有限生成群作用的Gromov-Hausdorff跟蹤性

劉鑫磊, 董美花

( 延邊大學 理學院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

由于偽軌跟蹤性對研究拓撲穩定性具有重要作用,且它與軌道的漸近性質密切相關,因此近年來一些學者對其進行了研究[1-6].2017年,Arbieto等[7]首次將同胚上的GH-距離應用于拓撲動力系統中,此后一些學者在此基礎上研究了Gromov-Hausdorff意義下的拓撲動力系統.例如:2021年,Dong等[8]將GH-距離從同胚映射推廣至有限生成群作用,并在Gromov-Hausdorff意義下研究了群作用的拓撲穩定性;2022年,Lee等[9]在Gromov-Hausdorff意義下研究了同胚的拓撲穩定性和跟蹤性.基于上述研究,本文將文獻[9]中的同胚映射推廣至有限生成群作用,并得到如下結果:若群作用具有偽軌跟蹤性,則其具有Gromov-Hausdorff跟蹤性(GH-跟蹤性);若群作用具有GH-跟蹤性,則其具有等距跟蹤性.

1 預備知識

定義1對于任意的ε>0,若存在δ*>0,使得對于任意的0<δ<δ*和滿足dGH0,A(T,S)≤δ的任意有限生成群作用S∈Act(G,Y)存在δ-等距映射j:Y→X;且若對于S的任意δ-偽軌{yg}g∈G存在x∈X,使得d(Tg(x),j(yg))≤ε:則稱有限生成群作用T∈Act(G,X)關于生成元集A具有GH-跟蹤性.

注1當群G為整數加群時,有限生成元集A={1,-1}.由于此時的群作用T是緊致度量空間X上的同胚映射,因此同胚上的GH-跟蹤性為定義1的特例.因由文獻[4]中的性質1易證定義1不受生成元選取的影響,故本文在此省略.

定義2若有限生成群作用T∈Act(G,X)關于生成元集A具有GH-跟蹤性,則稱T具有GH-跟蹤性.

定義3對于任意的ε>0,存在δ*>0,使得對于任意0<δ<δ*和滿足dGH0(T,S)≤δ的有限生成群作用S∈Act(G,Y)存在δ-等距映射j:Y→X;且若對于任意y∈Y,存在x∈X,使得d(Tg(x),j(Sg(y)))≤ε成立:則稱群作用T具有弱GH-跟蹤性.

注2GH-跟蹤性與弱GH-跟蹤性二者的不同之處為:前者是S的δ-偽軌,后者是S的真軌.但由于每個S的真軌一定是S的δ-偽軌,所以當T具有GH-跟蹤性時,T一定具有弱GH-跟蹤性.

定義4對于任意的ε>0,存在δ*>0,使得對于任意的0<δ<δ*存在δ-等距映射j:Y→X;且若對于T的任意δ-偽軌{xg}g∈G,存在x∈X,使得d(Tg(x),j(xg))≤ε對于任意g∈G均成立:則稱群作用T具有等距跟蹤性.

2 主要結果及其證明

定理1若群作用T具有偽軌跟蹤性,則T具有GH-跟蹤性.

d(Ta(j(yg)),j(yag))≤d(Ta(j(yg)),j(Sa(yg)))+d(j(Sa(yg)),j(yag))≤

δ+δ+d(Sa(yg),yag)≤3δ≤δ′.

由上式可知,{j(yg)}g∈G是T的δ′-偽軌.由于T具有偽軌跟蹤性,因此可知存在x∈X,使得d(Tg(x),j(yg))≤ε成立,故T具有GH-跟蹤性.定理1證畢.

定理2若T具有GH-跟蹤性,則T具有等距跟蹤性.

證明給定ε>0,并根據群作用T的GH-跟蹤性選取δ*.若0<δ<δ*,則令S=T,由此可得dGH0(T,S)=0<δ.因此存在δ-等距映射j:Y→X,使得對于S的任意δ-偽軌{xg}g∈G存在x∈X,使得d(Tg(x),j(xg))≤ε對于任意的g∈G均成立,故T具有等距跟蹤性.定理2證畢.

根據定理1與定理2的證明,可以得到以下幾種跟蹤性質間的關系:

T具有偽軌跟蹤性

T具有GH-跟蹤性?T具有弱GH-跟蹤性

T具有等距跟蹤性.