變分迭代法求解模糊分數階Volterra積分微分方程*

陳 琴,陳豫眉

(西華師范大學,四川 南充 637009)

0 引言

分數階微積分的應用十分廣泛,電網絡、分形理論、醫學、生物學中的許多現象都可以用分數階微積分的數學模型來描述[1-3]。但對現實系統建立數學模型時常有諸多不確定因素,使得數學模型中的一些參數無法確定。為了克服這個困難,通過在現實系統中引入模糊理論,用于描述現實中非精確的模糊現象。關于模糊分數階積(微)分方程解的相關性質及其數值方法已有大量有效的研究成果。

Ahmad等[4]在Caputo意義下利用Schauder不動點定理研究模糊分數階Volterra-Fredholm積分微分方程解的存在性和唯一性,并利用修正的Adomian分解法求解了該方程的數值解。Allahviranloo等[5]基于廣義Hukuhara差分下的模糊Caputo導數研究模糊分數階Volterra-Fredholm積分微分方程,使用Banach不動點定理證明了該方程解的存在性和唯一性。Hamoud[6]利用變分迭代法和Adomian分解法研究模糊Volterra-Fredholm積分方程的數值解,后利用修正的變分迭代法和修正的Adomian分解法求解了分數階Volterra-Fredholm積分微分方程的數值解,并利用Schauder不動點定理證明了該方程解的存在性[7]。更多有關模糊積分微分方程解的相關性質及其數值解的研究可參見Ezzati、Hoa等人的文章[8-16]。

本文研究如下模糊分數階Volterra積分微分方程

cDαu(x,r)=f(x,r)+g(x)u(x,r)+

(1)

(2)

為源項函數,cDαu(x,r)是α階Caputo導數,0<α≤1。

基于Ahmad[4]和Hamoud[6-7]等的研究,本文將利用Schauder不動點定理和Banach不動點定理分別證明模糊分數階Volterra積分微分方程解的存在性和唯一性。變分迭代法[17-19]具有計算簡單、精度較高等優點,且該方法較少用于模糊分數階積分微分方程的數值求解。本文將利用變分迭代法求解方程(1)與方程(2)的數值解。

1 預備知識

定義1[21-22]設F(R)是R上的所有模糊集的集合,若u∈F(R)滿足下列條件:

(1)u是正規的模糊集,即存在x0∈R,使得u(x0)=1;

(2)u是凸的,即對任意x1,x2∈R,ξ∈(0,1),有u(ξx1+(1-ξ)x2)≥min{u(x1),u(x2)};

(3)u是上半連續函數;

(4)u的支集的閉包[u]0∶cl{x∈R|u(x)>0}是緊的。

則稱u是一個一維的模糊數。所有一維模糊數的全體稱為一維模糊數空間,記為E。

定義2[23-25]定義兩個模糊數w1,w2間的距離D為:

對任意的ε∈R,u,v,w,z∈E,距離D有如下性質:

(1)(E,D)是完備的度量空間;

(2)D(u,z)≤D(u,v)+D(v,z);

(3)D(u+w,v+w)=D(u,v);

(4)D(u+w,v+z)≤D(u,v)+D(w,z);

(5)D(εu,εv)=|ε|D(u,v);

定義3[25]模糊值函數f(t)的模糊Riemann-Liouville積分定義如下

其中,Γ是Gamma函數。

其中,m-1<α≤m,m∈N。

2 變分迭代法

1997年He[17-20]提出的變分迭代法是對一般Lagrange乘子法的改進,該方法可有效、簡便、準確的求解一類線性和非線性問題?？紤]如下分數階方程:

cDαu+Mu+Nu=f(x)

(3)

其中,cDαu是α階Caputo分數階導數,M為線性微分算子,N為非線性項,f(x)為源項函數。

He方法的基本特征是構造方程(3)的修正泛函,即

(4)

通過變分迭代法求解方程(3)的步驟為:對式(4)分部積分得到Lagrange乘子λ(s),然后利用λ(s)和初始值u0得u(x)的逐次逼近解un(x),n≥0,即有如下變分迭代式:

(5)

下面給出另一種方法求解方程(3)。在方程(3)兩端應用算子Jα得

u=R(x)-Jα[Mu]-Jα[Nu]

(6)

其中,函數R(x)是對源項函數f(x)積分和給定的初始條件所產生的項。

根據式(6)可得方程(3)近似解un(x),n≥0的變分迭代式

un+1(x)=R(x)-Jα[Mun(x)]-Jα[Nun(x)],n≥0

(7)

迭代式(5)與式(7)等價。本文將利用變分迭代式(7)求解模糊分數階Volterra積分微分方程。

3 理論分析

設CF[a,b]表示[a,b]上所有連續模糊值函數空間。為了便于后續證明,給出以下假設:

H1g(x),f(x,r):[0,1]→E是連續有界函數。

H2 存在常數L,使得對任意的v1(x,r),v2(x,r)∈CF[0,1]滿足下式:

D(B(v1(x,r)),B(v2(x,r)))≤LD(v1(x,r),v2(x,r))。

H3 對Y={(x,t)∈R×R:0≤t≤x≤1}上所有正連續函數的全體,存在數M,使得

3.1 存在性證明

定義算子T:CF[0,1]→CF[0,1]

(1)首先通過以下三個步驟證明T是全連續算子。

(8)

當n→∞時,由式(8)得

D(Tvn(x,r),Tv(x,r))→0

(9)

由式(9)可知T是連續算子。

(ii)T將有界集映射到CF[0,1]中的有界集。對任意的v(x,r)∈Bθ,有:

(10)

式(10)表明,對任意的v(x,r)∈Bθ,有Tv(x,r)∈Bγ。

(iii)T是等度連續算子。對任意的v(x,r)∈Bθ,x1≤x2,x1,x2∈[0,1]有:

D(Tv(x2,r),Tv(x1,r))

∶=P1+P2+P3

(11)

其中,

同理可得

當x1→x2時,將P1,P2,P3代入式(11)得

D(Tv(x2,r),Tv(x1,r))→0

因此得T是等度連續算子。結合上述(i)～(iii)結論和Arzela-Ascoli定理可知,T是全連續算子。

(2)需證明存在一個閉凸有界子集

由式(10)得

(12)

根據步驟(1)和步驟(2)的證明結果,由Schauder不動點定理知,至少存在v(x,r)∈CF[0,1],使Tv(x,r)=v(x,r)。存在性證明完成。

3.2 唯一性證明

證明 算子T與定理3.1定義的T相同,對任意的v(x,r),w(x,r)∈CF[0,1],x∈[0,1],有

D(Tv(x,r),Tw(x,r))≤

4 數值算例

例 考慮如下的模糊分數階Volterra積分微分方程:

(13)

其中,

方程(13)等價于求解下列方程組

(14)

和

(15)

(16)

由式(16),得

由式(7)得方程(16)的變分迭代式

…

5 結論

利用不動點定理證明了模糊分數階Volterra積分微分方程解的存在性和唯一性。 變分迭代法求解該類模糊分數階方程數值解,通過數值算例知變分迭代法對求解該類模糊分數階方程可通過較少迭代次數得到方程的解,也說明變分迭代法求解該方程的有效性。 在接下來的工作中,將研究模糊非線性分數階Volterra-Fredholm積分微分方程的穩定性,并利用修正的變分迭代法求解該類方程的數值解。