任意線性荷載下懸臂梁半逆解法研究

易 超

(西南交通大學土木工程學院,四川成都 610031)

0 引言

懸臂梁在土木工程中有著廣泛應用,如房屋結構中的挑梁,基坑圍護結構中的擋土樁,邊坡加固中的抗滑樁等均可看做懸臂梁[1]。材料力學基于平衡方程、物理方程和平面假定給出了常見短梁的計算結果[2],但由于把梁假設為縱向纖維受拉的桿件,無法得到其內部應力分布和變形情況,忽略了擠壓應力的存在。彈性力學[3-4]給出了在集中荷載和均布荷載作用下懸臂梁的彈性力學解;南忠俊[5]、張琦躍[6]分別給出了矩形截面梁在受到純二次和四次分布荷載時的應力函數和應力解,但其求解模型中荷載在梁上最小值為0,在實際應用中往往很少出現這種情況,更多情況是呈梯形分布的荷載;劉鴻[7]計算基坑中雙排抗滑樁位移時將其看做立起來的懸臂梁,采用彈性力學應力函數法分別求出矩形分布荷載和三角形分布荷載對樁產生的位移后再疊加的計算方法,計算過程較為繁瑣。而針對懸臂梁在任意線性荷載作用下的該如何采用彈性力學半逆解法求解,尚無學者提出。

1 理論推導

1.1 確定應力函數

采用彈性力學半逆解法求解受荷變形問題,關鍵在于如何選取既滿足相容方程又滿足邊界條件的應力函數[8]。隨著受荷形式的愈趨復雜,應力函數的選取也愈困難,對受多項式分布荷載的狹長截面梁通常取應力函數為多項式形式[9]。

設有模型如下(為便于計算,按平面應變問題考慮且不計體力):

圖1 推導模型

梁長為d,梁高為h,上邊緣受到大小為q(x)=q+kx的分布力作用,根據材料力學理論很容易得到橫截面上的正應力為式(1)。

(1)

式中:M(x)為彎矩;Iz為橫截面慣性矩;

對于給定的梁Iz為常數,因此將上式看成一個與x有關的函數和與y的函數的乘積。在彈性力學中有式(2)。

(2)

積分之后得到的應力函數應為數項關于x和y的函數乘積之和,形如式(3)。

(3)

式中:n為分布荷載的次數。

因此本文可選取應力函數為式(4)。

φ(x,y)=x3f3(y)+x2f2(y)+xf1(y)+f0(y)

(4)

式中:f3(y)、f2(y)、f1(y)、f0(y)為關于y的待定函數,應力函數應當滿足相容方程

并且x在區間[0,d]上滿足,所以與x有關項系數應等于零,可求得各待定函數為式(5)～式(8)。

f3(y)=Ay3+By2+Cy+D

(5)

f2(y)=Ey3+Fy2+Gy+H

(6)

(7)

(8)

將式(5)～式(8)代入式(4)得應力函數為式(9)。

φ(x,y)=x3(Ay3+By2+Cy+D)+

(9)

1.2 應力求解

根據應力函數與各應力分量之間的關系,得到各應力分量為式(10)～式(12)。

(6Ax3+6Ex2+Jx+M)y+2Bx3+2Fx2+Kx+N

(10)

2(Ey3+Fy2+Gy+H)

(11)

(12)

式(10)～式(12)中A～L為待定系數,可根據應力邊界條件確定。

主要邊界條件為:

當x=0時,梁左端為次要邊界,力的分布形式未知,可用圣維南原理放松

主要邊界條件應當精確滿足,即x的各次項系數為0,根據上述邊界條件可建立13個方程,應力函數中共有13個待定系數,將所有方程聯立可解得所有待定系數如下:

對于右端固定端邊界,根據彈性理論,對于一個平衡體,如果物體內部滿足平衡微分方程,在精確滿足主要邊界條件,以保證解的有效性的前提下,僅需滿足部分力的邊界條件時,剩余部分邊界條件在積分意義下可自動滿足,因此可無需驗證。

將所求得的待定系數的值代入式得到各應力分量如式(13)～式(15)。

(13)

(14)

(15)

1.3 位移求解

根據彈性力學物理方程和幾何方程可得到水平位移、豎向位移的計算式和剪應力的相等關系為式(16)～式(18)。

(16)

(17)

(18)

式(16)～式(18)中:E為彈性模量;μ為泊松比;u、v分別為x、y方向的位移見式(19)、式(20)。

所以

(19)

(20)

將式代入式得到式(21)。

(21)

