采煤機永磁傳動系統電機定子振動特性研究?

姜 聳， 李 威， 盛連超， 王禹橋， 楊雪鋒

（1.江蘇大學機械工程學院 鎮江，212013）

（2.中國礦業大學機電工程學院 徐州，221116）

（3.江蘇師范大學機電工程學院 徐州，221116）

引 言

隨著永磁技術的發展，低速大扭矩永磁同步電機驅動的齒輪傳動系統越來越多地應用于重型機械裝備中［1-2］。以采煤機永磁傳動系統為例，由于低速大扭矩永磁電機的使用，采煤機截割部輸入轉速由3 000 r/min 下降為400 r/min。與三相異步電機相比，永磁同步電機具有調速范圍寬的優點，并且由于去除了行星齒輪減速器，永磁傳動系統具有較高的傳動效率；但縮短傳動鏈提高可靠性的同時，系統在受到外部波動劇烈的截割負載激勵時，電機永磁體磁場與電樞磁場的疊加產生的強磁場將導致電機定子產生復雜的振動特性［3］。

研究人員發現，麥克斯韋電磁力是引起電機定子齒部振動的主要原因，并且對電磁力引起的永磁電機定子振動展開了廣泛研究［4］。Wang 等［5］在所推導的永磁電機氣隙磁通密度分布和徑向力分布的基礎上，對電機定子脈動模態和彎曲模態2 種振動特性進行了分析。Valavi 等［6］通過對開槽、半閉槽和磁楔3 種情況的比較，研究了槽諧波與電磁力之間的耦合關系。曹海翔等［7］定性分析了永磁直流電機定子振動規律，并與樣機試驗結果進行了對比。Lin 等［8］利用2 維 快 速 傅 里 葉 變 換 對 有 限 元 法 計 算的電磁力進行分解，并對電流諧波產生的電磁力展開了研究。

由于材料的磁致伸縮特性，當永磁電機功率逐漸增加時，定子磁致伸縮效應同樣逐漸增強。由于降低了定子鐵芯損耗的需要，非晶材料逐漸代替了傳統硅鋼材料。與傳統硅鋼相比，非晶合金的磁致伸縮系數大幅提高［9］。Belahcen 等［10］利用實驗測試得到的材料磁致伸縮曲線對磁致伸縮力進行了研究。Xu 等［11］通過定子鐵芯軛部和齒部的動力學模型，分析了定子鐵心在不同半徑、位置角和轉子偏心下的磁致伸縮動態響應。吳勝男等［12］利用非晶合金材料磁致伸縮特性引起的永磁電機振動方程，對鐵心振動位移、加速度等進行了研究。

上述對永磁電機定子振動特性的研究主要集中在中小型電機空載工況下，并未考慮外部工況與電樞磁場對定子振動的影響。筆者通過對永磁傳動系統機電耦合動力學模型仿真，重點分析電磁力與磁致伸縮力引起的定子硅鋼芯與非晶芯的振動特性，進一步對工作轉速范圍內定子共振點進行甄別。

1 采煤機永磁傳動系統機電耦合動力學模型

在采煤機截割部中，永磁同步電機的輸出扭矩與電機電阻、磁鏈等電氣參數相關，齒輪傳動系統的運動與齒輪質量、轉動慣量等機械參數相關，這些電氣參數與機械參數將相互耦合構成機電耦合系統，共同影響傳動系統的運動。

1.1 永磁同步電機模型

采煤機永磁傳動系統包括永磁同步電機、齒輪組、軸、軸承和截割滾筒等構件，永磁同步電機內部結構如圖1 所示。其中：Rr為轉子半徑；Rm為永磁體半徑；Rs與Ro分別為定子的內半徑與外半徑。

圖1 永磁同步電機內部結構圖Fig.1 Internal structure diagram of PMSM

氣隙是磁場相互作用的場所，氣隙磁通密度與永磁體、電樞及齒槽效應等因素相關。永磁體區域的磁場由準泊松方程控制，氣隙與定子鐵芯的磁場由拉普拉斯方程控制，這3個區域的控制方程可以表示為

