靜電場描繪實驗仿真研究

武穎麗,倪 朔,代少玉

(西安電子科技大學 物理學院,陜西 西安 710126)

電場強度和電位是靜電場描述的基本物理量。靜電場場區無電荷運動,不產生電流,故不能用伏特計測量其電勢。同時,用探測儀器的探針探入待測靜電場時,靜電感應現象使探針內部電荷重新分布,出現感生電荷產生的電場疊加使原電場發生畸變。因而,直接測量復雜形狀靜電場分布較困難,加上標量的計算與測量比矢量簡單,往往通過電勢分布描繪靜電場。

“靜電場描繪實驗”是大學物理實驗中的常規性內容,這一實驗相關科學問題已有研究:林春丹等[1,2]用MATLAB繪制兩個平行圓柱面間區域及電荷位于無限大導體平面上的電場分布,以更好理解靜電場分布特征,而且用智能手機拍攝測量打點圖、軟件Geogebra處理數據,完成了測量半徑、等勢線繪制、數據擬合等;張季等[3]模擬了兩點、三點、點線和雙線電極的等勢線分布,并將其與實驗結果進行比較;趙燕萍等[4]用交變電信號幅值項驗證以水為電介質的靜電場描繪儀測量實驗值與理論值相吻合。實驗裝置方面:宮吉祥等[5]利用高壓直流電源,將極化微物在靜電場中被極化定向移動運動結果,顯示了同軸柱面電極靜電場的二維分布;黃志鵬等[6]通過帶電球體模擬空間電場的三維分布,并用Geogebra軟件可視化。趙俊等[7]設計探討“靜電場實驗”在教學環節如何有機融合課程思政問題。許平等[8]針對靜電場描繪實驗在實驗講義、實驗器材以及實驗操作等方面存在的問題進行了分析與探討。目前,大多教學中采用模擬法實現“同軸電纜、平行線電極、聚焦電極”等經典的靜電場描繪,與該實驗內容一致的教學軟件鮮有報道。

西安電子科技大學的大學物理實驗“靜電場模擬”,是給定10V電壓,要求測量同軸電纜及平行線電極的電場,每個電場測7條等位線、每條等位線測10個點,并在坐標紙上描點畫等勢線,然后根據電場線與等勢線的垂直關系描繪電場分布。在實際實驗中有些弊端顯而易見,一是測量點多且測量精度不高,在坐標紙上描繪點不準確;二是輸入電壓變化時等勢線疏密隨之變化,有限時間內無法完成導致對電場分布認識不完整;三是“聚焦電極、飛機場機翼速度場”電場描繪難度大任務重,上課期間難以完成?；谝陨显?提出了通過軟件編程對“同軸電纜”“平行直線電極”“聚焦電極”劈尖電極”“平行板電極”等5種典型靜電場進行高精度仿真,以實現對靜電場分布、電場特性的深刻全面理解。

1 理論基礎

1.1 靜電場理論

靜電場是由靜止電荷激發的電場。由于電場具有疊加性,多個電荷激發的電場等于每個電荷激發電場的矢量和。設第i個電荷QI到P點的矢徑為rI,P點的電場強度E為

(1)

考慮電荷與電場的局域關系,由空間無限小區域電場的性質,可得高斯定理的微分形式

(2)

式中,ρ為電荷密度,ε0為真空電容率(真空介電常量)。

標量φ作為表征靜電場的另一個量電勢,進而電勢與電場強度矢量的微分關系為

E=-φ。

(3)

若取無窮遠點為參考點(電勢零點),則電勢與電場強度間的積分關系為

(4)

均勻各向同性線性介質中D=εE,關于電勢滿足的基本微分方程(泊松方程)為

(5)

其中,ρ為自由電荷密度。

為描述靜電場的電場分布,除基本微分方程外要考慮邊值關系(邊界條件)、導體表面及介質交界面處電勢邊值關系。已知在兩介質交界面處,電場的邊值關系為

en×(E2-E1)=0 ,

(6)

en×(D2-D1)=σ。

(7)

進而,交界面處靜電勢的邊值關系為

φ1=φ2,

(8)

(9)

由于導體內不帶凈電荷,電荷只分布于導體表面;導體內部電場為零,表面電場沿法線方向、導體表面為等勢面、整個導體電勢相等。結合式(8)和(9)可得導體表面邊界條件為

(10)

由式(5)、(8)、(9)和(10),可得到靜電場具體的電場分布。

1.2 模擬法可行性與局限性

與實際靜電場描繪實驗一致,我們建立包含同軸電纜、平行線電極、聚焦電極以及機翼速度場等四個靜電場相對應的理論模型與仿真,再增加“平行板電極”的電場分布仿真。

理想的靜電場電場分布實驗是在無窮大靜電場物理情境中完成,同軸電纜和平行線電極的電場分布,在仿真實驗中由靜電場原理求出解析解,再描繪出靜電場分布;而聚焦電極、機翼速度場及平行板電極的電場,無法求得解析解,則借助模擬法用穩恒電流來模擬。具體設計流程如圖1:

