外加電場和磁場對外爾半金屬能帶結構的調控*

羅淑珍,廖文虎,鮑海瑞

(吉首大學物理與機電工程學院,湖南 吉首 416000)

1928年,英國物理學家狄拉克提出了著名的狄拉克方程[1],該方程能夠描述具有相對論效應的電子波動行為.1929年,德國物理學家外爾在理論上預言:質量為0時的狄拉克方程可以描述一對具有相反手性的外爾費米子[2].自從外爾費米子的概念被引入到凝聚態物理領域以來,以準粒子激發形式存在的外爾半金屬就受到了學者的廣泛關注.外爾半金屬具有拓撲非平庸的線性能帶特征和相對論性電子行為,因而又被稱為“三維的石墨烯”,其在納米電子器件領域具有廣闊的應用前景.

經過學者的不懈努力,近年來,外爾半金屬在理論和實驗研究方面都取得了許多重要進展.比如:2011年,萬賢綱等[3]基于具有燒綠石結構的銥氧化物體系,最早研究了磁性外爾半金屬的拓撲電子態和費米弧表面態,這一研究成為外爾半金屬后續研究的重要起點;同年,徐剛等[4]基于第一性原理計算,首次提出了在鐵磁半金屬HgCr2Se4中受拓撲保護的雙外爾費米子概念;2015年,翁紅明等[5]基于第一性原理計算,從理論上預言了外爾半金屬砷化鉭TaAs的存在;同年,這一重要的外爾半金屬材料在實驗上得以成功制備[6],于是外爾半金屬迅速成為凝聚態物理和材料科學領域的研究熱點[7-11].外爾半金屬具有許多新奇的物理特性,如三維無能隙線性色散能帶結構[3]、手性異?，F象[12]、負磁阻效應[13]和手性朗道能級[14-15]等.近年來,關于外場調控外爾半金屬的量子輸運性質引起了學者的密切關注[16-17].目前,外加磁場調控外爾半金屬能帶結構已有較多研究報道[14-15,18],值得注意的是,外加電場也可調控外爾半金屬能帶結構[19].在電場和磁場的共同作用下,外爾半金屬展現出更多有趣的物理現象[20].基于此,筆者擬利用緊束縛近似下的低能有效哈密頓模型,研究外加電場、外加磁場及外加電場和磁場作用下的外爾半金屬電子能帶結構,旨在為外爾半金屬電子能帶結構的調控提供參考.

1 模型與方法

圖1 基于外爾半金屬的納米場效應晶體管Fig. 1 Schematic Representation of the Weyl Semimetal Based Field Effect Transistor

構建一個基于外爾半金屬的納米場效應晶體管模型,如圖1所示.從圖1可知,模型由金屬源極(S)、漏極(D)、可調制背電極(BGV)和外爾半金屬(WSM)組成,模型中心區域受到外加垂直磁場(MF)作用.

基于緊束縛近似下的低能有效理論[21-23],外爾半金屬的哈密頓量

H=hxσx+hyσy+hzσz

(1)

其中:

hx=2t1sinkx;hy=-2t1sinky;

hz=2t2(2-cos (kx-ky)-cos (kx+kz))+2t3coskz.

這里ti(i=1,2,3)為躍遷振幅,t1,t2,t3分別取4,2,1 eV.對體系哈密頓量進行對角化,可得色散關系

本研究中,一共考慮外加電場、外加磁場及同時外加電場和磁場3種條件:

(1)當僅在z方向上施加電場時,體系哈密頓量

(2)

其中電場引起的能量U=eEzLz.這里Ez為電場強度,Lz為系統在z方向上的厚度.對(2)式中的哈密頓量進行對角化,可得色散關系

在朗道規范下,引入矢勢A=(0,Bx,0)到體系哈密頓量中,即

Πi=?ki-eAi/ci=x,y.

