基于概率猶豫模糊綜合距離測度的決策方法研究

劉贏,關欣,吳斌

(1.海軍航空大學,山東 煙臺 264000; 2.國防大學 聯合作戰學院,北京 100192)

決策是一個基于決策者認知、偏好從多個方案中確定最終方案的過程。隨著問題研究的不斷深入,決策中的不確定性因素越來越多,面向精確數據的數學模型漸漸無法滿足決策的需求,基于這種背景,針對不確定性數據的決策問題研究成為現代決策理論發展的重要內容。

Zadeh[1]于1965年首次提出模糊集的概念,通過模糊數表征專家的評估值,解決了決策信息的模糊表達問題。隨后,Torra[2]又提出猶豫模糊集的概念,它允許隸屬度可以是多個不同的值,但猶豫模糊集將每一個隸屬度的概率看作是相同的,無法將專家的偏好信息表達出來。

為了彌補上述缺陷,朱斌[3]將概率信息應用到猶豫模糊集中,提出了概率猶豫模糊集(probability hesitant fuzzy set,PHFS)的概念。隨后,Zhang等[4]又通過減弱概率信息需要滿足的條件,改進了PHFS的定義。得益于對概率信息的有效應用,以及完善的數學表現形式,PHFS得到了學者的廣泛關注,也在集成算子、偏好關系理論以及決策方法等方面取得了一系列成果。其中,在集成算子的研究中,具有代表性的有歸一化集成算子[4]、基于Einstein運算的集成算子[5]以及優先權集成算子[6]等。此外,概率猶豫模糊偏好關系也有著較大的應用前景,Zhou等[7]提出了預期一致性指標用于評估概率猶豫模糊偏好關系的一致性程度;Li等[8]先后基于概率猶豫模糊偏好關系的加性一致性和Hausdorff距離,提出了建立群體內部共識的算法,并且在可乘傳遞性的基礎上提出了概率猶豫積性偏好關系[9]。He等[10]將參考理想方法與PHFS相結合,提出了3種決策方法來解決多屬性決策問題。此外,相關學者在概率猶豫模糊聚類方法[11]、區間概率猶豫模糊集[12]以及概率對偶猶豫模糊集[13]等領域也做了相關研究,為概率猶豫模糊決策理論做了重要補充。

在PHFS的研究中,距離測度是研究人員十分感興趣的一個領域,但是這方面的研究并不多。其中,Gao等[14]研究了概率猶豫模糊環境下的應急決策問題,首次定義了概率猶豫模糊數(probability hesitant fuzzy element,PHFE)的漢明距離;Su等[15]研究了基于距離的PHFS熵測度,并提出了傳統的漢明距離與歐式距離;方冰等[16]又在此基礎上提出了改進的新型距離測度,并對其有效性和合理性進行了數學證明。

事實上,現有PHFS的距離測度大多是在猶豫模糊集基礎上做簡單推廣,并沒有深入研究其內部規律?，F有距離測度的問題主要體現在3個方面:一是元素個數不同時,需要通過一定的規則進行延拓補值,這也導致了誤差的引入;二是PHFE的元素多是按照數值大小順序重排;三是距離測度計算時,對隸屬度和概率兩者的考慮較為簡單,僅是對其進行某種組合以建立兩者之間的聯系。事實上,概率猶豫模糊距離測度的定義要更為復雜,需要考慮的因素更多。

為了解決現有概率猶豫模糊距離測度的不足,本文定義了聚集性、離散性、模糊性和一致性4種特征,并基于這4種特征提出一種新的綜合特征距離測度,很好地克服了傳統距離測度的順序重排和隸屬度個數要求等限制條件。

本文首先介紹了PHFS的基本概念,通過分析現有概率猶豫模糊比較法則的不足,給出一種更為完善的比較法則,之后分析了當前的概率猶豫模糊距離測度的缺陷,并提出了新的綜合距離測度,然后給出了熵權法的屬性權重確定方法以及基于TODIM的多屬性決策方法,最后通過仿真實例分析,驗證了本文方法的合理性和有效性。

1 概率猶豫模糊集

本節簡要介紹PHFS的基本概念。

定義1[17]給定任意非空集合X,PHFSH定義為集合X到區間[0,1]上的一個概率分布函數映射,其數學表達式為

H={〈x,hx(Px)〉|x∈X}

(1)

