SS 型PT 對稱磁耦合無線電能傳輸系統特性分析

胡 鵬，楊慶勝，王 寧，寧 艷，曹佳佳，徐 妍

（江蘇方天電力技術有限公司，南京 211102）

磁耦合無線電能傳輸MC-WPT（magnetic coupling wireless power transfer）技術基于磁場耦合原理實現電能從電源側到用電側的無電氣連接傳輸，具有安全、可靠、靈活、便捷等優勢，已廣泛應用于消費電子、家用電器、電動汽車等領域[1-4]。然而，傳統的MC-WPT 系統具有較差的位置魯棒性[5-8]，必須增加相應的主動調諧，如頻率跟蹤或參數調整，以在傳輸距離或傳輸方向變化的情況下實現高效的能量傳輸[9-12]。

文獻[13-15]表明，將宇稱時間PT（parity time）對稱特性應用于MC-WPT 系統可以有效地提高其位置魯棒性。在該方案中，系統自動調整工作頻率以保持有效的功率傳輸?；诹孔永碚摰挠罘Q時間對稱性概念很難理解，尤其是對電氣工程師來說。目前的研究主要是基于相關特性對PT 對稱的參數調節進行分析，對系統的阻抗特性、工作模式分析得較少。運行模式和電氣參數之間沒有分析關系來指導實際的系統設計。更重要的是，基于運算放大器OA（operational amplifier）的PT 對稱MC-WPT 系統只能用于PP 拓撲[13]，而不能用于常見的SS 拓撲，這極大地限制了該技術的應用領域。

鑒于此，本文從電路分析的角度出發，深入分析SS 拓撲系統的工作原理及系統特性，給出系統結構以及運行模式和系統參數之間的數學關系，證實PT 對稱工作機制就是實本征態機制。在此基礎上，深入分析不同本征態下的阻抗特性和能效特性，為系統設計提供相應的理論準則。

1 系統建模及特性分析

1.1 系統建模

SS 拓撲PT 對稱MC-WPT 系統等效電路如圖1所示，其中：-Rs1R/Rs2形成負電阻并為系統提供增益；Rp1、L1分別為發射線圈的電阻和自感；Rp2、L2分別為接收線圈的電阻和自感；M 為互感；C1、u1分別為發射機的補償電容和相應的電容器電壓；C2、u2分別為接收器的補償電容和相應的電容器電壓；i1、i2分別為指示發射器和接收器中的電流；RL為負載。

圖1 SS 拓撲PT 對稱MC-WPT 系統等效電路Fig.1 Equivalent circuit of SS topological PT symmetrical MC-WPT system

根據基爾霍夫電壓定律，圖1 所示系統的數學模型可表示為

式中，Rg=-Rs1R/Rs2。

定義U=[u1，u2]T表示系統的電容電壓向量，建立系統的本征方程，并定義L、C、R 分別為系統的電感、電容、電阻矩陣，表達式為

則式（1）可轉化為

解此二階齊次微分方程，得通解：U=U0ejλt，其中U0為常數，λ 為本征值，系統的本征值λ=jδ±ω，虛部δ 表征系統的衰減特性，實部ω 表征系統自由響應的振蕩頻率。當δ＞0 時，系統響應為衰減振蕩；當δ＜0 時，系統響應為發散振蕩；當δ=0 時，系統響應為等幅振蕩。對于不存在外部激勵的自由響應系統而言，無論自由響應是發散振蕩還是衰減振蕩，系統都是不穩定的。當且僅當自由響應為等幅振蕩，即δ=0 時，系統才能穩定運行。

為了便于后續分析，將系統本征值為實數（即虛部δ=0，本征值為λ=±ω）的狀態稱之為“實本征態”。圖1 所示的MC-WPT 系統只能在實本征態模式下穩定運行。因此，PT 對稱MC-WPT 系統實質上就是工作在實本征態模式。

1.2 阻抗特性分析

將接收端阻抗用一個集中參數阻抗Z2表示，根據PT 對稱無線電能傳輸的要求，系統的發射端線圈與接收端線圈應繞制一致，參數相同，即L1=L2=L，C1=C2=C，Rp1=Rp2=Rp，則Z2表示為

由電路原理可得，接收端對發射端的負載效應可以用一個反射阻抗表示。該反射阻抗與原副邊耦合系數和工作頻率有關，即

將式（4）代入式（5），則可得反射阻抗Zr2為

對從原邊電源端口看出去的輸入阻抗進行建模，此輸入阻抗Zin為

將輸入阻抗Zin分解為實部與虛部，即可得等效輸入電阻Rin與等效輸入電抗Xin為

輸入阻抗Zin的實部Re Zin代表實際功率傳輸的負載電阻，而虛部Im Zin指示無功功率流的負載電抗。為了使系統工作在實本征態，系統應在輸入阻抗Zin的零相位角頻率下運行。在這些頻率下，輸入端口看進去的負載電抗為0，消除了無功功率流。為了實現此目標，應使等效輸入電抗為0，即

將式（9）代入式（10），可得6 個解，即

其中，后三組解為負值，為無效解，舍去，故輸入阻抗Zin的零相位角頻率有3 個。將這3 個角頻率轉換為頻率，有

用發射端線圈與接收端線圈自感L與耦合系數k 表示發射端線圈與接收端線圈間的互感值M，即

將式（20）代入式（17）～式（19），可得零相位工作頻率隨耦合系數k 的變化曲線，如圖2 所示，圖中3 條曲線分別代表零相位工作頻率f0、f1、f2時工作頻率隨耦合系數k 的變化。