(3)

對(3)式中的哈密頓量進行對角化,得到色散關系

(3)當在z方向上同時施加電場和磁場時,體系的有效哈密頓量

(4)

對(4)式中的哈密頓量進行對角化,可得色散關系

2 結果

2.1 外加電場對外爾半金屬電子能帶結構的調控

外加正向電場對外爾半金屬電子能帶結構的調控效果如圖2所示.

設沿豎直向上方向施加的電場為外加正向電場.從圖2(a)可知,無外加電場作用下,導帶和價帶之間的能隙為0,說明此時的外爾點出現在布里淵區中的(0,0,±π/2)動量點處.從圖2(b)可知,當正向電場引起的能量為1 eV時,雖然導帶和價帶之間的能隙為仍然為0,但是外爾點的位置卻向布里淵區的邊界移動,由(0,0,±π/2)動量點處移動至(0,0,±2.09)動量點處.從圖2(c)可知,當正向電場引起的能量增大到2 eV時,外爾點移動至布里淵區的邊界(0,0,±π)處.從圖2(d)可知,當正向電場引起的能量增大至3 eV時,導帶和價帶之間形成大小為2 eV的能隙,此時體系外爾點消失.隨著電場引起的能量的逐漸增大,體系的導帶和價帶逐漸遠離費米能級,從而實現由外爾半金屬到半導體或絕緣體的轉變.

外加負向電場對外爾半金屬電子能帶結構的調控效果如圖3所示.

圖3 不同外加負向電場作用下的外爾半金屬電子能帶結構Fig. 3 Band Structure of Weyl Semimetals in Different Negative Electric Fields

從圖3(a)可知,無外加負向電場作用下,導帶與價帶之間的能隙為0,此時,外爾點位于(0,0,±π/2)動量點處.從圖3(b)可知,當外加負向電場引起的能量為1 eV時,導帶和價帶之間的能隙仍然為0,外爾點逐漸向布里淵區中心移動,由(0,0,±π/2)動量點處移動至(0,0,±1.04)動量點處.從圖3(c)可知,當負向電場引起的能量增大至2 eV時,外爾點移動至布里淵區中心.從圖3(d)可知,當負向電場引起的能量進一步增大至3 eV時,導帶和價帶之間形成大小為2 eV的能隙.與正向電場作用情形類似,隨著負向電場引起的能量逐漸增大,體系的導帶和價帶逐漸遠離費米能級,進而實現從外爾半金屬到半導體或絕緣體的轉變.

2.2 外加磁場對外爾半金屬電子能帶結構的調控

外加磁場對外爾半金屬電子能帶結構的調控效果如圖4所示,圖中實線表示費米能級.

圖4 不同外加磁場作用下的外爾半金屬電子能帶結構Fig. 4 Band Structure of Weyl Semimetals in Different Magnetic Fields

外爾半金屬在垂直磁場作用下可以形成分立的朗道能級[14-15].從圖4(a)可知,lB=3 nm時,外爾半金屬在-8～8 eV能量范圍內存在5支分立的朗道能級,即1支標注n=0、2支標注n=1和2支標注n=2的子帶.n=0子帶能量最低點(Emin=-2 eV)和最高點(Emax=2 eV)分別在布里淵區的kz=±π和kz=0處,位于費米能級附近的能帶展寬(Emax-Emin)為4 eV.n=0子帶穿過費米能級,因此體系呈現出半金屬性特征.處于費米面以上的n=1和n=2子帶能量最高點均位于布里淵區的kz=0動量點處,能量最低點分別位于kz=±2.03和kz=±2.66處.處于費米面以下的n=1和n=2子帶能量最高點分別位于kz=±2.03和kz=±2.66處,能量最低點均位于布里淵區的kz=0動量點處.需要指出的是,n=1和n=2時的導帶與價帶是關于費米能級對稱的,能帶展寬分別為0.98 eV和1.21 eV,n=1和n=2時的導帶與價帶在kz=±π處的能隙分別為7.86 eV和10.68 eV,而在kz=0處的能隙分別為9.50 eV和13.08 eV.