將式左右兩邊分別看成是關于x、y的函數,并令其左右兩邊相等等于一個常數ω,則得式(22)、式(23)。

(22)

(23)

對式積分得到式(24)、式(25)。

(24)

(25)

因此懸臂梁內任意一點的位移為式(26)、式(27)。

(26)

(27)

令y=0,可得到撓度方程為式(28)。

(28)

2 結果討論

在本推導模型中,由于按照平面應變問題考慮,截面寬度取為一個單位寬度,根據材料力學理論, 梁的彎矩和剪力分別為

懸臂梁在受任意線性荷載分布荷載下材料力學應力解為式(29)。

(29)

若規定撓度向下為正,可得到材料力學中的撓度方程為式(30)。

(30)

對比式可知,材料力學解的σx、τxy分別為對應彈性力學應力解得第一項,彈性力學中其余項為修正項;σy為擠壓應力,與材料力學結果完全不一致,這是因為在材料力學中作了縱向纖維受拉的假定,忽略了擠壓應力的存在,因此,這也在預料之中[10-11]。

對比式可知,對于撓度方程,材料力學的解答均能在彈性力學應力函數解答中找到與之對應的項,材料力學中對撓度計算采用了簡化處理的方法且沒有考慮到泊松比對變形的影響,彈性力學解將泊松比考慮進去,對結果行了修正,式剩余的四項正為彈性力學的修正項。相比于材料力學解答結果,彈性力學解答不僅能得到撓度方程,也能得到物體內部任意一點的應力與變形,這在解決與其他物體接觸時的變形協調問題時相比于材料力學更具有優勢。

此外,在式中若分別令k=0和q=0可得到懸臂梁分別在均布荷載和三角形荷載下的各應力和位移解,相較于僅受均布荷載或三角形荷載下懸臂梁的彈性力學解,本文推導結果適用性更廣,如在工程中遇到懸臂梁受梯形分布、三角形分布或均布荷載的情況時無需重新推導,可直接適用。

3 算例

某懸臂梁長5 m,橫截面高0.8 m,彈性模量為E=210 MPa,泊松比μ=0.2,在梁上受到q(x)=(6+2x) kN/m的分布力作用,為簡化計算在此不考慮重力作用。

根據本文所得結果與材料力學所得結果計算出撓度方程w、切應力τxy、固定端的正應力σx以及自由端擠壓應力σy方程,并與ABAQUS有限元結果進行對比分析如表1、圖2～圖6所示。

表1 各方程對比

圖2 位移云圖

圖3 撓度變化

圖4 中性軸線剪力

圖5 固定端水平正應力與梁高變化

圖6 自由端擠壓應力

將理論結果與有限元結果繪制在同一圖中梁的撓度,材料力學計算結果最大,有限元結果居中,應用本文方法計算結果最小,但三者在自由端最大誤差在3 mm以內,滿足要求;對于梁中性軸上的剪力,與材料力學結果基本一致,僅相差一個0.01 kN的修正項,有限元計算結果最小,三者誤差在1%以內,滿足工程設計要求;對于固定端的正應力,材料力學結果最大,有限元計算結果最小、應力函數法計算結果居中,與材料力學結果相比多了一項62.5y3,但相對誤差很小,兩者沿梁高方向正應力曲線基本完全重合;對于擠壓應力,材料力學中將其忽略為零,這顯然與實際情況不符,本文方法計算出擠壓應力沿梁高呈三次曲線分布,中性軸以上較有限元結果稍偏大,中性軸以下較有限元結果稍偏小,整體分布規律一致。

4 結論

(1)針對懸臂梁在工程中應用廣泛,材料力學解答無法得到其內部任意一點的應力和變形,從材料力學理論與彈性力學受力邊界條件進行分析,提出了任意線性荷載下懸臂梁的應力函數表達式。

(2)根據邊界條件對未知量進行求解得到了相應的應力和位移表達式并與材料力學結果進行了對比分析,表明材料力學中的撓度、正應力、切應力在本文推導的結果中都能找到與之對應項,本文結果在材料力學結果之上多出了修正項。

(3)材料力學結果沒有考慮擠壓應力,本文方法求得擠壓應力沿梁橫截面高度呈三次曲線分布,大小與數值模擬結果基本一致。

(4)選取一個實際案例分別應用材料力學結論、有限元和本文推導結果分別計算出撓度、剪力、固定端正應力和自由端擠壓應力分布形式,并將3種方法所得結果進行對比分析,進一步驗證了本文所提應力函數和求解結果的優越性和可行性。