雙層耦合振子電網的彈性能力分析

王力梅, 李金悅

(1.天水師范學院 數學與統計學院,甘肅 天水 741001;2.陜西科技大學 數學與數據科學學院,陜西 西安 710021)

電網是包含發電節點、負荷節點以及傳輸線的人工構造的復雜網絡之一[1-2].電網在正常工作過程中會受到天氣、環境等各方面因素的影響,個別元件的失效往往會引起其他元件發生故障,進一步導致整個網絡的崩潰,電網比較脆弱[3-4].所以,網絡在面對失效時的彈性能力尤為重要.

目前,學者把二階擺動方程作為研究電力系統的一個簡化模型[5],電力系統通常以某種方式和信息網耦合為二層網絡,電網給信息網中的系統提供電力以維持其正常工作,信息網中的系統同時采集電網數據,以供工作人員監控和調配.文獻[6]分析了多層網絡的模型構造方法及其動力學行為描述.隨后,學者從不同的角度研究了電網面向元件失效時的穩定運行能力[7].然而,大多數已報道的研究成果忽略了真實的電網中傳輸線的傳輸能力并不是完全一樣的現實問題.

本文中,筆者基于二階擺動方程,考慮傳輸線的權重,構建2層耦合權重電網的數學物理模型,從能量流的角度分析電網面對級聯故障時的彈性能力,結合動力學理論和數值模擬結果討論電網在不同失效狀態下彈性能力的變化.

1 2層電力網絡數學模型

首先給出如下二階擺動方程:

(1)

忽略傳輸電線上的能量損失,則可得Gij=0,并且電壓取常值E′i=1.根據(1)可以得到電網一般化的數學表達式

(2)

每個節點的動力學都可以用(2)來描述,其中θi表示各節點的相角,ωi表示轉動頻率,Di表示阻尼系數,矩陣Bij表示傳輸線的(i,j)的傳輸能力.令發電節點Pi=1,負荷節點Pi=-1.電力網絡要正常穩定運行,必須保證所有的節點實現頻率同步.因此,根據電網模型可求出平衡點

(3)

其中,i0表示節點的相位角、頻率在此平衡狀態下的值.

主要考慮雙層網絡的不同層的節點數相同、層與層之間一對一連接的情形,即第1層的節點在第2層有對應的節點.同時假設每條邊的傳輸能力權重為γi,γj,分別表示節點i和j的度.由此,雙層權重網絡的動力學方程可描述為

(4)

為了簡單起見,固定阻尼參數D=1,假設層A和層B含有相同的發電節點和負荷節點數,上述情形的網絡拓撲結構如圖1所示.

圖1 2層網絡的拓撲結構圖Fig.1 The Topology of Duplex Network

對于電網來講,節點i和j之間的傳輸能量流近似表示為Fij=Bij(θi-θj),并且能量流Fij與傳輸線的權重有關.因此,能量流可進一步描述為

Fij(t)=|(γiγj)Bijsin(θi(t)-θj(t))|.

(6)

用能量流的改變程度評估電網面對失效時的彈性能力是一種有效的方法,根據(6),假設一條傳輸線上可以承載的最大能量流為Cij=αFij,其中α∈[0,1]是可調參數.為了保證電網的正常運行,網絡中所有傳輸線上的能量流需要滿足如下條件:

|Fij(t)|≤Cij=αBij(γiγj).

(7)

2 電網的彈性能力分析

從電網穩定運行的角度來講,彈性能力主要體現在面對不同類型的元件失效時,電網能否保持正常運行的能力.假設最初的失效由一條傳輸線的失效引起,同時導致耦合矩陣的值發生改變,最終使得所有傳輸線上的流量發生改變.對于前述的網絡拓撲結構,當傳輸線的連接發生改變時,可由(4)重新計算新網絡中的節點的相角以及傳輸線上的能量流.基于電網的實際特征,將網絡的傳輸線分為同質線和異質線2大類,其中同質線表示傳輸線兩端的節點屬性一致,如同為發電節點或者負荷節點;異質線表示傳輸線兩端節點的屬性相反.

假設圖1所示的拓撲結構網絡在初始狀態保持穩定運行,在此狀態下,網絡節點的相角以及傳輸線上的能量流隨時間的演化過程如圖2所示.

a.所有相角趨于一個固定值; b.傳輸線上能量流隨時間的演化過程.圖2 相角及傳輸線上能量流隨時間的演化過程Fig.2 The Original Power Network Maintains Steady State

由圖2可以看出,網絡的節點相角趨于常值,傳輸線的能量流趨于定值,電網正常運行.

如果從電網中刪除一條同質傳輸線e58以蓄意攻擊原始電網,圖3顯示了網絡受到攻擊后所有節點的相角及能量流隨時間的演化過程.觀察圖3可知,網絡節點的相角隨時間的演化依然趨于常值,傳輸線上的能量流與原始穩定網絡中差值很小,且可以保證每條傳輸線不超過其最大傳輸能力.這表明,當原始電網移除一條同質邊時,彈性能力比較強,網絡可以保持穩定運行.

如果移除一條異質邊e39以蓄意攻擊原始電網,圖4顯示了網絡中節點的相角、頻率和能量流隨時間的演化過程.觀察圖4可知,網絡節點的相角、頻率隨時間的演化呈無序態,并且在可調參數取定值的條件下,傳輸線上的能量流超過了初始穩定狀態的臨界值.

由圖3和圖4可得出結論:在刪除異質邊攻擊的情況下,網絡彈性能力變弱;而刪除同質邊攻擊的情況下,網絡彈性能力變強.

3 結 論

基于雙層加權電網的數學模型,從能量流的角度分析了電網在不同傳輸線被移除時,網絡抵抗失效的能力;并以一個雙層電網為研究對象,借助數值仿真的方法分析了電網的彈性能力的變化.結果表明,在同質傳輸線失效時,網絡彈性能力較強,而在異質傳輸線失效時,網絡彈性能力較弱.所得結果可在一定程度上為實際網絡的構建及保護措施提供理論依據.