從圖4(b)可知,當lB增加至6 nm時,與圖4(a)中各子帶相比,除了n=0子帶沒有變化外,其余4支子帶均向費米能級靠近.處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點仍然位于布里淵區kz=0處,能量最低點卻向布里淵區中心靠近,分別位于kz=±1.68和kz=±1.79動量點處.處于費米面以下的n=1和n=2價帶的能量分布與導帶的關于費米能級對稱.n=1和n=2時的導帶與價帶能帶展寬分別為1.02 eV和0.95 eV.圖4(b)中各子帶的導帶與價帶間能隙均比圖4(a)中相應子帶的導帶與價帶間能隙小.n=1和n=2子帶在kz=±π處的能隙分別為5.18 eV和6.18 eV,在kz=0處的能隙分別為5.82 eV和7.24 eV.

從圖4(c)可知,當lB進一步增加至9 nm時,與lB=3 nm和lB=6 nm的結果相比,處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點仍在kz=0動量點處,能量最低點均進一步向布里淵區中心靠近,分別位于布里淵區的kz=±1.62和kz=±1.67處.此時,n=1和n=2的導帶與價帶均向費米能級靠近,能帶展寬分別為1.19 eV和1.05 eV.n=1子帶在kz=±π和kz=0處的能隙分別為4.56 eV和4.90 eV,而n=2子帶的相應能隙分別為5.06 eV和5.66 eV.

2.3 同時外加電場和磁場對外爾半金屬電子能帶結構的調控

在lB保持3 nm不變的條件下,通過外加正向(負向)電場來調控外爾半金屬的能帶結構,調控效果如圖5所示.

圖5 不同外加電場作用下的外爾半金屬電子能帶結構(lB=3 nm)Fig. 5 Band Structure of Weyl Semimetals in Different Electric Fields at Magnetic Length lB=3 nm

當不施加電場時,n=0子帶與費米能級的交點在布里淵區kz=±π/2處,此時體系呈現出半金屬性特征(圖4(a)).從圖5(a)可知,當外加正向電場引起的能量增大至1 eV時,與圖4(a)中各子帶相比,n=0子帶與費米能級的交點靠近布里淵區邊界,同時在能級上具有從部分占據的價帶轉變為第一導帶的趨勢,n=0子帶的能量最高點(3 eV)和最低點(-1 eV)分別位于布里淵區的kz=0和kz=±π處,能帶展寬為4 eV.處于費米面以上的n=1和n=2子帶能量最高點均位于布里淵區kz=0處,能量最低點均呈現出向布里淵區邊界靠近的趨勢,分別位于kz=±2.83和kz=±π處.n=1和n=2時的導帶與價帶在kz=±π處的能隙分別為7.54 eV和10.78 eV,在kz=0處的能隙分別為10.84 eV和14.32 eV.此時,n=1和n=2子帶的能帶展寬分別為1.65 eV和1.77 eV.

從圖5(b)可知,當外加正向電場引起的能量增大至2 eV時,與圖5(a)中各子帶相比,n=0子帶與費米能級剛好相切于布里淵區的邊界,因此n=0子帶轉變為體系的第一導帶,其能帶最高點和最低點的能量分別為4 eV和0 eV,其能帶展寬為4 eV.此時第一導帶(n=0)和第一價帶(n=1)之間的直接帶隙為3.87 eV.處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點均位于布里淵區kz=0處,最低點均位于布里淵區kz=±π處.n=1和n=2時的導帶與價帶在kz=±π處的能隙分別為7.74 eV和11.24 eV,在kz=0處的能隙分別為12.34 eV和15.72 eV.此時,n=1和n=2子帶的能帶展寬分別增大至2.30 eV和2.24 eV.

