固定配平飛行器多約束再入制導方法研究

王楷,郭金雷,郝蓮英,施振興,劉益吉

(上海機電工程研究所,上海 201109)

具有機動能力的再入飛行器具有提升突防效能、提高命中精度的優勢,因而成為飛行器再入技術的重要研究方向。在各種再入機動飛行器設計中,最簡單經濟的方案之一就是采用一維滾動控制的固定配平飛行器[1]。

固定配平飛行器是利用飛行器外形不對稱或質心偏移產生不可控的配平攻角,通過滾轉單通道控制改變配平升力的方向,實現再入機動飛行。但這種單通道控制特性給制導帶來了很大困難,缺少合適的制導方法是制約這種不對稱再入體多約束條件下落點精確控制的主要瓶頸。

目前國內外針對這類飛行器含約束條件下實現精確打擊的制導律研究文獻較少,這種外形的應用也多集中在航天器返回等終端約束要求不高的情況。傳統的彈道-升力式返回航天器再入過程以縱向多約束制導為主,側向采用速度傾側角正負切換的方式控制橫程偏差,但這種方法在顧及飛行器姿控穩定性和可實現性條件下難以獲得較高的落點精度。美國MK500機動彈頭則采用程序飛行方式,以犧牲精度換取機動能力[2]。Gracey等[3]針對固定配平攻角飛行器的特點提出了滾轉制導律,有效實現了固定配平飛行器的精確制導并解決了多余升力消耗問題,但是難以在制導律中處理各項約束條件。文獻[4]在滾轉制導律基礎上通過引入具有一定運動規律的虛擬目標作為引導,實現了在不改變制導律形式情況下對落角的有效控制,但這與滿足再入過程的多約束條件還有一定距離。

針對固定配平攻角飛行器多約束條件下再入精確制導問題,本文提出將軌跡優化和滾轉制導律相結合,利用高斯偽譜法收斂速度快、精度高的特點實現標準軌跡的快速優化,滿足多約束條件,然后采用滾轉制導律+虛擬目標的方式實現對標準軌跡的跟蹤,解決精確制導問題。

1 固定配平飛行器再入制導問題

1.1 固定配平飛行器模型

固定配平飛行器具有以下特點:

1) 俯仰、偏航通道通過配置適當靜穩定度實現自穩定,不施加控制;

2) 穩定飛行條件下,飛行器攻角為固定配平攻角α=α*,側滑角為β=0;

3) 僅通過滾動控制改變γV實現機動飛行即可實現對彈道的控制。

假設地球模型為均勻球體,固定配平飛行器再入制導模型為

(1)

式中,各狀態變量為[V,θ,ψV,x,y,z]T,各元素依次為飛行器速度、彈道傾角、彈道偏角和飛行器在再入系下的位置坐標;控制量為速度傾側角γV;D,L分別為彈體所受阻力和升力;(gx,gy,gz)T為引力加速度在彈道系下的投影;(fx,fy,fz)T為地球自轉引起的慣性加速度和哥式加速度在彈道系的投影。

1.2 再入制導約束條件

作為對地打擊武器的再入機動飛行器,再入制導問題需要考慮以下幾類約束:

1) 過程約束

從結構安全和熱防護角度出發,再入飛行器通常對動壓和過載的上限提出要求,即

(2)

2) 終端約束

為了保證精度,應滿足嚴格的落點位置約束。以再入系中的坐標來描述,期望落點的位置可以根據目標射程推算。

x(tf)=xf,y(tf)=yf,z(tf)=zf

(3)

為了保證攻擊效果、提高突防能力,通常對終端落角和落速提出要求,終端時刻自由,即

V(tf)≥Vf,θ(tf)≤θf

(4)

式中,落角約束應以當地彈道傾角為準,為了簡便可以根據目標射程,針對地球曲率造成的傾角偏差值對落角約束指標進行修正。

3) 初始狀態約束

初始狀態固定為指定的再入條件

(5)

1.3 固定配平飛行器再入制導面臨的困難

1) 制導指令的實現

經典的制導設計方法通常將三維制導問題分解為縱、側向2個平面的二維制導問題,分別設計制導律,進而會得到縱向和側向2個方向的過載指令。采用STT或BTT控制的飛行器可以分別按直角坐標和極坐標方式實現2個方向的過載指令。然而固定配平攻角飛行器由于升力大小不可控,只能控制升力方向,無法同時滿足上述2個維度制導指令。

