網收斂在刻畫分離公理中的作用分析①

田俊英

(長治幼兒師范高等?？茖W校,山西 長治 046400)

0 引 言

眾所周知,在描述度量空間時,點列的收斂有不可或缺的作用.推廣在第一可數空間中,依然可以以序列收斂為出發點來進行等價刻畫.但是在非第一可數拓撲的背景下,序列收斂的作用就不充分了, 需要將序列收斂進行推廣——網收斂來實現各種刻畫.

本文旨在對拓撲空間中網收斂的更多作用加以挖掘和描述,在諸多資料中,都發現一條重要定理,其是描述如何用網收斂來刻畫T2空間(或稱Hausdorff空間)的結論,除此之外,沒有太多其他關于網收斂作用分析的內容.據此,用網收斂來刻畫低分離公理,同時, 文中也嘗試補充給出對正則空間, 正規空間的刻畫. 最后探討一個重要問題,即在拓撲空間中, 網收斂是否與拓撲等價?

1 各種分離公理的定義及性質

定義1[1]設X是一個拓撲空間,如果?x,y∈X,x≠y,或者x有一個開鄰域U使得y?U,或者y有一個開鄰域V使得x?V,則稱拓撲空間X是一個T0空間.

定義2[2]設X是一個拓撲空間,?x,y∈X,x≠y,x有一個開鄰域U使得y?U,則稱拓撲空間X是一個T1空間.

定理1[1]設X是一個拓撲空間,則X是T1空間?X中每一個單點集都是閉集.

定義3[2]設X是一個拓撲空間,?x,y∈X,x≠y,x有一個開鄰域U,y有一個開鄰域V使得U∩V=?,則稱拓撲空間X是一個T2空間(或稱Hausdorff空間)

定義4[1]設X是一個拓撲空間, ?x∈X和?A?X是一個閉集,使得x?A,?x的一個開鄰域U與A的一個開鄰域V使得U∩V=?,則稱拓撲空間X是一個正則空間

定義5[1]設X是一個拓撲空間,?A,B?X,且A∩B=?,A有一個開鄰域U,B有一個開鄰域V使得U∩V=?,則稱拓撲空間X是一個正規空間.

2 網收斂在刻畫分離公理中的作用

在拓撲空間中,具有不同分離性的拓撲空間其性質有著本質的不同,所以有必要對不同的分離公理進行刻畫.下面,我們分別對T0T1T2正則、正規空間進行刻畫.

引理1：設(Li,≤i),i=1,2是兩個非空偏序集,≤是L=L1×L2上的關系,定義如下:(x1,x2)≤(y1,y2)?x1≤1x2,y1≤2y2,則≤是L上的一個偏序關系.偏序(L1×L2,≤)稱為偏序集(L1,≤1)與(L2,≤2)的直積.若(L1,≤1),(L2,≤2)是定向集,則(L,≤)也是定向集.

2.1 網收斂對T0空間的刻畫

定理2.1拓撲空間是T0空間的充要條件是X中任意兩個不同常值網的極限點的集合是不同的.

證明: (必要性)設X是T0空間,{Sα|Sα=x,α∈D,≤}和{Tα|Tα=y,α∈D,≤}(x≠y)是X中任意兩個不同的常值網,顯然,這兩個常值網至少分別收斂于x,y.因為X是T0空間,則x,y中至少存在一點,其存在鄰域包含另一個點.不妨設x中存在一個鄰域Ux,有y?Ux,從而x不是{Tα}的極限點,所以兩個網的極限點的集合不同,由所取常值網的任意性,故得證.

(充分性)任取x,y∈X,x≠y,取特殊網{Sα|Sα=x,α∈D,≤}和{Tα|Tα=y,α∈D,≤},設其極限點的集合分別是AS和AT,由條件得AS≠AT,則ASAT≠?和ATAS≠?中至少有一個存在,不妨設ASAT≠?,取s∈ASAT,由于s是網{Sα}的極限點,所以存在s的開鄰域Us,使得y?Us,由于Us是x的開鄰域,于是存在x的開鄰域Us,使得y?Us,由x,y的任意性和T0空間的定義,知設X是T0空間.