式中:h(x)表示x屬于某集合E的隸屬度集合,取值為[0,1]上的子集;Px為h(x)中元素對應的概率解釋,同樣為[0,1]上的子集。hx(Px)為PHFE,簡寫為h(P),其數學表達式為

h(P)={γλ|Pλ,λ=1,2,…,|h(P)|}

(2)

2 概率猶豫模糊比較法則

本節主要分析現有概率猶豫模糊比較法則的不足,并給出一種更為完善的比較法則。

2.1 傳統概率猶豫模糊比較法則

定義2給定任意PHFEh(P)={γλ|Pλ,λ=1,2,…,|h(P)|},其得分函數[18]定義為

(3)

在得分函數基礎上,離散函數[18]定義為

(4)

則對于任意2個PHFEsh1和h2,傳統比較法則描述如下:

1) 如果E(h1)>E(h2),則h1>h2;

2) 如果E(h1)=E(h2),則進一步比較離散函數:

如果D(h1)>D(h2),則h1

如果D(h1)=D(h2),則h1=h2。

然而上述概率猶豫模糊比較法則存在一定的局限,當兩PHFE的得分函數與離散函數都相等時,便無法對其進行比較,通過例1進行說明。

例1考慮最簡單的情況,給定兩PHFE

計算其得分函數和離散函數分別為

此時,根據上述比較法則進行比較,會得到h1=h2的結論,顯然不合理。

上述分析表明,僅根據得分函數和離散函數并不能很好地解決PHFE的比較問題,因此需要對現有的比較法則進行改進。

2.2 改進概率猶豫模糊比較法則

實際上,PHFE中隸屬度本身包含認知信息,當隸屬度為0.5時,認為其模糊和不確定性最大,此時,決策者對方案最不確定;當隸屬度特別小或特別大時,決策者對方案的判決都很確定。因此可以根據隸屬度與0.5的接近程度來定義隸屬度的模糊度,將其納入新的比較法則。

定義3給定任意PHFEh(P)={γλ|Pλ,λ=1,2,…,|h(P)|},則隸屬度γλ的模糊度定義為

f(γλ)=1-2|γλ-0.5|

(5)

于是可以得到h(P)中全部隸屬度的模糊度,實際上便得到了一個新的PHFEh(f)

h(f)={f(γλ)|Pλ,λ=1,2,…,|h(P)|}

(6)

容易得到,PHFEh(f)中的隸屬度為h(P)中對應隸屬度的模糊度。分別定義h(f)的得分函數和離散函數

根據模糊度定義可知,h(P)中γλ的模糊度越大,則γλ描述的信息越不確定,此時對應的PHFE應該越小,這與客觀認知相符。因此可以在得分函數、離散函數的基礎上,附加模糊度的概念,定義新的比較法則,給定任意2個PHFEsh1和h2,其模糊度對應的PHFEs為h(f1)和h(f2),則新的比較法則描述為:

1) 如果E(h1)>E(h2),則h1>h2;

2) 如果E(h1)=E(h2),則進一步比較離散函數:

如果D(h1)>D(h2),則h1

如果D(h1)=D(h2),進一步比較模糊度的得分函數;

3) 如果E(f1)>E(f2),則h1

如果E(f1)=E(f2),進一步比較模糊度的離散函數:

4) 如果D(f1)>D(f2),則h1>h2;

如果D(f1)=D(f2),則h1=h2。

3 概率猶豫模糊距離測度

3.1 傳統概率猶豫模糊距離測度

定義4記PHFEh1,h2,d(h1,h2)為h1,h2之間的距離測度,需要滿足以下公理性條件[14]:

1) 非負性:d(h1,h2)≥0;

2) 交換性:d(h1,h2)=d(h2,h1);

3) 反身性:d(h1,h2)=0?h1=h2。

同時,根據文獻[14-15]可知,PHFE間距離計算的前提是元素個數相等,當不滿足這一前提時,需要通過一定手段對元素個數較少的PHFE進行擴充,如根據某種風險規則重復添加隸屬度最大或者隸屬度最小的元素,并令其概率為0,這也是大部分文獻采用的方法[16]。

(9)

傳統歐式(Euclidean)距離定義為

(10)