其中：φm，φa，φs分別為永磁體、氣隙、定子鐵芯磁位；μ2為永磁體相對磁導率；M為永磁體剩余磁化矢量。

考慮相應的邊界條件［13］，求解控制方程（1），可得定子無槽結構時永磁體產生的磁通密度為

其中：Brn（r），Bθn（r）分別為徑向與切向磁通密度幅值，其詳細表達式可參考文獻［13］；p為磁極對數；θ為轉子表面位置角。

筆者采用保角映射法，通過引入復合氣隙磁導系數將無槽氣隙轉化為有槽氣隙［14］，永磁體有槽氣隙磁通密度為

其中：λa與λb為復合氣隙磁導系數。

根據永磁體氣隙磁通密度，永磁體產生的單相磁鏈可以表示為

其中：l為定子鐵芯長度；γc為繞組節距角；Nc為單相線圈匝數。

由此可得dq坐標系下的永磁體磁鏈為

永磁同步電機的反電動勢可通過對總磁鏈求導得到，最終電磁轉矩可表示為

由于永磁電機在三相坐標系下的輸入、狀態和輸出關系復雜，難以進行控制，因此筆者通過坐標變化，得到永磁同步電機dq坐標系的電壓方程為

永磁電機控制方式采用轉子磁鏈定向控制（i*d=0）和PI 控制的組合，其矢量控制模型見圖2。圖2 中轉速環給出的q軸參考電流的表達式為

圖2 永磁同步電機矢量控制模型Fig.2 The Vector control model of PMSM

其 中：Kpω，Kiω分 別 為 轉 速 環PI 參 數；ω*m為 電 機 設定角速度；ωm為電機實際角速度；Ba為有功阻尼系數。

將q軸參考電流代入電流環，可得dq軸電壓為

其中：Kpd，Kid，Kpq，Kiq分 別 為 電 流環PI 參 數；i*d為d軸電流設定參數。

將式（8）、式（9）代入式（7）中，可得電機電流為

1.2 齒輪傳動系統模型

采煤機永磁傳動系統如圖3 所示，由3 級定軸齒輪與2 個惰輪組成。以第1 級減速齒輪為例，將時變嚙合剛度展開成傅里葉級數，即

圖3 采煤機永磁傳動系統Fig.3 The permanent magnet transmission system of shearer

其中：kan為平均嚙合剛度；kjan為諧 波幅值；j為 諧波級數；Z1為齒輪

1 的齒數；φ為嚙合剛度的相位角。

齒輪副1，2 嚙合時的傳動誤差可表示為

其中：R1，R2分別為齒輪副1，2 分度圓半徑；y1，y2為對應軸承振動位移；et為齒輪副靜態傳遞誤差。

根據Lagrange-Maxwell 方程，齒輪副1，2 的平移-旋轉動力學方程為

其中：k1，k2為軸承支撐剛度；c1，c2為軸承支撐阻尼；T1為齒輪1 輸入扭矩；T2為齒輪2 負載扭矩。

相鄰兩級齒輪間受力通過軸傳遞，可將其轉化為兩質量旋轉系統。以電機輸出軸為例，有

其中：Ka為扭轉剛度；Ca為扭轉阻尼；Jm，J1分別為電機與齒輪1 轉動慣量；Tm為電磁扭矩。

利用上述建模方式，建立各級齒輪組和傳動軸的動力學方程

其中：X為廣義坐標向量；M為廣義質量矩陣；Tm，E，TL分別為電磁扭矩向量、誤差激勵向量和負載扭矩向量；Cn，Ct，Cr為對應阻尼矩陣。

1.3 截割滾筒負載模型

采煤機單個截齒受力如圖4 所示，其中：h為瞬時切削厚度；bp為截齒工作部位寬度；lp為截齒截距；φ為切槽裂紋角。通過在基準截齒截煤時阻力的基礎上，考慮實際截齒的幾何形狀與截割條件，對截割阻力加以修正［15］。

圖4 采煤機單個截齒受力示意圖Fig.4 Stress diagram of shearer single pick

滾筒上單個銳利截齒i的單位能耗為

其中：Z0為銳利截齒所受截割力；S0為截煤裂紋區域；煤層平均截割阻抗Ap=130f；煤巖堅固系數f=2.6。

截割滾筒的瞬時切削厚度h可以表示為

其中：vq為牽引速度；n為滾筒轉速；m為滾筒截線截齒數。

切槽裂紋角與瞬時截割厚度及煤的脆性有關，即

其中：Kψ=2.1~3.5，為煤脆性影響系數。

根據能量守恒定律，單齒i在滾筒上的瞬時截割力可表示為

其中：K為綜合考慮煤壓張力情況、切削條件及刀具配置等因素的校正參數。

在截割不同煤層時，考慮了截割角度對截割力的影響。對于相同煤層形狀的重復截割角，截割截面是恒定的，所以截割角對截割力的影響系數可以表示為

其中：Ky為截角影響系數；Kc為截齒排列系數；Kφ為前刀面形狀系數；β為截齒偏轉角。

截割滾筒處瞬時負載扭矩可以表示為

其中：D為滾筒直徑；δcm為抗壓強度；Sa為截齒投影面積；kδ為煤巖體積系數。

通過式（21）計算出所有截齒的截齒扭矩，然后對其進行疊加，得到截割負載扭矩。在機電耦合系統中，波動的截割負載與齒輪間的動態嚙合力將傳遞到電機輸出軸中，引起電機電流的變化，進而導致電機電磁扭矩的變化。永磁同步電機矢量控制引起的電磁扭矩的變化又會反過來影響齒輪傳動系統。聯立上述永磁電機、齒輪傳動系統及截割負載扭矩模型，對其進行數值仿真，系統參數如表1 所示，可得額定工況下系統截割滾筒負載扭矩與電機A 相電流如圖5 所示。滾筒截割扭矩中存在頻率f1=0.76 Hz 和f2=1.5 Hz 的低頻擾動，且該低頻擾動通過齒輪傳動系統作用在電機上，導致電源頻率fm兩側出現以截割扭矩頻率為間隔的邊頻帶，可表示為fm±fi的形式。

表1 傳動系統參數Tab.1 Transmission system parameters

圖5 額定工況下系統截割滾筒負載扭矩與電機A 相電流Fig.5 Cutting drum torque and PMSM A phase current under rated condition

2 采煤機永磁傳動系統電機定子應力計算

在以往研究中，小型永磁電機的磁致伸縮應力相較于麥克斯韋應力較小，一般忽略不計。但是，采煤機永磁傳動系統中永磁電機具有低速、大功率特性，其定子磁場相較于小型永磁電機有較大增加，故電樞電流產生的磁通與磁致伸縮應力不可忽略。與此同時，由于降低定子鐵芯損耗的需求，非晶材料逐漸代替了傳統硅鋼材料，由此產生的磁致伸縮應力更為顯著。根據上述方法，電樞產生的氣隙磁通密度［16］為

其中：Λ0為空氣磁導；Nc為每相串聯繞組匝數；βo，βs分別為齒槽開口角度和槽距角。

有載氣隙磁通密度由永磁體與電樞磁通密度組成

為驗證本研究永磁體磁場與電樞磁場在氣隙內磁通密度解析方法的正確性，將式（23）在r=（Rm+Rs）/2 處的計算結果與ANSYS 21.1 實現的有限元分析進行了比較，該點在氣隙中點，具有代表性。永磁電機的有限元磁場仿真如圖6 所示。圖7 為永磁電機在r=（Rm+Rs）/2 處永磁體與電樞徑向磁通密度對比，由圖可見，永磁體與電樞無槽定子鐵芯徑向磁通密度曲線是光滑的，但有槽定子鐵芯的曲線存在一定的畸變。電樞電流徑向磁通密度為0.419 T，達到永磁體徑向磁通密度最大值1.165 T 的35.97%，因此電樞電流對磁通密度的影響同樣不可忽略?？傮w上，解析分析結果與有限元分析結果吻合較好。

圖6 永磁電機的有限元磁場仿真Fig.6 Finite element magnetic field simulation of PMSM

圖7 永磁電機在r =(Rm+Rs)/2 處永磁體與電樞徑向磁通密度對比Fig.7 Comparison of radial flux density between stator surface permanent magnet and armature at r =(Rm+Rs)/2

磁場作用在定子鐵芯齒部上的麥克斯韋徑向與切向電磁力為

定子鐵芯可以在磁場中產生磁致伸縮應變，根據胡克定律，磁致伸縮應力可表示為

其中：E為 定子鐵芯彈 性模量；α為泊 松 比；εr，εθ，εrθ分別為徑向應變、切向應變與剪切應變。

定子鐵芯常用硅鋼材料DW465-50 與非晶合金材料2605SA1，其磁致伸縮特性如圖8 所示。磁致伸縮應變ε隨磁通密度非線性增加，且同等磁通密度下，非晶合金磁致伸縮應變相較于硅鋼大幅增加。應變與磁通密度的關系可以表示為

圖8 非晶合金2605SA1 與硅鋼DW465-50 磁致伸縮特性Fig.8 Magnetostrictive properties of amorphous alloy 2605SA1 and silicon steel DW465-50

