二維耗散非線性薛定諤方程解的時間衰減估計

郭佳鑫, 李春花

( 延邊大學 理學院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

本文考慮如下二維耗散非線性薛定諤方程的初值問題:

(1)

1 預備知識

本文主要利用文獻[9]中的求解強耗散非線性薛定諤方程解的時間衰減估計的方法來求解二維耗散非線性薛定諤方程初值問題(1)解的Lq-時間衰減估計.本文在證明過程中主要涉及到以下符號、公式和空間:

1)Fourier變換.定義F:f為定義Fourier逆變換F-1:ff∨為

其中S(R2)為速降函數空間.

6)定義R2上的函數空間X1,T(R2)為:

2 主要結果及其證明

為了證明定理1,本文首先引入如下引理.

(2)

定理1的證明由文獻[9]中定理1可知,初值問題(1)存在唯一全局解v∈X1,∞.下面證明解v的時間衰減估計.對式(1)兩端作用U(-t)可得:

(3)

(4)

證明對R(t)進行計算后R(t)可表示為:

(5)

(6)

(7)

由于方程(Imλ)-1tp-1H-pdH-dt=0,因此求解此方程可得:

(8)

?t(H-p|FU(-t)v|)≤|Imλ|t-(p-1)(pH-1|FU(-t)v|-(H-1|FU(-t)v|)p)+CH-pR(t).

(9)

因此可得:

其中0<β<1.對上式取Lq范數并應用引理3可得: