粒子加速器準直中測站坐標系高精度恢復方法

陳 哲,范百興,鄒方星,段童虎,黃 赫

(信息工程大學 地理空間信息學院,河南 鄭州 450001)

粒子加速器作為“大國重器”,為物理、醫學、材料科學等眾多學科提供大量尖端研究手段[1]。為保證粒子按照設計軌道運行,對準直測量精度提出了很高要求[2]。準直測量工作的主要任務是將所有元件高精度安裝至設計位置,實際測量過程中,需要在實驗室進行元件預準直,即將多個元件安裝在同一支架上,作為一個預準直單元,之后運輸至粒子加速器隧道進行現場安裝[3]。為提高測量效率、保證測量精度,中國散裂中子源[4]基于最小二乘原理,恢復激光跟蹤儀測站坐標系,并設計制作專用吊車完成預準直單元安裝;北京高能同步輻射光源[5]利用振動線完成磁鐵磁中心引出,保證誤差在10 μm內的情況下,基于多路激光“三高一低”的布設方案進行預準直[6],這與北京正負電子對撞機[7]均基于坐標轉換原理,先恢復激光跟蹤儀測站坐標系,再進行預準直單元安裝。國內粒子加速器隧道控制網主要采用激光跟蹤儀多測站架設建立三維控制網[2],由于高程方向誤差累積明顯,王小龍等[8]將大地水準面作為基準獲取高程數據,建立附有高程約束的三維平差,實現高程方向誤差累積的有效控制。

目前有關粒子加速器準直測量工作的研究,主要集中在元件預準直及高精度控制網的布設。針對測站坐標系的恢復問題,往往基于公共點坐標轉換算法,依據最小二乘原理實現[3],并未顧及控制點在全局及激光跟蹤儀測站坐標系下的點位誤差?，F有較為成熟且廣泛應用的坐標轉換方法主要有奇異值分解(singular value decomposition,SVD)法[9]、四元數法[10]、正交Procrustes法[11]、羅德里格矩陣法[12]、加權整體最小二乘(weighted total least squares,WTLS)法[13]等,均根據公共點坐標距離平方和最小構造目標函數,基于最小二乘算法獲取最優解。其中,SVD法與正交Procrustes法理論簡單易實現,但當公共點過于密集時,旋轉矩陣的正確性無法保證;四元數法基于線性微分方程,獲取旋轉矩陣,運算簡單,且在求解過程中,不存在奇異點;羅德里格矩陣法穩定性強,但計算過程復雜,不易實現。文獻[14]研究表明,上述方法在進行坐標轉換過程中,精度差值均在2 μm內,相差較小,但均未考慮點位誤差對轉化精度的影響。WTLS法顧及觀測值及系數矩陣的隨機誤差,同時考慮到系數矩陣中各隨機元素的精度不同,在一定程度上提高了轉換精度,但無法顧及旋轉矩陣正交約束條件。針對此問題,本研究構建了顧及點位統計性質的測站坐標系恢復模型,在考慮旋轉矩陣正交約束條件的基礎上,利用李代數思想對已構建的數學模型進行線性化和迭代計算,并通過仿真與實測實驗,驗證了本研究方法的正確性及有效性,相較于傳統測站坐標系恢復方法精度更高。

1 測站坐標恢復

1.1 測站坐標恢復及元件安裝原理

粒子加速器設計過程中,需確定設備基準點在待安裝全局坐標系中的理論坐標值。目前,全局坐標系作為準直測量的全局基準,主要利用GNSS、陀螺全站儀、水準儀等進行觀測,通過布設一級地面網提供絕對位置參考,因控制網的精度逐層增高,只保留必要起算數據控制二級隧道網[15];利用激光跟蹤儀、水準儀等構建附加約束的三維控制網,提供高精度相對定位[16]。隧道網控制點分布在隧道內截面方向的墻面、地面和頂面,如圖1所示。

(1)

εi=Xi-k(Rxi+T)。

(2)