其中：+，—分別表示定子鐵芯內、外表面。

永磁電機中電機定子切向應力遠小于徑向應力，且電磁力主要作用在定子齒表面，定子振動主要為齒部沿徑向方向振動，因此這里主要分析定子齒部徑向應力分布與振動特性。通過對圖8 磁致伸縮應變插值，并將式（26）代入式（24）、式（25），分別得到定子鐵芯齒部徑向電磁力與非晶合金、硅鋼磁致伸縮應力特性，如圖9 所示。麥克斯韋電磁力、磁致伸縮力均隨機械角度周期性地變化，并含有多種頻率成分，變化頻率一致且均為電源頻率的偶數倍。硅鋼的磁致伸縮力最大值達到電磁力的23.8%，而非晶合金的磁致伸縮力相較于硅鋼明顯增加，其最大值達到電磁力的58.5%。

圖9 定子鐵芯齒部徑向電磁力與非晶合金、硅鋼磁致伸縮應力特性Fig.9 Radial electromagnetic force and magnetostrictive stress of stator core

3 永磁傳動系統電機定子振動特性

3.1 定子振動模型

系統的受迫振動與系統質量、固有頻率及阻尼等參數相關，為分析永磁電機定子的振動特性，需得到定子的固有頻率fn。有限元法可較精準地得到定子固有頻率，這里通過有限元對定子固有頻率進行計算。定子鐵芯有限元模型如圖10 所示。為了與實際工況匹配，定子支撐方式選擇兩端固定支撐，因此定子模態振型以徑向為主，其中定子鐵芯齒部固有頻率如表2 所示。

表2 定子鐵芯齒部固有頻率Tab.2 Natural frequency of stator core teeth

圖10 定子鐵芯有限元模型Fig.10 Finite element model of stator core

對于電機定子齒部上某一微元，其質量與阻尼可表示為

其中：ρ為材料密度；ξn為n階模態所對應的阻尼比。

定子齒部各點電磁力與磁致伸縮力各不相同，這里以微元為單位進而得到各點振動位移。由表2可以看出，非晶芯各階固有頻率均小于硅鋼芯，低階的2 階模態小于1 000 Hz，容易在電磁力與磁致伸縮力的誘導下產生共振現象，是研究電機定子齒部徑向振動需要重點關注的模態，故這里主要研究由2 階模態引起的振動特性。

定子齒部2 階徑向受迫振動方程可定義為

將式（24）、式（25）代入式（28），仿真得到定子鐵芯齒部徑向振動，如圖11 所示。在額定工況下，電磁力與磁致伸縮力對徑向振動位移有明顯影響。徑向電磁力單獨作用時，振動位移達到了42.23 μm。定子為硅鋼芯的磁致伸縮力單獨作用時，最大振動位移為10.49 μm，達到電磁力單獨作用時振動位移的24.84%；定子為非晶合金芯的磁致伸縮力單獨作用時，振動最大位移為26.99 μm，達到電磁力單獨作用時振動的63.91%；硅鋼芯與非晶合金芯磁致伸縮力引起的振動位移所占電磁力引起的振動位移比例，均稍大于硅鋼芯與非晶合金芯磁致伸縮力所占電磁力的比例23.8% 與58.5%。圖12 為永磁體剩磁強度變化時的硅鋼芯徑向振動，硅鋼電機定子齒振動位移隨永磁體剩磁的增加而逐漸 增 加，由1.0 T 時 的15.52 μm 增 加 到1.5 T 時 的27.47 μm，故永磁體剩磁強度的增加在提高永磁電機功率的同時將加劇定子的振動。振動位移頻譜組成與徑向力、磁致伸縮力的頻譜組成基本相同，但分布 不 同。振動 位 移 主 要 以2fm，6fm，10fm及18fm頻率為主，其中18fm頻率幅值明顯增加，這主要是因為額定轉速下，18fm靠近硅鋼2 階固有頻率所致。

圖11 定子鐵芯齒部徑向振動Fig.11 Radial vibration of stator core teeth

圖12 永磁體剩磁強度變化時的硅鋼芯徑向振動Fig.12 Radial vibration of silicon steel core when remanence permanent magnet intensity changes

