圖3所示。

圖2 懸浮力實驗裝置

圖3 懸浮力實驗裝置測試原理示意圖

實驗測試的基本步驟:利用電機旋轉絲桿螺母機構產生的直線運動帶動低溫容器上下運動(見虛線雙向箭頭),使高溫超導塊組合接近永磁軌道,保持兩者之間的距離不變(設定場冷高度);將液氮倒入低溫容器中,使高溫超導塊組合在永磁軌道的磁場下冷卻進入超導態(即場冷);高溫超導塊組合在直線電機的帶動下上下移動,位移傳感器測量上下移動的懸浮間隙,壓力傳感器測量得到懸浮力。

2.2 等效處理方法提出和驗證

圖4 懸浮力和懸浮間隙的關系

針對高溫超導塊組合處于超導態時(浸泡在液氮中)的混合特性,基于凍結鏡像模型[10]提出了等效處理高溫超導體的方法:基于凍結鏡像將高溫超導塊組合等效處理成磁化的磁體,模擬捕獲磁場的特性;基于移動鏡像將其等效處理成具有較小的相對導磁率模擬抗磁性,進行矢量求和得到高溫超導塊組合與永磁軌道之間宏觀的懸浮力,該懸浮力類似于非線性特征的彈簧?；诘刃幚矸椒ǖ玫皆趫隼涓叨葹?.022 m時,不同懸浮間隙下的懸浮力理論數據,將其與實驗數據進行比對,如圖4所示。

由圖4可觀察到無論是實驗測量還是理論計算的懸浮力,均隨著懸浮間隙的增大先快速上升至最大值后緩慢下降,最終趨向于0,且在場冷高度處懸浮力為0,表明該位置為不受重力影響下的平衡點zeq,且理論結果與實驗數據吻合較好,驗證了等效處理方法的正確性。

3 改進型懸浮架系統的動力學建模

圖5 改進型懸浮架系統的垂向力學模型

文獻[11]研究表明高溫超導塊組合和永磁軌道之間存在著阻尼。當懸浮架本體振動時,高溫超導塊下方導電材料(如銅)產生渦流阻尼力,阻尼力大小和系數可通過銅的結構和尺寸改變。為分析軌道不平順對系統振動響應的影響,考慮懸浮力、重力和阻尼力建立改進型懸浮架系統的垂向力學模型如圖5所示。

基于達朗貝爾原理,得到改進型懸浮架系統的垂向振動動力學方程

(1)

引入z=z1-z0,并令Fsum=F(z,t)-mg。得到變形后的改進型懸浮架系統垂向動力學微分方程

(2)

場冷高度設定為0.022 m。利用坐標變換原理將平衡點zeq移至原點,平移距離u可表示為u=z-zeq。采用三次多項式函數擬合Fsum與u的關系,表達式形式如下

圖6 改進型懸浮架系統的懸浮力與懸浮間隙關系

Fsum=k3u3+k2u2+k1u

(3)

擬合結果與離散數據對比圖如圖6所示。

由圖6可以觀察到,三次項函數的經驗公式與離散數據吻合良好。相比于k1(1.325×105)和k3(2.542×108),k2(-0.141)的值很小,可忽略不計?；谝陨献儞Q,得到改進型懸浮架系統的垂向動力學方程為

(4)

軌道不平順通常包括較多頻譜,而在實際效果中往往1、2個激勵占據主要作用,故假定軌道不平順的激勵為z0=F1cos(ω1t)+F2cos(ω2t),將z0的表達式代入式(4),得到雙頻簡諧激勵下系統的運動微分方程

(5)

4 改進型懸浮架系統的混沌特性分析

4.1 混沌閾值的求解和驗證

為了后續推導,引入如下變換

(6)

并將式(5)改寫成向量函數的形式

(7)

根據文獻[12]介紹的Melnikov理論,求解式(7)后將式(6)代入整理,得到發生混沌運動的必要條件為

(8)

為了驗證混沌閾值曲面的正確性,選取表1中的參數,得到的混沌閾值曲面如圖7所示。

表1 系統參數與運行參數基本取值

圖7 混沌閾值曲面驗證

在圖7中的混沌曲面上下方各選取一點A、B,代入式(8)進行計算,選擇穩態響應的后10%進行分析。計算每個激勵點處響應的時間歷程圖、相圖、Poincare截面和頻譜圖,如圖8、圖9所示。