圖2 SS 型系統零相角工作頻率隨耦合系數k 的變化Fig.2 Variation of zero-phase angle operating frequency of SS topological system with coupling coefficient k

由圖2 可見，無論兩線圈之間的耦合系數k 如何變化，f0始終不變，為一定值，故將此頻率稱為“定頻”，并將系統工作在此頻率下的狀態稱為工作在“定頻實本征態”；而f1及f2會隨兩線圈之間的耦合系數k 不斷變化，故將這2 個頻率稱為“浮頻”，并將系統工作在此頻率下的狀態稱為工作在“浮頻實本征態”。

將f0代入等效輸入電阻Rin的表達式，得

將f1及f2代入等效輸入電阻Rin的表達式，得

系統Rin隨k 的變化曲線如圖3 所示。其中3條曲線分別表示系統工作在頻率f0、f1及f2下的情形。顯而易見，在定頻f0下，系統輸入阻抗與耦合系數呈正相關，故SS 型系統在頻率f0下不具有高線圈位移魯棒性；而在浮頻f1或f2下，系統輸入電阻僅與負載與線圈內阻有關，不隨耦合系數變化，故SS 型系統在浮頻f1或f2下具有高線圈位移魯棒性。

圖3 SS 型系統輸入電阻隨耦合系數k 的變化Fig.3 Variation of input resistance of SS topological system with coupling coefficient k

1.3 SS 拓撲PT 對稱系統特性分析

基于式（1），可得SS 拓撲PT 對稱系統的傳輸效率η與傳輸功率Pout分別為

將f0、f1及f2代入式（23）、式（24）及式（25），可得各本征模態下系統的能效為

式（26）和式（27）表明，SS 型系統工作在定頻f0下，傳輸效率隨耦合系數k 減小而減小，輸出功率隨耦合系數k 減小而增大；輸出功率隨工作頻率f變化；而在浮頻下，傳輸效率及輸出功率為一定值，不隨耦合系數k 變化，亦不隨工作頻率f 變化。

2 仿真驗證

上述分析都是基于集總參數進行分析，而對于實際系統，系統的互感變化是由于接收端距離或者方位變化導致的，因此以實際系統為例，先基于COMSOL 求取，得到互感關于距離的函數，進而將互感代入系統的能效方程中進行特性驗證。磁耦合機構為平面螺旋線圈，實物如圖4 所示，對應的電參數如表1 所示。

表1 SS 型系統電參數Tab.1 Electrical parameters of SS topological system

圖4 線圈實物Fig.4 Coil specimen

兩個線圈同軸共心放置，改變兩線圈間距d，使用COMSOL 軟件進行仿真，得到兩線圈間耦合系數k與兩線圈間距d 的變化關系，如圖5 所示。

圖5 L=398 μH 時線圈間耦合系數k與線圈間距d 的變化關系Fig.5 Relationship between coupling coefficient k and coil spacing d when L=398 μH

根據圖5 所示的COMSOL 仿真結果，將互感作為距離的函數代入到系統的能效表達式中，進行特性數值仿真驗證。首先，計算得出定頻f0=84 kHz。在定頻f0=84 kHz 下，依次取d=5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 cm，根據圖5 所示的COMSOL 仿真結果獲得對應的耦合系數k 進行仿真，得到輸入功率與輸出功率。類似地，求出浮頻并在浮頻下依次取d=5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 cm，得到不同耦合系數下的浮頻數值及輸入功率與輸出功率，不同工作模式下系統的能效仿真曲線如圖6 和圖7所示。

圖6 不同工作模式下的輸出功率仿真對比Fig.6 Simulation comparison of output power in different working modes

圖7 不同工作模式下的傳輸效率仿真對比Fig.7 Simulation comparison of transmission efficiency in different working modes

從圖6 中可以看出，當SS 型系統工作在定頻下，在兩線圈間距由5 cm 增大到25 cm 時，功率由1 W 增大到8 W，功率等級僅有瓦級；而當工作在浮頻下，在兩線圈間距由5 cm 增大到25 cm 時，輸出功率基本為28 W 不變，不隨兩線圈間距變化而變化，且功率等級相較定頻提升一個數量級。從圖7 中可以看出，當SS 型系統工作在定頻下，傳輸效率保持在較高的水平，但隨線圈間距增大而下降；當SS 型系統工作在浮頻下，傳輸效率低于定頻時的3%～5%，但基本保持恒定。定頻的傳輸效率最高，但是輸出功率在近距離時非常低。在浮頻有效工作范圍內傳輸效率和輸出功率均較高且保持恒定。仿真結果與理論分析一致。

3 結語

本文先對PT 對稱系統進行建模，指出了PT對稱MC-WPT 系統實質就是工作在實本征態模式。在此基礎上，采用阻抗分析方法對SS 拓撲PT對稱MC-WPT 系統進行了分析，求出了SS 拓撲的系統工作在定頻實本征態和浮頻實本征態下輸入阻抗表達式。令該輸入阻抗表達式的虛部為0，解出了SS 拓撲的系統分別工作在定頻實本征態和浮頻實本征態下的零相角頻率表達式。最后求出了SS 補償拓撲的系統輸出功率與傳輸效率表達式，并進行了仿真驗證，為實際系統工作模式選擇提供了理論依據。