天線座扭轉振動固有頻率分析*

李德舉，黃 河

（中國電子科技集團公司第二十九研究所，四川成都 610036）

引 言

天線座作為支撐并驅動天線等載荷回轉的機械類裝備有著廣泛的應用。天線座的動力學特性直接影響著載荷的指向精度、穩定時間等動態性能，而天線座扭轉維度的固有頻率是動態性能最直觀的指標。

文獻[1]采用牛頓法對天線座驅動系統的扭轉振動諧振頻率進行了計算；文獻[2]采用霍爾茲法分別對某型艦載雷達天線傳動系統的固有頻率進行了計算；文獻[3]同樣采用霍爾茲法對某型天線座前5階的扭轉振動固有頻率進行了計算；文獻[4]對位標器傳動裝置的固有頻率和模態進行了分析，并對傳動裝置進行了優化；文獻[5]采用拉格朗日法建立了某天線座的多柔體動力學模型，得到了天線座中齒輪副的動力學響應，并通過ADAMS進行了仿真分析，所得結果與試驗結果一致。本文以方位轉臺式天線座為研究對象，基于拉格朗日法創建動力學方程，得到扭轉振動固有頻率的解析表達式，使用ADAMS軟件仿真分析了天線座的固有頻率，并與理論分析結果進行了比較。

1 天線座組成及工作原理

某方位轉臺式天線座的組成和外形分別如圖1和圖2（除去了負載及平臺）所示。天線座的傳動原理如下：交流伺服電機提供動力，經減速器將動力傳遞給輸出端小齒輪，小齒輪與轉盤軸承內圈上的內齒嚙合，從而驅動與內圈固連的負載轉動。其中，減速器為直角型式，轉盤軸承外圈與基座及車平臺固連，內圈與轉盤及負載固連。

圖1 天線座組成

圖2 天線座外形

2 基于拉格朗日法的固有頻率計算

在天線座設計之初，通常對振型關注度不高，只需求解扭轉振動固有頻率，為伺服系統設計師和總體設計師提供參考。

為便于分析，將天線座視為一線性定常系統，用拉格朗日法建立其動力學模型。拉格朗日法從功能平衡角度出發，根據動能與勢能之差建立拉格朗日函數。不考慮系統損耗時，動力學方程的基本形式為：

式中：t為時間；qi為廣義坐標；L為拉格朗日函數，L=T-U（T為系統的動能，U為系統的勢能）；Fi為廣義力。

在選取廣義坐標后，求得各部分的動能、勢能、拉格朗日函數及其偏導數，再通過系數矩陣形式描述動力學方程，即可求解固有頻率。

2.1 動力學模型

2.1.1 廣義坐標

假設負載、車平臺等構件為剛體，忽略摩擦、側隙等非線性因素，只考慮電機、減速器的勢能，并將電機和減速器的扭轉剛度視為恒定值。

在描述系統動能和勢能時，考慮天線座中伺服電機輸出端、減速器輸出端及末級的轉角、角速度、角加速度，選取構件的轉角θi為廣義坐標，令各構件的慣量為Ji，扭轉剛度為Ki，下標i與圖1中的構件編號對應。減速器的速比為n2，轉盤軸承內齒與小齒輪之間的速比（末級速比）為n4。

天線座的原理框圖如圖3所示。實際使用時，無論天線座扇掃、圓掃還是駐留，伺服電機接收驅動器指令后，電機轉子的運動均已確定，故電機端應為約束狀態。

圖3 天線座原理框圖

2.1.2 系統動能

系統的動能為各部件動能之和：

2.1.3 系統勢能

系統的勢能為電機與減速器勢能之和：

2.1.4 拉格朗日函數及偏導數

根據式（2）和（3）可得拉格朗日函數：

式中：T1和T7分別為伺服電機和負載的動能；Jε1=

寫成如下矩陣形式：

慣量矩陣J和剛度矩陣K分別為：

2.1.5 固有頻率

天線座的扭轉振動頻率可簡化為求解特征值方程問題：

即：

式中，ω為扭轉振動圓頻率。

式（9）的解析解較為復雜，可通過已知參數代入，便可得到兩階扭轉振動頻率。

2.2 考慮平臺扭轉剛度的動力學模型

若考慮其他彈性環節，可引入相應的廣義坐標，建立對應的運動學方程。例如，考慮天線座安裝平臺的扭轉變形影響，需計入平臺的轉角θ9、扭轉剛度K9、轉盤軸承外圈、基座和平臺的轉動慣量J5，J8和J9，則式（2）調整為：

式（3）調整為：

通過比較引入平臺扭轉剛度前后的結果可知：

1）式（9）與式（12）中a11，a12，a21和a22四個元素完全相同，除元素a33外，其他元素為0。故式（12）得到的三階頻率中兩階與式（9）相同；

其中，平臺的轉動慣量J9在動態過程中的具體數值與平臺構型、質量分布密切相關，無法準確量化。對此，可采用仿真的方法進行分析。

3 基于ADAMS的仿真分析

除了采用數學模型對天線座的扭轉振動頻率進行計算外，還可以采用實體模型，在多體動力學軟件中進行仿真分析，并與數學模型求得的結果互相驗證。本文基于多體動力學分析軟件ADAMS，對天線座進行動力學建模，并求解扭轉振動固有頻率。