其中:R、T分別為控制點在兩坐標系下的3×3旋轉矩陣、3×1平移矩陣;εi為3×1的測站坐標系恢復殘差矩陣,考慮到激光跟蹤儀的高精度測距能力,取k=1。

預準直時,采用水準儀、經緯儀、激光跟蹤儀、電子水平儀、振動線技術等,確定元件機械重心與物理重心的關系,并關聯至元件基準點上[17]。此時,利用激光跟蹤儀測量待安裝元件基準點yi,按照式(3),基于已恢復的測站坐標系,將元件基準點坐標轉換至全局坐標系下,計算設計位置的偏差并進行準直調整。

Yi=Ryi+T。

(3)

其中:Yi、yi分別為待安裝元件的基準點在全局與激光跟蹤儀測站坐標系下三維坐標。

1.2 構建數學模型

粒子加速器二級隧道控制網通過多測站聯合平差解算(Xi,Yi,Zi),(xi,yi,zi)依據激光跟蹤儀球坐標測量原理獲取,如圖2所示。

圖2 多測站聯合測量及球坐標測量原理

(4)

其中:Si、Vi、Hi分別為距離、天頂距、水平角觀測值。對式(4)取全微分,得到系數矩陣K。按照方差-協方差傳播定律計算方差-協方差矩陣

(5)

顧及控制點在全局坐標系和測站坐標系下點位誤差對式(1)中R、T計算結果準確度的影響,根據方差-協方差傳播定律確定權陣

(6)

擴展式(2)為:

(7)

此時,式(7)中涉及的極小值問題可以轉化為:

(8)

構建數學模型,則求解問題可以轉化為解算方程:

wi(Xi-Rxi-T)=0。

(9)

1.3 線性化方法

非線性方程組的求解分為最優化迭代和智能優化方法,其中最優化迭代計算依賴初值的選取,且易陷入局部最優;智能優算法面臨求解精度不高,且針對特定問題無法保障解算性能等問題。相對于非線性方程,線性方程的求解技術更加成熟[18],目前主要依據最小二乘算法實現。針對坐標轉換問題,擴展至加權整體最小二乘算法,但該算法推導繁瑣、不便于理解,坐標轉換精度影響因素不直觀,且無法顧及旋轉矩陣正交約束條件。因此提出李代數理論,李群(SO(3))是具有群結構的光滑流形,李代數是其單位元處的正切空間,旋轉矩陣屬于SO(3)[19]。根據李代數理論,將目標函數線性化,之后進行迭代計算,獲取未知參數高精度解算結果。

旋轉矩陣R通過李代數指數映射和冪級數展開獲得:

(10)

此時式(9)可表示為:

(11)

(12)

此時,式(11)可表示為:

(13)

1.4 迭代算法

圖3 計算流程圖

(14)

2 誤差分析

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)得:

(17)

根據式(10)和簡化式(17)可得:

(18)

式(11)可變換為下列方程組:

(19)

wiCW=wie,

(20)

由此可得,解算結果誤差由控制網點平差解算算法、觀測誤差、測站坐標系下觀測誤差及控制點布局決定。測站坐標系恢復過程中,控制點在全局和測站坐標系下三維坐標精度、空間布局、數目等因素均影響解算結果。

3 仿真分析

分別利用WTLS方法和本研究方法進行數據處理。對比兩種方法解算所得的旋轉矩陣、平移矩陣元素及與其真值的差值,結果如圖4所示。相較于WTLS算法,本研究提出的線性迭代解法所得的旋轉、平移矩陣精度明顯提高,其中旋轉矩陣元素最多提高2 μm,平均提高1 μm;平移矩陣最大提高4.9 μm,平均提高1 μm。通過改變公共點個數計算兩種方法對應的均方根誤差(root mean square error,RMSE),如表1所示。

表1 不同公共點按照WTLS和本研究方法的RMSE

圖4 不同方法解算的旋轉、平移矩陣元素及與其真值的差值

由表1中可知,相較于WTLS算法,本研究方法在進行測站坐標系恢復時,RMSE明顯降低,最少降低4 μm,最多降低42 μm,在3～8個公共點的情況下平均降低18 μm。仿真結果驗證了本研究方法的正確性。

