基于混合策略改進粒子群算法的配電網無功優化研究

馬永翔，張勛，淡文國，閆群民

（1.陜西理工大學電氣工程學院，陜西漢中 723001；2.烏蘭察布電業局，內蒙古烏蘭察布 012000）

0 引言

隨著我國電網規模不斷擴大，負荷的需求不斷增長，對電力系統的運行也提出了更高的要求，合理的調整無功功率可實現降低系統網損，提高電能質量的目標，對電網的經濟、安全運行有著重要作用。配電網無功優化通常包含選擇無功補償點和優化無功補償量兩方面[1-7]。

無功補償點的選擇一般有靈敏度分析法、奇異值分解法[8]以及無功精確矩法[9]等方法，文獻[10]利用二階網損靈敏矩陣計算靈敏度，并計及補償點對潮流和靈敏度的影響，解決了傳統靈敏度分析法因存在虛高補償點使補償容量限值不定。文獻[11]優化了原無功精確矩法只進行一次潮流計算的劣勢，通過多次進行潮流計算確定補償點，有效的解決了補償點過于集中、分布不均的問題，同時求解補償點和補償容量，可能會因補償點過多，導致變量維數激增造成計算量過大[12-13]，且不能保證求取的補償點和補償容量是最優的，文獻[14]先通過模糊聚類法和聯系多種電壓指標確定系統薄弱點，后求取補償點，但并未考慮上一補償點對系統潮流的影響，易造成過補償。

無功補償容量的優化是一個復雜的非線性問題，傳統的非線性規劃法、牛頓法等，對初始點的求解較為復雜且迭代步長選取不當也會造成收斂速度變慢。為此新興的智能算法包括遺傳算法[15-16]、粒子群算法[17-19]、鯨魚算法[20-21]等，相繼出現在無功優化問題求解中。其中，粒子群優化算法（particle swarm optimization，PSO）具有設置參數較少、優化效率高、實現簡單等優勢，但在后期尋優過程中，易陷入局部最優，即“早熟”現象。

為處理同時求解補償點和補償容量易導致計算量過大且結果非最優的問題，本文先對無功補償點進行優化，在奇異值理論的基礎上，考慮多次潮流計算，計及上一補償點對潮流的影響，順序確定補償點，防止無功的過補償，同時為解決基本PSO算法后期易早熟、收斂慢等缺點提出了一種多策略融合的改進粒子群優化算法（improved particle swarm optimization，IPSO），利用混沌機制產生混沌序列改變粒子運動軌跡，確保初始種群中粒子的多樣性，引入Logistic 生長函數并把群體適應度方差和Tent混沌變換相聯系動態的設置慣性因子的取值，有效保證粒子前期的多樣性和后期搜索能跳出局部最優能力，在所形成的精英集中利用最速下降法求解，加快收斂速度。最后在IEEE 30 節點算例驗證其有效性。

1 配電網雙目標無功優化數學模型

1.1 目標函數

本文主要從經濟和安全的角度出發，降低系統的損耗和提高電壓穩定性。

1）配電網網損最小

式中：Nk為總支路數；Gij為節點i、j間電導；Vi、Vj為i、j節點電壓幅值；θij為節點i、j間的相位差。

2）電壓平均偏離最小

式中：γ1為懲罰因子；Ui為i節點的實際電壓；UNi為節點i的標稱電壓；n為節點總數。建立網損最小，電壓平均偏離最小的綜合目標函數[22]，并進行標幺化處理后加權[23-24]。

式中：λ1、λ2為權重系數；P0為原網絡有功損耗；U0為初始電壓平均偏差。

1.2 約束條件

1）節點的潮流平衡約束方程為

式中：PGi、QGi為i節點機組有功、無功輸出；PLi、QLi為各節點負荷消耗的有功、無功功率；Gij、Bij、θij為節點i，j間電導、電納、電壓相角差；N為總節點數。

2）變量約束方程

控制變量約束方程為

狀態變量約束方程為

式（5）、（6）中：Ng、Nc、Nt、NPQ分別為機組數、補償節點數、變壓器分接頭數、負荷節點數；UGi為機端電壓；QGi為機組無功出力；QCj為無功補償量；Ttk為變壓器檔位；Ui為負荷節點電壓，在下標中帶有“max”、“min”對應相應變量的上、下限。