2.2 網收斂對T1空間的刻畫

定理2.2拓撲空間X是T1的,當且僅當若Sα→y,且對所有的α∈D,均有Sα=x,則y=x.

{Sα,α∈D,≤}滿足任取α∈D,有Sα=a,D為任意指定的定向集,下面設法證明如上的Sα→z:

2.3 網收斂對T2空間的刻畫

定理2.3.1[3]拓撲空間(X,I)是T2空間(Hausdorff空間),當且僅當X內的每個網至多僅有一個極限點.

證明:(必要性)設(X,I)是T2的,S是X的任一網且有x,y∈limS,若x≠y,則由T2的性質,存在U∈AxV∈Ay,使得U∩V=?,顯然,S不可能同時終在U,V內,故與假設矛盾,所以x=y.

(充分性)設X內每個網至多有一個極限點.若存在x,y∈X,x≠y但是,對于任意U∈AxV∈Ay,均有U∩V≠?,令D為Ax和Ay對偶偏序集的直積,由引理1,(D,≤)為一個定向集.任取ξ∈∏(U,V)∈DU∩V,則ξ=(ξ(U,V))(U,V)∈D是X內的一個網.顯然,x,y∈limξ,與條件矛盾,故得證.

定理2.3.2設X是滿足第一可數性公理的空間.證明:拓撲空間(X,I)是T2空間(Hausdorff空間),當且僅當X內的每個收斂序列都只有一個極限點..

證明:(必要性)假設收斂序列{xn}有兩個極限點x,y,且x≠y.由于X是T2空間,故存在U∈AxV∈Ay,使得U∩V=?.由收斂的定義,則存在N1,當n>N1時,有xn∈U,同理,存在N2,當n>N2時,有xn∈V.而這與U∩V=?矛盾,故假設不成立.

(充分性)用反證法.假設X不是T2空間,即存在兩個不同的點x,y,存在x和y的遞縮鄰域基{Un}和{Vn},滿足Un∩Vn≠?,隨著n的變化,取Un∩Vn中的點列xn,則有xn同時收斂于x和y這與條件中每個收斂序列只有一個極限點相矛盾.

在這里要說明一點:在Hausdorff空間中,收斂序列極限必定唯一;然而,若不滿足第一可數性公理條件,其逆命題就不成立.也就是說,不滿足第一可數性公理時,收斂序列極限不唯一,即序列收斂的刻畫并不充分。

為了使本文更有針對性,更加完整,同時也為了體現網收斂的普遍性和通用性,下面我們嘗試給出正則空間和正規空間關于網收斂的刻畫.

2.4 網收斂對正則空間的刻畫

定理2.4拓撲空間X為正則空間的充要條件是對X中的任意一點x和任一閉集A,x?A,存在包含x的子集B滿足:(1)收斂于B內點的網終于B;(2)B中所有收斂網的極限點的集合與A不交.

(充分性)設x為X中任意一點,A為不包含x的任一閉集,由定理條件知:存在包含x的子集B,滿足條件(1)和(2).

2.5 網收斂對正規空間的刻畫

定理2.5[4]拓撲空間X是正規空間的充要條件是對X中任意閉集A,B,且滿足A∩B=?,?E?X,A(或B)?E,滿足:(1)收斂于E內點的網終于E;(2)E中所有收斂網的極限點的集合與A(或B)不交.

(充分性)設X是拓撲空間,對X中的任意兩個閉集A,B,且A∩B=?.往證X是正規空間.設A為X中任一閉集,x為不包含于A的一點,由定理條件知:存在包含A(或B)的子集E,滿足條件(1)和(2).

3 結 語

由上面的論述中,可以看到,用網收斂可以刻畫拓撲學的許多結果,提出問題:在拓撲空間中,拓撲和網收斂的地位是否是等價的? 換句話說,是否可以用網收斂來完全刻畫拓撲? 答案是毋庸置疑的,事實上,Kelley(1950)在他的專著中介紹了可以用基于網的收斂類來導出任意論域上的拓撲的重要結果.