一類具有恐懼效應的時滯廣義HollingⅢ型捕食者-食餌模型的動力學分析

王檄豪, 韋煜明

( 廣西師范大學 數學與統計學院, 廣西 桂林 541006 )

0 引言

由于恐懼效應會改變食餌種群的行為方式、生理特征以及種群密度等[1],因此近年來一些學者對其進行了研究.例如:2016年,Wang等[2]研究了恐懼效應對確定性捕食者-食餌模型的影響;同年,李梁晨等[3]提出了一類具有時滯HollingⅡ型功能反應的捕食者-食餌模型,并研究了該模型共存平衡點的全局穩定性及其Hopf分支的存在性;2016年,秦爽[4]研究了一類具有廣義HollingⅢ型功能性反應的確定性模型的動力學行為;2022年,Shao[5]研究了一類在確定環境和隨機環境中帶有恐懼效應和時滯的捕食者-食餌模型,并探討了確定性模型中平衡點的存在性和穩定性以及隨機模型中全局正解的存在性;2022年,劉英姿等[6]研究了一類具有恐懼效應的Leslie-Gower型功能反應的捕食者-食餌模型,并討論了恐懼效應對食餌和捕食者種群密度的影響.基于上述研究,本文基于文獻[5]中的捕食者-食餌模型,采用廣義HollingⅢ型功能反應函數建立了如下確定性模型:

(1)

(2)

1 確定性模型

下面分別討論模型(1)平衡點的存在性和局部穩定性,以及其在共存平衡點處發生Hopf分支的條件.

1.1 模型(1)平衡點的存在性

根據模型(1)可得如下方程組:

(3)

(4)

a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7= 0.

(5)

1.2 平衡點處的穩定性分析

本文通過判斷特征值的符號來分析模型(1)平衡點的局部穩定性.模型(1)的特征方程[8]為:

det(J0+e-λτJ1-λI)= 0.

(6)

下面分2種情況討論時滯對模型(1)平衡點處動力學行為的影響.

情形1 無時滯模型的動力學行為.

(7)

情形2 帶有時滯模型的動力學行為.

λ2+R1λ+R2+S1e-λτ= 0.

(8)

(9)

2p1p2+R1p2-S1e-p1τsin(p2τ)= 0.

(10)

為確定式(8)是否有純虛根,再令p1= 0.由此式(9)和式(10)可變為:

(11)

S1sin(p2τ)=R1p2.

(12)

(13)

對式(9)和式(10)關于τ進行微分后,再將p1= 0和τ=τ*代入式(9)和式(10)中可得:

(14)

(15)

2 隨機模型

2.1 正解的存在唯一性

P(τk≤T)≥ε,?k≥k1.

(16)

(17)

其中:

2.2 解的有界性

證明由模型(2)的第1個方程可知:

x(r-d1-bx)dt+σ1xdB1(t).

根據上式可構造方程dp(t)=p(r-d1-bp)dt+σ1pdB1(t),由此再由文獻[12]和微分方程隨機比較定理[13]可知x(t)有上界.

由模型(2)的第2個方程可知:

(19)

為了證明y的有界性,本文根據式(19)構造如下輔助模型(20):

(20)

由式(20)的第1個方程可得:

(21)

(22)

根據式(22)可構造如下輔助模型:

(23)

2.3 平均持久性和滅絕性

為了便于下文表述,首先引入以下記號:

引理1[16]假設M(t)∈C([0,+∞],R+),則:

(24)

證明對模型(2)的第2個方程應用It公式可得:

(25)

對式(25)兩邊進行積分可得:

(26)

證明對模型(2)和模型(24)的第1個方程分別應用It公式后再對其兩邊同時進行積分可得:

(27)

(28)

對式(28)兩邊進行積分后再將式(27)代入其中可得:

3 數值模擬

3.1 恐懼效應對模型(1)平衡狀態的影響

圖1 不同恐懼參數f對模型(1)平衡狀態影響的仿真圖

3.2 時滯對模型(1)平衡狀態的影響

本文參考文獻[5],選取3個時滯參數τ(1、5和10)來分析時滯對模型(1)的影響(固定f= 1,其他各參數取值與3.1中相同).圖2為τ分別取1、5和10時其對模型(1)平衡狀態的影響的仿真圖.由圖2可以看出,不同時滯的取值不會影響模型(1)的種群密度和平衡點的穩定性.

圖2 不同時滯參數τ對模型(1)平衡狀態影響的仿真圖

3.3 隨機因素對模型(2)平衡狀態的影響

本文利用Milstein方法[19]研究隨機因素對模型(2)平衡狀態的影響,參數取值參考文獻[20]選取:r= 2.2,c1= 0.6,f= 1,τ= 0,d1= 0.5,b= 0.08,α= 0.01,β= 0.01,c2= 0.1,d2= 1,h= 0.3.

圖3 不同隨機因素對捕食者和食餌種群密度影響的仿真圖

4 結論

本文對確定性模型(1)和隨機模型(2)的動力學行為進行研究表明:恐懼效應不會對模型(1)的穩定性產生影響,但會改變食餌和捕食者的種群密度,表現為較高的恐懼效應會降低食餌和捕食者的種群密度;時滯不會對模型(1)的穩定性和種群密度產生明顯影響;隨機因素對模型(2)的穩定性和種群密度都會產生影響,表現為較大的噪聲會降低食餌和捕食者的種群密度.本文研究結果可為調控種群密度和維持種群間的平衡提供良好參考.在今后的研究中,我們將對模型(2)是否存在平穩分布和具有遍歷性進行探討.