定義6文獻[16]在上述距離測度的基礎上進行改進,定義了一種改進的漢明距離

d3(h1,h2)=

(11)

相應的,改進的歐式距離定義為

d4(h1,h2)=

(12)

但以上2種改進的距離測度都存在相同缺陷,即要求PHFE的元素個數必須相等,否則無法適用,若不滿足,便需要通過一定方法進行元素的延拓補全,這也導致了人為誤差的引入。因此,需要對現有的概率猶豫模糊距離測度做出改進。

3.2 新型概率猶豫模糊距離測度

通過分析可知,現有概率猶豫模糊距離測度的限制主要為2個方面:①參與距離計算的PHFEs的元素個數必須相等;② PHFE中的元素需按照隸屬度大小重新排列,隸屬度相同的情況下,按照概率值大小排列。這2個條件,不僅人為引入了誤差,也限制了距離測度的應用范圍和場景。因此,本節通過定義新的概率猶豫模糊距離,消除上述限制條件,從而達到擴展距離測度應用范圍的目的。

3.2.1 基于距離矩陣的PHFE距離測度

本節通過引入距離矩陣構造新的距離測度,其中,距離矩陣中的元素由PHFE間的隸屬度距離對構成。

定義7記h1,h2為任意兩PHFE,兩者元素個數分別為|h1|,|h2|,則h1和h2之間的距離矩陣定義為

Dh1,h2=

(13)

(14)

則基于距離矩陣的距離測度可通過矩陣中元素的均值定義,具體表達式為

(15)

分析(15)式可知,參與距離計算的PHFEs的元素個數|h1|,|h2|不需要相等,元素順序也不需要降序排列。因此,距離矩陣的引入很好地解決了現有距離測度的制約條件,完全保留了PHFE的原始信息,避免了人為誤差的引入。

然而,對新的距離測度需滿足的三要素進行證明后發現,本節基于距離矩陣的距離測度不滿足反身性條件,通過例2進行說明。

例2分別采用文獻[15]中的距離測度d1,d2,文獻[16]中的距離測度d3,d4,以及本節基于距離矩陣的距離測度d5,對若干個典型PHFE的距離進行計算,不同測度的計算結果如表1所示。

表1 不同距離測度計算結果

表中:

h1={0.8|0.7,0.2|0.3},h2={0.7|0.8,0.3|0.2},

h3={0.3|0.2,0.7|0.8},h4={0.8|0.6,0.2|0.4},

h5={0.8|0.5,0.2|0.5},h6={0.8|0.6,0.3|0.2,

0.2|0.2}。

分析表1,可以得出以下結論:

1)d1～d4均無法度量h1與h6間的距離,且根據d5(h1,h6)=0.117,表明本節基于距離矩陣的距離測度d5解決了PHFE間元素個數不同條件下的距離計算問題;

2) 根據d5(h1,h2)=d5(h1,h3),表明新的距離測度下元素是否進行順序重排對計算結果沒有影響;

3)d5(h1,h2)=0這一反例表明距離測度d5不滿足上述證明過程中的反身性,因此仍然存在一定的不足。

經過上述分析,本節基于距離矩陣的距離測度雖然較好地解決了現有距離測度的限制,但仍存在一定缺陷。同時現有距離測度在一定程度上均屬于均值距離,衡量的是PHFE的部分特征,因此,為了完善本節的距離測度,還需要綜合考慮其他特征參數。

3.2.2 PHFE綜合特征距離

根據上節可知,基于距離矩陣的距離測度僅僅衡量了PHFE的部分特征,為了進一步完善距離測度,本節定義了4種PHFE特征:聚集性、離散性、模糊性和一致性,并基于以上4種特征定義新的PHFE距離測度。其中,聚集性通過基于距離矩陣的距離測度表征,離散性通過離散函數表征,模糊性通過模糊度表征,一致性與元素數量有關。

在僅考慮PHFE元素個數的前提下,元素個數越少,表明專家進行判斷時,觀點越一致,即不確定性越小。當元素個數為1時,一致程度最大;隨著個數增加,一致性程度逐漸降低。

因此,將PHFEh的一致性定義為

(16)

式中,|h|表示PHFEh中的元素數量。

根據4種PHFE特征分別給出4種概率猶豫模糊特征距離的定義。

1) 聚集距離

(17)