圖1 流程圖

2 仿真測繪

以靜電場基本理論為基礎,用有限差分方法,參考靜電場模擬實驗儀,利用MATLAB App Designer,設計以上五種常見靜電場描繪的高精度仿真程序。

2.1 仿真界面

仿真實驗由測量儀、描繪儀和操作欄三部分組成,界面如圖2所示?！皽y量儀”提供可調節的電壓,顯示探針的電壓讀數?！懊枥L儀”提供同軸電纜電場、平行線電極電場、聚焦電極、劈尖電極以及平行板電極等5個經典電場的描繪?！安僮鳈凇碧峁┰撐宸N經典電場的等勢線圖和電場圖等。此外,坐標可顯示或隱藏,坐標區相當于精度為0.2 mm的坐標紙,坐標區大小與導電媒質一致。測量過程中軟件顯示測量點電壓及其對應的坐標,測量結束后可以存儲測量數據。

圖2 靜電場測繪實驗界面

2.2 電場線和等勢線的描繪

以聚焦電極的靜電場為例,闡述電場線和等勢線的描繪。

2.2.1 測量等勢點

在軟件界面上,將“測量儀”中“電壓”表右側的按鈕由“輸出”撥到“測量”,“電源”開關由“On”調至“Off”,調節電壓確定輸出電壓大小,點擊操作欄的開始測繪按鈕進行測繪。用鼠標左鍵點擊“描繪儀”的中間位置,用鼠標點擊不同的位置或者通過鍵盤的“W”“A”“S”“D”鍵來選取所需要的等位點,找到后右鍵將其留在圖中,以此法尋找一組等位點,等位點的坐標可以顯示,測量結束可以存儲并導出測量點的數據。

測量時可選擇顯示坐標,以輸入電壓為10 V為例、導電媒質大小為10 cm×10 cm的情況下的測量仿真,得到如圖3所示結果。在圖3中,用仿真軟件描繪聚焦電極電場的電壓為1～9 V的等位點,間隔1 V,尋找等壓點過程,點的顏色為紅色。同時,在測量儀上顯示電壓值,描繪儀上顯示測量點的坐標。若確定該點為測量點時點擊右鍵,電壓點顏色顯示為藍色。

圖3 聚焦電極電場等勢點的測量

2.2.2 等勢線和電場線

測量完等勢點,可得到圖4所示等勢線。進一步,根據電場線和等勢線垂直的原理,畫出電場線并標出電場方向如圖5所示。圖5(a)和圖5(b)給出顯示和不顯示坐標時的情況。

圖4 聚焦電極電場的等勢線

2.2.3 數據參數的改變

與實際的測量儀器相比,靜電場描繪仿真軟件能實現更多功能,兩個重要的參數是輸入電壓調節和導電媒質大小的調節。圖6為輸入電壓為5 V時的聚焦電極的電場分布,與圖5(a)相比,可以看出輸入電壓越小,電場線變得越稀疏,說明同一點處的電場強度變小。

圖6 輸入電壓變化的聚焦電極電場分布

進一步,導電媒質大小從10 cm×10 cm調整到26 cm×26 cm,聚焦電極的電場分布如圖7所示?？梢钥闯?導電媒質變大,相當于聚焦電極間距離變小,則靠近電極處的電場變強,電力線變得更密集?？梢钥闯?仿真軟件中參數變化引起的電場變化,與靜電場理論相一致。

圖7 導電媒質變化的聚焦電極電場分布

3 其他四種靜電場的描繪

圖8給出了同軸電纜、平行線電極、劈尖-平行板電場以及平行板電極四種電場描繪結果,其中輸入電壓均為10 V,導電媒質大小從10 cm×10 cm。每個電場中描繪電壓為1～9 V的等勢點。圖8中虛線為等勢線,實線為電場線,箭頭表示電場線方向。各個靜電場描繪結果與線下實驗測量結果基本一致。

4 結 論

(1)基于MATLAB App Designer設計的靜電場描繪實驗仿真軟件,實現了五種常見靜電場分布模擬,仿真測繪程序高度還原了實際靜電場模擬實驗儀的實驗操作與UI設計,與現實實驗操作高度近似。

(2)該實驗仿真軟件,可以幫助學生直觀感受不同靜電場電場分布,有助于理解靜電場原理,其獨特的仿真設計可以鍛煉學生實驗操作能力;同時,擴展了實際靜電場描繪實驗的內容,增加了等勢線與電場線,并可實現導電媒質尺寸、輸入電壓的調節與顯示等功能,有利于學生對理想靜電場關于邊界條件的理解?？梢哉f,該描繪仿真軟件實現在再現實際實驗的操作,仿真度高,并可供無線下實驗條件作為拓展實驗。