3.2 定子共振特性分析

永磁電機電磁力與磁致伸縮力中存在多種電源頻率的倍頻，在某些工況下，可能導致定子上產生共振現象，加劇定子振動，降低電機壽命。

采煤機永磁截割傳動系統永磁同步電機的工作轉速為264~440 r/min，根據定子的固有頻率及各激勵頻率，繪制出永磁電機定子激勵在工作轉速范圍內的坎貝爾圖，如圖13 所示。因高階頻率影響較小，故圖中只展示了0~1 000 Hz 頻率范圍，其中fNS2與fNF2分別為硅鋼與非晶合金的2 階固有頻率，固有頻率與激勵頻率相同時即滿足共振條件。由圖13可知：當定子為硅鋼時，系統在電機轉速為393 r/min（A處）存在共振點；當定子為非晶合金時，定子齒在電機轉速為288 r/min（B處）、324 r/min（C處）、371 r/min（D處）和433 r/min（E處）處均存在共振點。為了研究潛在共振點對采煤機永磁電機定子振動的具體影響，對系統進行升速仿真，使電機轉速從264 r/min 勻加速升至440 r/min。

圖13 永磁電機定子激勵在工作轉速范圍內的坎貝爾圖Fig.13 Campbell diagram of PMSM stator excitation in working speed range

通過對定子為硅鋼時系統進行3 維階次掃頻分析，得到其在工作轉速范圍內的振動響應，如圖14所示，電磁力與磁致伸縮力的激勵頻率線在圖中清晰可見。在時域圖中，電機轉速為393 r/min 時，振動幅值明顯增大，并且電機在額定轉速400 r/min時，仍然在A點共振影響范圍內。為分析共振點A對額定轉速的影響，進一步研究420 r/min 處與400 r/min 處的振動響應，如圖15 所示。轉速為420 r/min 時，振動幅度較小，含有多種頻率成分，以2fm，6fm及18fm等頻率為主，共振激勵頻率18fm所占比例較??；轉速為400 r/min 時，振動幅值與共振激勵頻率18fm所占比例明顯增大。因此，定子在電機轉速為393 r/min 時滿足共振要求，并且對額定轉速下的振動有較大影響。

圖14 定子為硅鋼時在工作轉速范圍內的振動響應Fig.14 Vibration response of silicon steel stator in working speed range

圖15 定子為硅鋼時的振動響應Fig.15 Vibration response with silicon steel

通過對非晶合金時的系統進行3 維階次掃頻分析，得到其在工作轉速范圍內的振動響應，如圖16所示。從時域圖中可以看出，振動位移振幅在324 r/min（C處）與371 r/min（D處）有所增大，但兩者均沒有出現明顯突變，并且振動位移振幅在288 r/min（B處）與433 r/min（E處）明顯增大，出現突變現象。進一步對轉速為288 r/min（B處）與433 r/min（E處）進行仿真，其振動響應如圖17 所示。在時域圖中，兩者的振動位移均較大，并且在D點的振動幅值大于B點；在頻域圖中，額定轉速為288 r/min 時以激勵頻率12fm為主，其他頻率所占比例較小，而在D點時，12fm對應的幅值占據主導地位，故非晶合金定子在288 r/min 與433 r/min 時均存在共振風險，并且電機在額定轉速時不在兩者共振影響范圍內。

圖16 定子為非晶合金時在工作轉速范圍內的振動響應Fig.16 Vibration response of stator made of amorphous alloy in working speed range

圖17 定子為非晶合金時的振動響應Fig.17 Vibration response of amorphous alloy

4 結 論

1） 永磁同步電機中由于矢量控制方法的應用，電機轉速與電流可實時調節，實現智能驅動。麥克斯韋電磁力、磁致伸縮力均隨機械角度周期性變化，并含有多種頻率成分，且均為電源頻率的偶數倍。硅鋼芯的磁致伸縮力最大值達到電磁力的23.8%，而非晶合金芯的磁致伸縮力相較于硅鋼芯明顯增加，其最大值達到電磁力的58.5%。

2） 硅鋼芯與非晶合金芯磁致伸縮力作用下，定子齒振動位移達到電磁力作用時振動位移的24.84%與63.91%，兩者磁致伸縮力引起的振動位移所占電磁力引起的振動位移比例均稍大于硅鋼芯與非晶合金芯。永磁體剩磁強度增加，在提高永磁電機功率的同時將加劇定子的振動，定子振動位移頻譜組成與徑向力、磁致伸縮力的頻譜組成基本相同，主要以2fm，6fm，10fm和18fm頻率為主。

3） 定子為硅鋼芯時，在電機轉速為393 r/min時出現激勵頻率18fm引起的共振現象，且在電機額定轉速時，仍然在共振點的影響范圍內。定子為非晶合金芯時，在288 r/min 和433 r/min 時振動幅值出現突變，激勵頻率18fm和12fm分別占據主導地位，出現明顯的共振現象；但在電機額定轉速時，系統不在共振點的影響范圍內。