3.1 模型前處理

天線座由諸多零部件構成，為提高仿真效率且保證計算的準確性，需要對模型進行一定程度的簡化。

首先要去除對仿真結果影響很小的螺釘等緊固件，再基于統一坐標系，將具有同樣運動狀態且為相同材料的實體整合為一個構件?；?、轉盤軸承、轉盤、小齒輪為真實狀態的物理模型。電機、減速器、負載由多種材料組成，且本文并非研究部件特性，所以根據它們的實際重量、重心和慣量，通過圓柱實體表征即可。

此外，在建立運動副時，常常要用到依附于構件的Marker點，所以需要提前確定這些點的坐標，包括轉盤軸承內齒與小齒輪齒寬中面上分度圓切點的坐標、小齒輪齒寬中面與回轉軸的交點等。

以上操作建議在三維建模軟件中進行，再將簡化后的模型轉化為.x_t格式的文件，導入Adams View環境中。

3.2 仿真設置

仿真設置主要包括賦予部件材料及質量特性，建立運動副，施加載荷、驅動等。

3.2.1 物理特性定義

轉盤和基座的材料為鋁合金，轉盤軸承和齒輪的材料為合金鋼，賦予相應密度即可。

3.2.2 運動副創建

模型中運動副包括小齒輪與減速器之間的轉動副，轉盤軸承內圈與外圈之間的轉動副以及小齒輪與轉盤軸承內圈之間的齒輪副。齒輪副可采用關聯以上兩旋轉副與分度圓上Marker點的方式創建，或在機構模塊中創建。前者按照理論傳動比傳遞運動和動力，后者的選擇更多，需考慮嚙合狀態、接觸等因素影響，本文暫不考慮這些非線性因素，故選用第一種方法進行創建。

電機軸由圓柱實體提供慣量，其輸入端與大地之間構成轉動副，輸出端通過扭簧與減速器輸入端連接，以模擬電機軸扭轉剛度；減速器內部輪系由一級齒輪副代替，以模擬其速比，其輸出端與小齒輪之間通過扭簧連接，以模擬扭轉剛度。

另外，在上述扭簧的設置中，不應忽略阻尼系數，否則會在固有頻率處產生共振，末端響應會趨于無窮。電機阻尼系數受內部磁路、軸承參數等影響，減速器阻尼系數受齒輪與軸承參數、潤滑脂類型等影響，可通過試驗或計算得到?？紤]到這并非本文關注的重點，故參照文獻[6]中數據，設定阻尼系數為100 N·mm·s/(°)，使得末端響應不發散即可。

3.3 運動學分析

在進行動力學仿真之前，先對模型進行運動學驗證，以保證各運動副的正確性。圖3中天線座的參數見表1。

表1 天線座參數

依照3.1和3.2節中所述的步驟，建立除平臺以外的天線座實體模型。先將系統中扭簧抑制，扭簧兩端構件直接固連，然后在電機輸出端施加1 000°/s的轉速驅動。

設置仿真時間2 s，100個載荷步。仿真結果如圖4所示。根據速比關系，轉盤的角速度應為5.026 5°/s，負載轉角與理論結果吻合。

圖4 天線座運動學仿真

3.4 動力學分析

在進行動力學仿真之前，激活電機及減速器輸出端的扭簧。然后在電機輸出端使用SWEEP命令施加正弦掃頻驅動，由于頻段較寬，故分為0～750 Hz和750～1 500 Hz兩段進行掃頻，這使得頻域的結果更便于分析。

負載的扭轉維度角速度響應如圖5所示，對響應進行快速傅里葉變換，結果如圖6所示。

圖5 兩頻段角速度響應

圖6 響應的快速傅里葉變換

仿真得到的兩階固有頻率分別為23.29 Hz和1 059.25 Hz，采用式（9）計算，結果為23.71 Hz 和1 023.22 Hz，兩者之間的偏差源于前文提及的阻尼系數的影響。

3.5 剛柔耦合動力學分析

考慮到平臺轉動慣量無法準確評估，故將平臺實體模型柔性化，并與天線座連接，進行剛柔耦合動力學分析。其原理是采用有限元方法，通過計算構件的自然頻率和對應的模態，按照模態理論，將構件產生的變形看作是由構件模態通過線性計算得到的[7]，但構件的模態信息需借助其他有限元軟件得到。

本文通過ANSYS APDL對平臺劃分網格，定義基座與平臺連接的各螺栓孔中心為剛性節點，求解平臺前6階模態，并輸出.mnf格式文件至ADAMS中進行裝配，如圖7所示。

圖7 天線座與平臺裝配示意圖

由于平臺模態已通過ANSYS得到，其1階固有頻率為106.3 Hz。天線座與平臺裝配形成新的系統后，局部剛度和轉動慣量發生變化，故需關注平臺1階固有頻率周圍是否出現圖6所示結果以外的固有頻率。施加0～200 Hz頻段的掃頻驅動，響應及其快速傅里葉變換結果如圖8所示。

圖8 角速度響應及快速傅里葉變換

從圖8可以看出，天線座扭轉振動的2階固有頻率為149.9 Hz，由此可知引入平臺的系統動態特性產生了較大變化，在實際應用中不應忽略平臺的影響。

4 結束語

本文首先基于拉格朗日法建立了一典型天線座的扭轉振動動力學模型，并分析了系統存在兩自由度、三自由度時固有頻率的解析表達式；介紹了基于ADAMS的動力學分析流程，并創建實體模型分析了該天線座的固有頻率，所得結果與理論分析的結果吻合，驗證了解析解的正確性。這為伺服控制系統算法優劣的評估、參數的調整以及機電聯合仿真打下了一定的基礎。