4 實測驗證

在溫度相對穩定的某光源直線段內利用AT960激光跟蹤儀進行多測站觀測,保證相鄰測站至少存在3個公共點。如圖5所示,實驗前儀器經過計量檢定符合標稱精度。

圖5 測站及控制點分布

以第一測站坐標系為全局坐標系,按照多測站聯合平差方式獲取控制點全局坐標[22]。在直線段某磁鐵附近,自由設站架設激光跟蹤儀,對已知全局坐標的控制點進行觀測,得到25個全局控制點在測站坐標系下的三維坐標。張皓琳等[23]研究表明,在進行坐標轉換過程中,隨公共點個數增加,轉換誤差減小,但當公共點超過6個時,轉換精度改善不明顯。為兼顧測量精度和實際測量過程中測站坐標系恢復效率,選擇8個公共點進行測站坐標系恢復,8個公共點在全局及測站坐標系的三維坐標如表2所示。

表2 8個公共點在全局及測站坐標系的三維坐標

分別利用WTLS方法和本研究方法對兩組坐標進行處理,恢復自由設站激光跟蹤儀測站坐標系,得到兩種方法的RMSE,如圖6所示。相較于WTLS算法,本研究方法在進行測站坐標系恢復時,RMSE明顯降低,其中最少降低27 μm,最多降低36 μm,在3～8個公共點的情況下平均降低30 μm,減小了54.5%,驗證了本研究方法與傳統方法相比恢復精度明顯提高。當公共點大于6時,解算精度趨于穩定,與文獻[23]結論一致。將測站坐標系除公共點外17個控制點的三維坐標,分別利用WTLS與本研究方法恢復的測站坐標系參數轉換至全局坐標下,計算坐標分量與全局坐標系下三維坐標分量之差,結果如圖7所示。

圖6 不同公共點按照WTLS和本研究方法解算所得RMSE

圖7 兩種方法轉換后三維坐標分量與全局坐標分量之差

由圖7可知,利用WTLS方法恢復測站坐標系,將非公共點三維坐標轉換至全局坐標,轉換后各點坐標分量與全局坐標同一點坐標分量的差值最大為22 μm,最小為2 μm,平均為8 μm。根據本研究方法恢復測站坐標系,非公共點轉換后各點坐標分量與全局坐標同一點坐標分量差值最大為12 μm,最小為0.5 μm,平均為5 μm。實測結果表明,依據本研究方法進行測站坐標系恢復,顧及點位位于測站及全局坐標系下點位誤差的同時,還考慮旋轉矩陣的正交約束條件,比WTLS方法恢復的測站坐標系精度更高。

仿真分析和實測實驗驗證了本研究提出的線性迭代算法恢復測站坐標系的正確性,同時依據激光跟蹤儀測站坐標系恢復的RMSE,以及基于已恢復的測站坐標系參數,將測站坐標系三維坐標轉換至全局坐標系,得到與全局坐標系三維坐標分量的差值。結果表明,針對測站坐標系恢復問題,考慮點位在測站及全局坐標系的點位誤差基礎之上還顧及旋轉矩陣正交約束條件,引入李代數理論迭代計算恢復測站坐標系,理論更加嚴密、恢復精度更高,對實際測量工程具有實用價值。

5 結束語

本研究在激光跟蹤儀測站坐標系恢復過程中,顧及點位在測站及全局坐標系下的點位誤差和旋轉矩陣的正交約束條件,依據李代數思想推導線性迭代算法,實現了粒子加速器準直過程中激光跟蹤儀測站坐標系高精度恢復的目的。同時,定性分析了影響測站坐標系精度恢復的因素。在此基礎上,分別利用本研究方法與傳統方法處理仿真與實測數據,驗證了本研究所提出的線性迭代算法的正確性,并在一定程度上提高了測站坐標系恢復精度,為實現元件高精度安裝提供了保障。研究還發現,測站和點位的布局、數目以及實測過程中大氣溫度、濕度、壓強、反射靶球球心偏差和入射角誤差等均影響數據的解算結果,后續可對此問題進一步研究。