2) 離散距離

(18)

3) 模糊距離

df(h1,h2)=|E(f1)-E(f2)|=

(19)

4) 一致距離

(20)

基于以上4種特征距離,定義新的PHFE廣義綜合特征距離為

(21)

式中,αg,αd,αf,αc為4種特征的權重,滿足αg+αd+αf+αc=1。

廣義綜合特征距離可以理解為一種廣義閔式距離,當p=1或2時,分別轉化為廣義曼哈頓距離和廣義歐式距離。

可以發現,本節基于特征參數的綜合距離克服了此前概率猶豫模糊距離中元素個數相等和降序重排的限制,并且只有當全部特征距離都等于0時,才可以得到兩者相等的結論,可以看作一種全距離。

3.2.3 PHFS綜合特征距離

在PHFE綜合特征距離的基礎上,本節基于廣義加權平均(GWA)算子給出PHFS綜合特征距離的計算方法。

(22)

式中,d(hA(Pxk),hB(Pxk))根據PHFE綜合特征距離計算,dGWA(A,B)根據λ取值的不同有多種形式:

若λ=1,得到加權平均(WA-based)距離

(23)

若λ=2,得到加權平方平均(WQA-based)距離

(24)

若λ=-1,得到加權調和平均(WHA-based)距離

(25)

基于以上,便實現了PHFS綜合特征距離的構造,其基本流程如圖1所示。

圖1 概率猶豫模糊綜合特征距離構造流程

4 熵權法確定屬性權重

屬性權重是決策的重要內容,熵可以度量信息的不確定性,屬性的熵值越小,表明該屬性提供的信息量越大,在評價中所起的作用也越大,相應的權重也越大。因此,本文通過熵權法[19]來計算屬性的客觀權重,具體描述如下:

(26)

(27)

5 基于TODIM的識別決策方法

由于本文主要對PHFS的距離測度進行研究分析,并未對多屬性決策方法進行深入研究,因此,僅在傳統TODIM方法[20-21]的基礎上,基于本文所提出的綜合特征距離,提出一種概率猶豫模糊環境下的多屬性決策模型,具體步驟描述如下。

已知決策矩陣H=[hi(Cj)]m×n,相關描述同第4節中一致。

若Cj為效益型,則

(28)

若Cj為成本型,則

(29)

式中:ρ為損失衰退參數,用于模擬決策者心理,ρ≥1,其取值是前景理論的體現,PHFE的比較和距離計算分別采用本文新的比較法則和PHFE綜合特征距離。

步驟2根據熵權法計算屬性客觀權重ω。

步驟3集成各屬性下的比較矩陣得到綜合比較矩陣Φ=[Φik]m×m,Φik的數學表達式為

(30)

式中,μ為集成參數,一般取值為1,得到加權平均(WA-based)比較矩陣。

步驟4計算各方案的全局比較值ηi。

(31)

步驟5根據全局比較值對各方案進行排序,即全局比較值最大的方案為最優方案。

6 實例分析

6.1 實例

為了便于對比分析,采用文獻[22]中的實例對本文方法進行驗證。

現有3位專家di(i=1,2,3)對5種汽車品牌(別克(x1)、豐田(x2)、福特(x3)、奧迪(x4)和特斯拉(x5))的安全性進行評估,專家權重為(0.4,0.4,0.2),通過制動系統a1、防抱死系統a2、穩定系統a3、輔助約束系統a4和車身材料a5進行評估,5種屬性均為效益型,評估值通過PHFE表示。

參數設置:聚集性、離散性、模糊性和一致性的權重分別為(0.4,0.2,0.2,0.2);綜合特征距離的特征集成參數λ=1,即采用加權平均距離;綜合比較矩陣中的集成參數μ=1,即采用加權平均比較矩陣;衰退損失參數ρ=1。3位專家的評估結果分別見表2～4。

表2 專家d1的評估結果

表3 專家d2的評估結果

表4 專家d3的評估結果

步驟1根據文獻[23]的集成方法計算PHFS中各隸屬度的總概率值,得到綜合評估信息如表5所示。

表5 綜合評估結果

步驟2計算屬性權重。

根據(3)式計算表5對應得分函數矩陣見表6。

表6 得分函數矩陣

根據(26)式計算各屬性的熵值

e=(0.997 5,0.998 6,0.996 7,0.998 5,0.999 4)