從圖5(c)可知,當外加正向電場引起的能量進一步增大至3 eV時,與圖5(b)中各子帶相比,n=0子帶位于費米能級之上,其能帶最高點和最低點的能量分別為5 eV和1 eV,能帶展寬大小保持不變,仍為4 eV.處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點均位于布里淵區kz=0處,能量最低點均位于布里淵區邊界.n=1和n=2時的導帶與價帶在kz=±π處的能隙分別為8.44 eV和12.02 eV,在kz=0處的能隙分別為13.98 eV和17.24 eV,n=1和n=2子帶的能帶展寬分別增大至2.77 eV和2.61 eV.圖5(a)～(c)說明,n=0子帶與費米能級的交點隨著正向電場引起的能量的增大而不斷地向布里淵區邊界移動,當正向電場引起的能量增大到一定程度時,可以實現半金屬向半導體或絕緣體的轉變.

從圖5(d)可知,當外加負向電場引起的能量為1 eV時,與圖4(a)中各子帶相比,n=0子帶與費米能級的交點(kz=±1.04)靠近布里淵區中心,其能帶最高點和最低點分別位于kz=0和kz=±π處,能帶展寬為4 eV.處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點分別位于布里淵區kz=±π和kz=0處,能量最低點分別位于布里淵區kz=±1.51和kz=±1.97處.n=1和n=2時的導帶與價帶在kz=±π處的能隙分別為8.64 eV和10.94 eV,在kz=0處的能隙分別為8.44 eV和12.02 eV.

從圖5(e)可知,當外加負向電場引起的能量增大至2 eV時,與圖5(d)中各子帶相比,n=0子帶與費米能級剛好相切于布里淵區中心,此時部分占據的n=0子帶變為完全占據的價帶.第一導帶(n=1)和第一價帶(n=0)之間的全局能隙為3.77 eV.處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點均位于布里淵區的kz=±π處,能量最低點分別位于布里淵區kz=±0.97和kz=±1.45處.n=1和n=2時的導帶與價帶在kz=±π處的能隙分別為9.78 eV和11.56 eV,在kz=0處的能隙分別為7.74 eV和11.24 eV.

從圖5(f)可知,當外加負向電場引起的能量繼續增大至3 eV時,與圖5(e)中各子帶相比,n=0子帶移動至費米能級之下,其能帶最高點和最低點的能量分別為-1 eV和-5 eV.對于n=1和n=2子帶,其能帶最高點均位于布里淵區kz=±π處,最低點分別位于布里淵區kz=0和kz=±0.92處.n=1和n=2時的導帶與價帶在kz=±π處的能隙分別為11.16 eV和12.46 eV,在kz=0處的能隙分別為7.54 eV和10.78 eV.n=1和n=2子帶的能帶展寬分別為1.81 eV和0.90 eV.圖5(d)～(f)說明,n=0子帶與費米能級的交點隨著負向電場引起的能量的增大而不斷地向布里淵區中心移動,當負向電場引起的能量增大到一定程度時,n=0子帶與費米能級相切于布里淵區中心,即kz=0動量點處,且隨著負向電場引起的能量的進一步增大,n=0子帶向遠離費米能級的方向移動,從而實現了半金屬向半導體或絕緣體的轉變.

在lB保持6 nm不變的條件下,通過外加正向(負向)電場來調控外爾半金屬的能帶結構,調控效果如圖6所示.

圖6 不同外加電場作用下的外爾半金屬電子能帶結構(lB=6 nm)Fig. 6 Band Structure of Weyl Semimetals in Different Electric Fields at Magnetic Length lB=6 nm

從圖6(a)可知,當外加正向電場引起的能量為1 eV時,與圖4(b)中各子帶相比,處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點均位于布里淵區kz=0處,最低點均靠近布里淵區邊界,其能帶展寬分別增大至1.84 eV和1.69 eV.在kz=0處,導帶和價帶均逐漸遠離費米能級,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別為7.46 eV和8.72 eV.在kz=±π處,導帶和價帶均靠近費米能級,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別減小至4.08 eV和5.44 eV.

