廖家鋒,蔣 維
(西華師范大學 a.數學與信息學院,b.公共數學學院,四川 南充 637009)
考慮如下分數階Schr?dinger-Poisson系統
(1)
(-Δ)s代表s階分數階Laplacian算子,根據文獻[1],定義如下:
其中P.V.代表柯西主值,C3,s是與s有關的維度常數。近年來,分數階Laplacian方程被廣泛研究和應用在金融和優化等許多領域中[2-4],因此引起了很多數學家對分數階Schr?dinger-Poisson系統的關注。
近年來,一些文章[5-10]研究了如下帶有臨界指數的分數階Schr?dinger-Poisson系統
(2)
定理1如果條件(V1)(V2)和(F1)—(F4)都成立,則系統(1)至少存在一個正解。
本文所用到的符號有:
(3)
(4)
方程(4)對應的能量泛函I為
故,對于所有的v∈H,都有
此外,易知能量泛函I的臨界點與方程(4)的解是一一對應的。
1)對所有的u∈H,滿足φu≥0;
引理2如果條件(V1)(F1)和(F2)成立,則
(a)存在ρ,α>0,當‖u‖=ρ時,滿足I(u)≥α;
(b)存在e∈H,當‖e‖>ρ時,滿足I(e)<0。
證明(a)根據條件(F1)和(F2)可知,對所有的ε>0,存在Cε>0,滿足
(5)
令Σρ={u∈H:‖u‖≤ρ},其中ρ>0,根據Sobolev不等式和(V1),可以推出
再根據引理1,對所有的u∈?Σp,可以知道
由于ε足夠小,故可以假設ε∈(0,V0),當ρ>0充分小時,可以推得
故(a)成立。
(b)對任意的t≥0,u∈H{0},有
于是,當t→+∞時,滿足I(tu)→-∞。因此,存在t0>0充分大,滿足‖t0u‖>ρ以及I(t0u)<0。取e=t0u∈H,則(b)也成立。從而,引理2證畢。
定義
(6)
其中
Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,I(r(1))<0}。
利用山路定理,存在序列{un}?H,使得
I(un)→c>0,I′(un)→0。
證明若{un}是泛函I在H上的局部的(PS)c序列,則當n→∞時,滿足
I(un)→c,I′(un)→0。
(7)
可以斷言:{un}是H上的有界序列。事實上,當n足夠大時,根據條件(F4)以及(7)式,有
這說明序列{un}在H上有界。故可知{un}存在子列(不妨仍記為{un})和u∈H,當n→∞時,滿足
(8)
(9)
(10)
再結合(10)式,可以推出
(11)
(12)
讓wn=un-u,根據Brézis-Lieb引理[13-14],有
‖un‖2=‖u‖2+‖wn‖2+on(1)。
(13)
根據Lebegue控制收斂定理和上式,可以知道
(14)
進一步,結合(13)式和(14)式,可知
(15)
同理,可得
(16)
(17)
(18)
(19)
證明由引理2知,當t>0足夠小時,有I(tvε)>0;當t→∞時,有I(tvε)→-∞。又有I(0)=0,因此存在tmax>0,使得I(tmaxvε)=supt≥0I(tvε)>0。由于對所有的ε>0,都存在tε>0,滿足‖tεvε‖=ρ,故由引理2知
0<α≤I(tεvε)≤I(tmaxvε)。
根據I的連續性,可以知道存在ε1>0和T1>0,使得對所有的ε∈(0,ε1),滿足tε≥T1。再根據條件(F1)(F2)和(18)(19)式可知,存在正常數C1,C2和C3,使得當ε>0充分小時,滿足
(20)
因此,存在ε2>0和T2>0,使得對所有的ε∈(0,ε2),有tε≤T2。此外,根據(20)式,可推得
(21)
定理1的證明根據引理2,可以得到泛函I具有山路幾何結構。再結合引理3-4得到,存在序列{un}?H,滿足I(un)→c,I′(un)→0,n→∞。從而序列{un}在H中有界且存在收斂子列(仍記為{un}),且存在u∈H,滿足un→u(n→+∞)。再由山路引理(見文獻[16],定理2.1),可以知道I(u)=c>0,I′(u)=0。因此,(u,φu)是系統(1)的一個非平凡解。又因為
所以有
≥‖u-‖2,