根據(27)式計算各屬性的權重

ω=(0.268,0.152,0.351,0.162,0.067)

步驟3計算綜合比較矩陣。

以屬性a1下x1,x2的評估信息為例進行說明

則根據新的比較法則

E(h1(C1))=0.658,E(h2(C1))=0.546

分別計算得到dg=0.017 5,dd=0.005 5,df=0.144,dc=0.083 3。

則有

重復上述過程,分別計算得到各屬性下的比較矩陣為

根據(30)式計算得到綜合比較矩陣為

步驟4計算各品牌汽車的全局比較值ηi。

η1=0.172,η2=0,η3=0.278,η4=1,η5=0.572

步驟5根據全局比較值進行排序,得到

x4>x5>x3>x1>x2

因此,判定x4為安全性最好的汽車品牌,判定結果與文獻[22]中保持一致,證明了本文算法的有效性。

6.2 參數敏感性分析

本節分別對綜合特征距離的特征參數權重、衰退損失參數以及距離集成參數進行敏感性分析。

6.2.1 特征參數權重敏感性

為驗證本文綜合距離測度的有效性和全面性,對距離測度的特征參數權重進行敏感性分析,分別依次設置4種特征參數權重為0.7,其余特征權重均為0.1,對全局比較值進行求解,得到的對比結果如圖2所示。

圖2 不同特征參數權重下綜合距離評估結果

由圖2可知,不同權重下的排序結果均為x4?x5?x3?x2?x1,這表明本文綜合距離測度具有一定的穩定性,但對特征參數的側重不同,得到的結果也存在差別。如當一致距離的權重為0.7時,x3的全局比較值與其他3種權重下的全局比較值差距較大,這是由于一致距離僅考慮評估信息中的元素個數這一參數,沒有涉及具體的數值大小,因此在實際應用中應當僅作為輔助決策的工具,而不是主要評估依據;當模糊距離的權重為0.7時,x1與x3的全局比較值差距極小,幾乎難以區分,且與聚集距離權重為0.7時計算得到的全局比較值差距更大。

上述分析可知,本文綜合特征距離具備一定的穩定性,且對特征參數具有一定的敏感性,在實際應用中應合理分配權重,一般地,將聚集距離和離散距離作為主要評估依據,模糊距離和一致距離作為重要指標進行輔助決策。

6.2.2 衰退損失參數敏感性

衰退損失參數ρ是前景理論的體現,相比傳統決策方法,能夠充分考慮決策者規避損失的主管心理,能夠產生更有說服力的結果。因此,有必要研究各汽車品牌在不同的衰退損失參數下的排序情況。由于本文采用熵權法計算屬性權重,沒有考慮主觀因素,為使結論更讓人信服,本節參考了文獻[4]的屬性權重結果,分別在2種屬性權重下,對衰退損失參數的敏感性進行分析,圖3～4分別為不同屬性權重下的全局比較值隨ρ的變化情況。

圖3 全局比較值隨衰退損失參數的變化圖

圖4 全局比較值隨衰退損失參數的變化圖

1)ω=(0.268,0.152,0.351,0.162,0.067)

2)ω=(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2)

分析圖3～4可知,不同屬性權重的情況下,隨著ρ逐漸增大,排序結果未發生變化,但呈現出隨著全局比較值逐漸增大,其他品牌與最優品牌間的差距逐漸減小的趨勢。其中,情景2)的排序結果為x4?x5?x1?x3?x2,與情景1)排序結果不同,這是由于不同的屬性權重影響了x1與x3最終的排序結果,同時x1與x3的全局比較值差距不斷逼近0。通過上述分析,表明本文多屬性決策方法及距離測度對衰退損失參數的敏感性較低。

6.2.3 距離集成參數敏感性

為研究特征距離集成參數λ的敏感性,保持其他參數設置與6.1節中一致,分別令λ為-1,0,1,2,構成加權調和平均距離、加權幾何平均距離、加權平均距離和加權平方平均距離,則圖5為不同集成參數下全局比較值的變化情況。