2) 過剩升力的消耗

由于飛行器配平攻角不可控,無法實現零升力彈道,在升力過剩時需要有適當的制導律來消耗多余的升力[5]。

3) 再入過程的多約束條件

再入過程需要滿足的終端約束、過程約束和控制約束條件是再入制導的典型問題,進一步增大了固定配平飛行器制導律的設計難度。

因此實現固定配平飛行器多約束條件下精確打擊,就要求制導律同時解決上述3個問題。本文認為,多約束問題可以通過軌跡優化有效解決,而前2個問題則在軌跡跟蹤時予以解決。

2 基于高斯偽譜法的標準軌跡優化

2.1 再入制導問題

取狀態變量x(t)=[V,θ,ψV,x,y,z]T,控制變量為u(t)=γV。為了提高突防效果,選取落速最大為性能指標

minJ=-V(tf)

(6)

為了使高斯偽譜法解算方便,可對動力學方程進行無量綱化處理。

固定配平飛行器再入軌跡優化[6]可歸納為:滿足微分方程約束(1)和1.2節所述各終端約束、過程約束的Mayer型最優控制問題

(7)

2.2 高斯偽譜法求解

高斯偽譜法是將狀態變量和控制變量在一系列LG點上離散,并以離散點為節點構造Lagrange插值多項式來逼近狀態變量和控制變量,從而將連續的最優控制問題轉化為具有一系列代數約束的有限維非線性規劃(NLP)問題。

按照高斯偽譜法求解的常規步驟[7],最優控制問題(7)可離散為在N個LG點τk(k=1,2,…,N)和1個初始點τ0=-1共N+1個離散節點上,尋求狀態變量X(τk)、控制量U(τk)和終端時刻tf,使性能指標(8)最小,并滿足動力學方程約束(9)、邊界條件約束(10)和過程約束(11)的非線性優化問題。

式中,D∈RN×(N+1)為微分近似矩陣。

本文采用成熟的序列二次規劃(SQP)方法求解標準軌跡優化的NLP問題。

3 標準軌跡的跟蹤

3.1 固定配平飛行器的標準軌跡跟蹤問題

對于固定配平飛行器,經典的標準軌跡跟蹤方法以和約束指標直接相關的縱向制導為主,例如采用如(12)式所示的跟蹤制導律

(12)

這種制導律傾側角指令是開關式的不連續信號,在接近目標時傾側角正負切換的頻率變高。這種快速的滾動與頻繁的方向切換不僅對飛行穩定性不利,也對控制系統提出了過高的要求。在滾轉速度受限情況下會造成較大的落點偏差。因此這種方法僅適用于精度要求不高的場合。

為了實現對標準軌跡的有效跟蹤,并獲得較高的制導精度,本文采用針對固定配平飛行器設計的滾轉制導方法,通過設置虛擬目標實現對標準軌跡的跟蹤。

3.2 滾轉制導律

如圖1所示,O為飛行器質點,T為目標質點,Oxyz為彈道坐標系。定義飛行器速度矢量V和彈目視線構成的平面為誤差平面,同時定義速度矢量與彈目視線的夾角為誤差角η(0°≤η≤180°)。為方便描述,定義誤差系Ox′y′z′,其中Ox′與速度矢量重合,Oy′軸在誤差平面內,指向彈目視線一側。記誤差平面和彈道坐標系Oxy平面的夾角為ξ,順著Ox方向看,Oy順時針轉動到Oy′時為正;飛行器配平升力L與彈道坐標系Oxy平面的夾角即為傾側角γV。根據定義,ξ和γV均在Oyz平面內。

圖1 滾轉制導示意圖

進而可得到三自由度相對運動方程組如(13)式所示,其中前2個方程描述了誤差平面內的相對運動關系,第三個方程描述了誤差平面的旋轉。

(13)

式中

(14)

滾轉制導律的思想是使誤差平面內的彈目距離r和誤差角η收斂到0,而誤差平面的旋轉角度ξ不影響r和η的收斂,因此可以不施加控制。

在誤差平面內建立滾轉制導律的制導方程為

(15)

式中,K為制導系數,取值應滿足K>1。有關證明可參考文獻[5]。進而可得到滾轉制導律的制導指令表達式為

(16)

式中

(17)

3.3 基于虛擬目標的標準軌跡跟蹤

令虛擬目標沿優化得到的標準軌跡運動,飛行器按照滾轉制導律對其進行跟蹤。虛擬目標取為標準軌跡上飛行器前方縱程相距ΔS處,即任意時刻可根據飛行器當前縱程S和ΔS在標準軌跡上插值得到其位置坐標。