從圖6(b)可知,當外加正向電場引起的能量增大至2 eV時,與圖6(a)中各子帶相比,體系呈現出直接帶隙半導體特征,全局能隙為1.90 eV.n=1和n=2子帶的能帶展寬繼續增大至2.72 eV和2.48 eV.在kz=0處,導帶和價帶均繼續向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙繼續增大至9.24 eV和2 eV.在kz=±π處,體系的導帶和價帶均繼續向費米能級靠近,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別減小至3.80 eV和5.40 eV.

從圖6(c)可知,當外加正向電場引起的能量進一步增大至3 eV時,與圖6(b)中各子帶相比,n=0子帶移動至費米能級之上,第一導帶和第一價帶之間的能隙為3.25 eV.n=1和n=2子帶的能帶展寬分別增大至3.30 eV和3.03 eV.在kz=0處,導帶和價帶均進一步向遠離費米能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別增大至11.10 eV和12.12 eV.在kz=±π處,導帶和價帶也向靠近費米能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別增大至4.50 eV和6.06 eV.圖6(a)～(c)說明,對于n=1和n=2子帶,在kz=0處,其導帶和價帶隨著正向電場引起的能量的增大而逐漸向深能級方向移動.然而,在kz=±π處,n=1和n=2時的導帶與價帶隨著正向電場引起的能量的增大先向費米能級靠近,再遠離費米能級而向深能級方向移動.n=1和n=2子帶的能帶展寬隨著正向電場引起的能量的增大而不斷變寬.

從圖6(d)可知,當外加負向電場引起的能量為1 eV時,與圖4(b)中各子帶相比,處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點均位于布里淵區邊界處,最低點分別位于布里淵區kz=±1.14和kz=±1.27處,能帶展寬分別增大至1.47 eV和1.03 eV.在kz=0處,導帶和價帶均靠近費米能級,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別減小至4.50 eV和6.06 eV.在kz=±π處,導帶和價帶均向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別增大至6.72 eV和7.38 eV.

從圖6(e)可知,當外加負向電場引起的能量增大至2 eV時,體系呈現出間接帶隙半導體特征,全局帶隙為1.89 eV.與圖6(d)中各子帶相比,n=1和n=2子帶的能量展寬分別增大至2.34 eV和1.78 eV.在kz=0處,導帶和價帶均繼續向靠近費米能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙均繼續減小,分別減小至3.78 eV和5.40 eV.在kz=±π處,體系的導帶和價帶均繼續向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別為8.44 eV和8.88 eV.

從圖6(f)可知,當外加負向電場引起的能量增大到3 eV時,與圖6(e)中各子帶相比,n=0子帶移動至費米能級之下,第一導帶和第一價帶之間的能隙為3.04 eV.n=1和n=2子帶的能帶展寬分別增大至3.10 eV和2.55 eV.在kz=0處,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別為4.08 eV和5.40 eV.在kz=±π處,導帶和價帶進一步向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別增大至10.28 eV和10.56 eV.圖6(d)～(f)說明,n=1和n=2子帶的能帶展寬隨著外加負向電場引起的能量的增大而不斷變寬.在kz=0處,導帶和價帶隨著外加負向電場引起的能量的增大先向費米能級靠近,再遠離費米能級而向深能級方向移動.但在kz=±π處,導帶和價帶隨著外加負向電場引起的能量的增大而不斷向深能級方向移動.

在lB保持9 nm不變的條件下,通過外加正向(負向)電場來調控外爾半金屬的能帶結構,調控效果如圖7所示.

圖7 不同外加電場作用下的外爾半金屬電子能帶結構(lB=9 nm)Fig. 7 Band Structure of Weyl Semimetals in Different Electric Fields at Magnetic Length lB=9 nm

從圖7(a)可知,當外加正向電場引起的能量為1 eV時,與圖4(c)中各子帶相比,處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點均位于布里淵區kz=0處,能量最低點分別位于kz=±2.15和kz=±2.20處.n=1和n=2子帶的能帶展寬分別增大至2.08 eV和1.88 eV,在kz=0處,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別為6.68 eV和7.32 eV,在kz=±π處,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別為3.10 eV和3.90 eV.