圖5 全局比較值隨特征距離集成參數的變化圖

由圖5可知,當集成參數為0,1,2時,排序結果均為x4?x5?x3?x1?x2;但當集成參數為-1時,x2的全局比較值明顯增大并超過x1,且與x3的全局比較差值很小,此時的排序結果變為x4?x5?x3?x2?x1。

上述分析表明,本文的決策方法對特征距離集成參數較為敏感,在解決問題時需要根據實際情況選擇合適的特征距離集成參數,否則可能會得到不同的判決結果。

6.3 比較分析

6.3.1 與現有距離測度對比分析

為了驗證本文改進距離測度的優越性,采用6.1節中的實例,分別采用現有距離測度,即文獻[15]中的d1,d2,文獻[16]中的d3,d4進行仿真實驗,對其排序結果進行對比分析,仿真結果如圖6所示。

圖6 不同距離測度下的全局比較值

分析上圖可知,5種測度的排序結果一致,均為x4?x5?x3?x1?x2,但分析各品牌的全局比較值可以發現,除x2與x4的全局比較值相同外,d1～d4的計算結果與本文距離測度結果有明顯差別。如本文測度下x5的全局比較值為0.572,而d1～d4的計算結果則更為接近,聚集在0.85附近,x1與x3也有類似的情況。

分析原因可知,d1～d4在距離計算時,當PHFE元素個數不等時,采用風險規則進行擴充,改變了數據的原始信息,從而引入了人為誤差,而本文改進距離測度通過定義不同的特征距離,很好地解決了這一問題,使得最終的計算結果與現有測度有明顯不同,體現了本文改進測度的優越性。

6.3.2 與其他方法對比分析

為了說明本文方法的有效性,分別與文獻[4]和文獻[22]進行對比。其中,文獻[4]運用概率猶豫模糊加權平均算子(PHFWA),同時利用PHFE得分函數進行比較分析,屬性權重為(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2);文獻[22]分別采用3種不同的對稱交叉熵和總猶豫度進行決策分析,采用基于離差最大化和廣義對稱交叉熵的模型求解屬性權重。將上述方法與本文算法的計算結果進行比較,如表7所示。由表7可知,本文方法與其他文獻的排序結果雖然存在部分差異,但對x4和x5的決策結果一致,即都將x4判為安全性最高的品牌。而在最差汽車品牌的選擇上,文獻[22]中的3種方法均把x3判定為最差選擇,而本文的決策方法判定x2為最差汽車品牌,這是由于文獻[22]的符號距離主要是通過衡量PHFE的信息不確定度進行計算,相比本文的綜合距離測度,并沒有綜合考慮元素中蘊含的其他信息,對PHFE信息的表征不夠準確。

表7 不同方法結果比較

需要說明的是,文獻[22]采用基于離差最大化和廣義對稱交叉熵的模型求解屬性權重時,與本文的屬性權重不同,供讀者參考。

通過本節的仿真分析,本文的決策方法具有以下優勢:①本文的綜合特征距離測度在PHFE元素個數不等和不做順序重排的情況下,均可以進行距離計算,相比傳統距離測度,避免了各種反直覺現象的發生,同時多種特征也使得計算結果更加準確、全面;②熵權法能夠較為客觀地確定屬性權重,與文獻[4]相比減少了決策者的主觀隨意性;③本文模型能夠充分考慮決策者規避損失的心理,更加符合決策者的實際經歷,因此能夠產生更有說服力的結果。

同時本文方法也存在以下局限:關于如何確定衰退損失參數、特征集成參數等并未深入研究,雖然相比傳統識別方法,本方法在計算過程上更容易理解,但計算過程仍然較為繁瑣,是否適應大規模數據背景下的計算需求還需進一步討論。

7 結 論

本文對概率猶豫模糊集的距離測度進行了深入研究,針對傳統距離測度存在的缺陷,綜合考慮PHFE的聚集性、離散性、模糊性和一致性4種特征,提出新的比較法則和距離測度,釋放了傳統距離測度的元素個數和順序重排等限制,拓展了概率猶豫模糊距離測度的應用場景和范圍,并推廣至廣義綜合距離測度,然后基于TODIM方法提出了一種PHFS多屬性決策方法,通過與現有方法的分析比較,驗證了本文距離測度和決策方法的有效性和全面性。