當虛擬目標與真實目標(標準軌跡落點)重合后不再繼續運動,之后再入飛行末段退化為簡單的打擊固定目標的滾轉制導。

3.4 制導方法穩定性

在不考慮目標運動時,可以證明[5],在等式(15)的約束下(對應飛行器升力L對誤差角η的控制能力不小于自由運動對誤差角的影響),當K>1時,可有效控制誤差角η趨于0。

當飛行器接近虛擬目標時,彈目視線距離r較小,(15)式不成立,此時飛行器因機動能力不足導致制導律不收斂,并最終產生制導方法誤差。為了減小該影響,保證較高制導精度,應在虛擬目標設置時,避免ΔS過小觸發上述條件;另一方面在末段虛擬目標與標準軌跡落點重合后,可通過設計合理的制導系數與飛行速度,減小進入不收斂的時間。

考慮虛擬目標速度情況下,制導律穩定性分析可參考文獻[4],經證明有上文類似結論,即在飛行器機動能力足夠抵消誤差影響時,誤差角可收斂至0,并實現飛行器與虛擬目標呈尾追狀態。

本文采用滾轉制導律跟蹤虛擬目標時,假設虛擬目標每一時刻都是靜止的,因此制導律中未顯式包含虛擬目標的速度項,這使得在標準軌跡上插值確定虛擬目標位置時,避免了獲取其速度的額外處理,該方法在不影響制導律穩定性基礎上,有利于工程實現[8]。當虛擬目標與標準軌跡落點重合后問題完全轉化為滾轉制導律穩定性問題。

4 仿真驗證與調參分析

以下通過三自由度仿真對本文提出的制導方法進行仿真驗證。

假設飛行器姿態保持配平攻角α=5°,配平側滑角β=0°。初始條件和約束指標見表1。

表1 初始條件和約束指標

4.1 標準軌跡優化

取節點個數N=25進行高斯偽譜法軌跡優化,優化結果如圖2所示。

圖2 標準軌跡彈道曲線

1) 優化所得的標準軌跡主要指標為落速1 154 m/s,落角-72.7°,軸向最大過載30.6g,法向最大過載33.4g,最大動壓2.15 MPa,均能滿足約束條件。

2) 飛行器通過平緩變化的傾側角指令實現了縱向平面彈道在約30 km高度處的拉起減速及低空段的高拋彈道,滿足了過程約束和終端約束要求,傾側角指令變化速度不超過15°/s。

3) 傾側角曲線顯示優化后的標準軌跡仍是通過正反2個方向的滾轉實現多余升力的消耗,但優化后的滾轉指令遠比傳統方法更容易跟蹤實現。

4.2 軌跡跟蹤

采用“虛擬目標+滾轉制導律”的方法對以上優化所得的標準軌跡進行跟蹤。取滾轉制導律制導系數為K=1.4,虛擬目標位于飛行器前方縱程相距ΔS=49 km的標準軌跡上。部分仿真結果如圖3所示。

圖3 三維彈道曲線

根據仿真結果可得以下結論:

1) 使用滾轉制導律可以比較有效地實現對標稱軌跡的跟蹤,在滾轉限速條件下,實際彈道主要指標為落速1 236.5 m/s,落角-59.6°,軸向最大過載31.5g,法向最大過載33.3g,最大動壓2.18 MPa,各指標參數與標稱軌跡接近。實際彈道落點偏差為29 m,這對于機動能力有限的固定配平攻角再入飛行器來說是合理的。

2) 使用滾轉制導律雖然可以使各指標參數與標準軌跡接近,但仍存在一定偏差,難以實現實際彈道對標稱軌跡的精確跟蹤。這是因為固定配平攻角飛行器升力機動控制能力有限,采用的滾轉制導律具有如下特點:在機動能力不足時產生跟蹤誤差,在機動能力過剩時以螺旋接近方式消耗多余升力。再入過程中滾轉制導律的上述制導效果將體現在實際彈道中,進而必然和標準軌跡產生差異。尤其是在飛行末段,虛擬目標和實際目標重合后,跟蹤標準軌跡問題已退化為打擊固定目標的滾轉制導,彈道明顯體現出滾轉制導律的特點,與標準軌跡無關。此時飛行器已經過動壓和過載峰值點,因此這種退化一般不影響過程約束的滿足情況,但彈道傾角會由于螺旋接近方式出現小幅振蕩(見圖4)。