從圖7(b)可知,隨著外加正向電場引起的能量的增大(2 eV),體系從半金屬態轉變為直接帶隙半導體態,全局帶隙為1.26 eV.與圖7(a)中各子帶相比,n=1和n=2子帶的能帶展寬分別增大至3.03 eV和2.77 eV.在kz=0處,體系的導帶和價帶均向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別為8.58 eV和9.12 eV.在kz=±π處,體系的導帶和價帶均繼續向費米能級靠近,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別減小至2.52 eV和3.58 eV.

從圖7(c)可知,當外加正向電場引起的能量進一步增大至3 eV時,與圖7(b)中各子帶相比,n=0子帶移動至費米能級之上,第一導帶和第一價帶之間的帶隙為1.70 eV.隨著正向電場引起的能量的增大,n=0子帶從部分占據的第一價帶變為非占據的第一導帶,實現了體系中半金屬向半導體的轉變.

從圖7(d)可知,當外加負向電場引起的能量為1 eV時,與圖4(c)中各子帶相比,處于費米面以上的n=1和n=2子帶的能量最高點均位于布里淵區kz=±π處,能量最低點均向布里淵區中心移動,分別移動至kz=±1.10和kz=±1.18處.n=1和n=2子帶的能帶展寬分別為1.91 eV和1.54 eV,在kz=0處,體系的導帶和價帶均靠近費米能級,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別為3.34 eV和4.28 eV.在kz=±π處,體系的導帶和價帶均向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別增大至6.32 eV和6.64 eV.

從圖7(e)可知,當外加負向電場引起的能量增大至2 eV時,體系呈現出半導體特征,全局帶隙為1.26 eV.與圖7(d)中各子帶相比,n=1和n=2子帶的能帶展寬分別為2.84 eV和2.42 eV.在kz=0處,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別為2.52 eV和3.58 eV.在kz=±π處,體系的導帶和價帶均繼續向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的能隙分別為8.20 eV和8.40 eV.

從圖7(f)可知,當外加負向電場引起的能量增大至3 eV時,與圖7(e)中各子帶相比,n=0子帶移動至費米能級之下,第一導帶和第一價帶之間的直接帶隙增大至2.55 eV.n=1和n=2子帶的能帶展寬分別為3.51 eV和3.17 eV.在kz=0處,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別為3.10 eV和3.90 eV.在kz=±π處,體系的導帶和價帶向深能級方向移動,n=1和n=2時的導帶與價帶之間的帶隙分別增大至10.12 eV和10.24 eV.

3 結論

筆者利用緊束縛近似下的低能有效哈密頓模型,研究了外加電場、外加磁場及同時外加電場和磁場作用下外爾半金屬的電子能帶結構.結果顯示,外加電場、外加磁場及外加電場和磁場均可有效調控外爾半金屬的電子能帶結構.在僅有外加正向(負向)電場作用下,外爾半金屬中的外爾點隨著電場引起的能量的增大而逐漸向布里淵區邊界(布里淵區中心)移動,并在適當的外加電場下可以實現半金屬向半導體或絕緣體的轉變.在僅有外加垂直磁場作用下,外爾半金屬可以形成分立的朗道能級,n=0子帶不隨著磁長度的增加而變化,n=1和n=2子帶隨著磁長度的增加不斷向費米能級靠近且相同指標導帶和價帶間的能隙不斷減小.在保持磁長度不變的條件下,體系的外爾點隨著外加正向(負向)電場引起的能量的增大逐漸向布里淵區邊界(布里淵區中心)移動,當電場引起的能量增大到一定程度時,n=0子帶由部分占據的價帶變為第一導帶或完全占據的第一價帶,實現了半金屬向半導體或絕緣體的轉變.本研究結果可為外爾半金屬的納米電子學低功耗器件和介觀邏輯器件的制備及應用提供有價值的理論參考.