圖8 點A處系統的響應

圖9 點B處系統的響應

點A(10,100,0.000 05)位于曲面下方,理論上系統響應為周期或擬周期運動;點B(57,55.2,0.002)位于曲面上方,其響應狀態應為混沌運動或其他。由圖8可以觀察到A點為擬周期運動,圖9點B時程圖曲線走勢隨機但上下有界,相圖規律但有一定范圍,Poincare截面為有限個離散點的組合,頻譜圖有多個連續頻率成分,故此時是混沌運動。由此驗證了得到混沌閾值的正確性,故可利用式(8)進行下一步研究。

4.2 系統參數和運行參數對混沌閾值的影響

當軌道激勵為簡諧激勵時,根據周期性,利用軌道不平順的波長λ以及運行速度v表示外部激勵頻率ω。即ω=2πv/λ,得到改進型懸浮架系統發生混沌運動的必要條件表達式

(9)

取表1中數據,令v=600 km/h,觀察值見表2,以λ1、λ2為變量,F為混沌閾值,由式(9)得到不同系統參數對混沌閾值的影響規律如圖10所示。圖10中箭頭方向表示隨參數增大混沌閾值曲面的移動方向。

表2 系統參數變化取值

圖10 系統參數對混沌閾值的影響

圖11 激勵幅值與運行速度的混沌閾值曲線

由圖10可以觀察到,隨著質量和非線性剛度的增大,曲面向下移,表明系統發生混沌運動的概率增加;而隨著阻尼和線性剛度的增加,系統發生混沌運動的概率減小。因此,設計時應盡量減小系統質量和非線性剛度,增大阻尼和線性剛度。

為了研究動態運行時系統的混沌閾值,計算得到最高設計運行速度為600 km/h時對應的激勵波長:λ1=20.34 m,為了避免主共振,根據上海磁懸浮軌道數據,假定λ1=40 m和λ2=45 m,則根據式(9)得到軌道不平順激勵幅值和運行速度的混沌閾值曲線,如圖11所示。

圖12 混沌閾值隨阻尼變化情況曲線

由圖11觀察到運行速度越高對應的安全激勵幅值就越低,要求軌道越平順,基于圖10(b)及表1可知,系統阻尼的選取略小,因此,其余數據不變,分別提取阻尼依次增大時的混沌閾值,如圖12所示。

從圖12可以得到,混沌閾值隨著阻尼的變化呈線性關系,擬合關系式為

F=1.087 5×10-5c

(10)

因此,為了降低建造永磁軌道的難度,當要求激勵幅值不小于1 mm時,根據式(10),改進型懸浮架系統的阻尼應該不小于92.0 N·s/m。

圖13 關于λ2混沌閾值曲線

研究的是雙頻激勵下高溫超導磁通釘扎懸浮列車改進型懸浮架系統的振動行為,而雙頻激勵下除了主共振也會產生聯合共振的情況,如主-超諧聯合共振和主-亞諧聯合共振。根據主共振時對應的激勵波長,λ2取值在6.78～60.96 m范圍內。通過式(9)分析波長λ2對混沌閾值F的影響,如圖13所示。

由圖13可以觀察到在Ap點(λ2=13.58 m)處的混沌閾值較低,此時波長約為主共振波長的0.67倍。因此在設計永磁軌道時,若其中一個外部激勵頻率與系統固有頻率接近,另一個外部激勵頻率取值應該避免取固有頻率的0.67倍附近,以降低列車出現混沌運動的可能。

5 結論

研究了雙頻率激勵下高溫超導磁通釘扎懸浮列車改進型懸浮架系統的混沌運動,分析了系統參數和運行參數對混沌閾值的影響,主要結論如下:

(1)混沌閾值隨著質量和非線性剛度的增大而減小,隨著阻尼和線性剛度的增大而增大,故為了避免系統發生混沌運動,應減小系統的質量和非線性剛度,增大系統的阻尼和線性剛度。

(2)在最高運行速度600 km/h時,激勵幅值混沌閾值隨著阻尼的增大近似線性增大,為了降低建造永磁軌道的難度,激勵幅值不小于1 mm,改進型懸浮架系統的阻尼應該不小于92.0 N·s/m。

(3)當一個激勵頻率接近固有頻率時,另一個激勵頻率應避免取固有頻率的0.67倍。