圖4 當地彈道傾角變化曲線

3) 考慮到滾轉制導律對標準軌跡的上述跟蹤誤差,以及參數拉偏條件下的制導偏差,軌跡優化時設置的約束指標應該比給定的約束條件更加嚴格,以預留足夠的裕度。

在軌跡跟蹤時,虛擬目標位置ΔS、制導系數K和滾轉角速度限幅大小均會對落點精度和約束指標產生顯著影響,大量仿真顯示,制導參數影響有以下規律:

1) 在正常跟蹤情況下,過載、動壓約束基本與標準軌跡一致,制導參數變化影響較小(1%以內)。

2) 虛擬目標位置ΔS的設置是實現軌跡跟蹤最關鍵的參數,對落點偏差和落速(落角)都有顯著影響。不同ΔS條件下仿真結果統計如表2。

表2 ΔS取值對主要指標的影響

可見,在一定范圍內,ΔS取值越大,落點精度提高,同時落速減小,反之亦然。超出該范圍后,繼續增大ΔS并不能繼續提高精度,而落速仍會快速降低,這是由滾轉速度受限情況下滾轉制導律自身的方法誤差造成的。同樣,ΔS取值過小并不能繼續提高落速,而精度則會快速下降,這是由過程約束和標準軌跡限制造成的。因此應綜合考慮精度和落速的要求選擇適當的ΔS值。

3) 制導系數K的影響與滾轉制導律影響規律一致。即隨著K增大,最大滾轉角速度增大,落點精度在一定范圍內有所提高,受限于滾轉制導律方法誤差,繼續增大K落點精度不會繼續提高。因此K的取值可根據滾轉制導律本身的要求進行設計。

4) ΔS的最優取值與制導系數K大小有關。仿真顯示,在精度、落速、落角指標接近情況下,若K=1.4,ΔS=49 km,而K=1.6時ΔS應取35 km,K=1.8時ΔS應取19 km。因此制導律設計時應首先針對滾轉制導律確定適當的K值,在此基礎上優化調整ΔS。

5) 與滾轉制導律影響規律一致,滾轉角速度增大有助于提高落點精度。但滾轉速度過快會使姿態運動的穩定性變差,并且滾轉控制系統難以實現,因此應根據飛行器姿控能力對滾轉速度進行適當限幅。

6) ΔS的取值也可以根據需要設計成時變參數,在不同的飛行階段,或者不同飛行狀態下,利用ΔS的變化,兼顧落速、精度等不同指標的要求。

5 結 論

本文采用“高斯偽譜法軌跡優化+滾轉制導律跟蹤標準軌跡”的方法,解決了固定配平攻角飛行器多約束條件下再入精確制導問題。仿真結果顯示,該方法可有效解決再入過程的各項終端約束、過程約束問題,并獲得滿意的落點精度。同時該方法除了依靠軌跡優化滿足約束條件外,采用滾轉制導律跟蹤標準軌跡時,虛擬目標的設置也會對最終的精度和落速產生影響。根據仿真分析總結,該制導方法在設計和參數設置時,有以下規律:

1) 因固定配平攻角飛行器升力機動控制能力有限,實際跟蹤彈道會與軌跡優化所得標準軌跡存在跟蹤偏差,采用高斯偽譜法進行軌跡優化時,設置的約束指標應該比給定的約束條件更加嚴格,以預留足夠的裕度。

2) 制導律設計時應首先確定適當的制導系數K值,K的影響與滾轉制導律影響規律一致,可根據滾轉制導律本身的要求進行設計。在滿足滾轉制導律穩定性前提下,K增大,落點精度在一定范圍內有所提高,但繼續增大K落點精度不會繼續提高,同時考慮到工程實際中最大滾轉角速度的限制,K的取值不宜過大,必要時根據飛行器姿控能力對滾轉速度進行適當限幅。

3)K值確定后,可在此基礎上確定虛擬目標位置ΔS。在一定范圍內,ΔS取值越大,落點精度提高,同時落速減小,反之亦然。超出該范圍后,繼續增大ΔS并不能繼續提高精度,而落速仍會快速降低。同樣,ΔS取值過小并不能繼續提高落速,而精度則會快速下降。因此需根據實際情況,綜合考慮精度和落速的要求,通過仿真等手段對ΔS取值進行參數優選。更精細的設計中,可將ΔS取為時變參數,在不同的飛行階段利用ΔS的變化,更好地兼顧各項約束指標。

4) ΔS的最優取值與制導系數K大小有關,若K有調整,虛擬目標位置ΔS也應相應優化。K越大,在實現相近的指標時,ΔS應設置得越小。