2 無功補償點的優化

本文選用優化后的奇異值分解法對無功補償點進行優化。對雅克比矩陣奇異分解得到最小奇異值，并排序按照右奇異向量最大值作為無功補償點。正常運行下潮流修正方程為

設雅克比矩陣為n階矩陣，奇異值分解為

式中：V和U為正交矩陣；vi和ui為奇異值向量對應V和U的第i列；∑為δi對角矩陣。

根據修正方程可得相角和電壓幅值的變量為

由式（9）可知，當δi接近0 時，任何微小偏移會導致相角和電壓幅值產生極大變化，假定最小奇異值為δmin其對應的左右奇異向量分別為vmin、umin。當功率變化量和左奇異矩陣相等時，根據正交性質可得

式中，vmin中最大元素和電壓幅值相對應，故可由其雅克比矩陣中右奇異向量中最大元素的幾個值來作為無功候選補償點。

上述方法在確定補償節點時，往往只采用一次潮流計算，當所選補償點較為集中時，未考慮補償后節點對潮流計算的影響，導致無功過補償。

為此本文選擇無功補償點，先計算原始潮流，再由式（10）獲取首個補償點，設節點為k，流入該點的有功功率為Pi，補償前功率因數為cosφ1，補償后功率因數為cosφ2，則首個補償點容量為

將已補償節點的無功補償看成負載，即節點上功率增加-Qci，重復潮流確定后續補償點。

3 改進的粒子群無功優化算法

3.1 基本粒子群算法

PSO 算法最早起源于生物學家對鳥類覓食過程的研究。PSO 算法在針對無功優化問題求解時，各粒子的位置使用相應的控制變量表示，速度表示各控制變量的修正量，將每次計算的控制變量值帶入式（3）中可得到適應度值（目標函數值），并經k次迭代后可得個體極值和全局極值，再通過式（12）來更新速度和位置，最終獲取最優解。

式中：k為迭代次數；ωk為第k次迭代時的慣性因子；為k次迭代粒子i的位置和速度；為k次迭代時粒子i個體極值和全局極值；c1、c2為學習因子，代表能夠尋求得到兩個最優極值的加速因子；r1、r2為隨機均勻分布在（0，1）間的數。

使各個控制變量跟隨迭代次數不斷更新，每次迭代進行一次潮流計算，滿足收斂條件后得到無功優化中的最優解。

3.2 改進的Tent混沌初始化

基本PSO 算法隨機初始化種群，但并不能保證解的遍歷性、多樣性，易導致某些粒子偏離最優解，影響求解速度[25]。因此為保證解的有效性，本文采用改進的Tent 映射對粒子群初始化，得到優選的初始粒子群體，即無功優化中控制變量的位置和速度。其公式為

式中，當zk=0、0.25、0.5、0.75 或zk=zk-m時，其中m=（1，2，3，4），則采用公式為

根據式（13）和式（14）產生混沌變量β(k,i)，其中：k=1，2，3，…，N-1；i=1，2，3，…，m；N是粒子種群的規模；m為粒子的控制變量維度。利用混沌變量迭代搜索，再通過式（15）把混沌變量β(k,i)變換為式（5）控制變量的約束范圍內，得到控制變量x(k,i)，(ximin，ximax)為控制變量上下限約束。

最后根據式（3）計算出各向量對應的適應度，按大小排列，選取前n個作為粒子群初始位置，同時隨機生成n個初始速度。本文中n取15。

3.3 慣性因子和學習因子的設置

由于在求解中可能會使粒子出現集聚，導致粒子易陷入早熟，故引入混沌擾動改進慣性因子，對慣性因子產生細微的改變后對后續尋優影響巨大，并跳出局部最優。

PSO 算法進行無功優化時，根據式（12）可知慣性因子ω決定著粒子速度對次代粒子的影響程度，影響著算法的速度和精度性能，ω較大時，粒子速度的增大，搜索空間增大易于全局尋優，ω較小時，易于局部尋優，動態調節ω的取值有利協調算法的全局搜索和局部搜索間的矛盾。且在尋優的過程中，種群的多樣性會降低；種群中個體會聚集在空間中某些位置，可能會使算法出現早熟收斂，為保證粒子的多樣性引入群體適應度方差（粒子之間的熵值），通過熵值的大小來衡量粒子間的集散程度。

式中：熵值δ2的值越大，粒子間越分散，反之粒子間的熵值越小，粒子間越收斂；N為種群規模大??；fi、fav分為粒子適應度值和適應度平均值；f是為了限制調整δ2值的大小。公式為

本文利用Logistic 函數S(x)來控制慣性因子ω的取值，Logistic 是非線性函數，起始階段呈指數增長，后期飽和增長變慢，具有S型生長曲線，對中間值敏感的特點，利用此函數來構造ω的生長曲線。當 |δ2|≤ε時，說明種群中的粒子聚集，可能陷入局部最優解，此時引入混沌擾動，調整慣性權重ω，提高解的多樣性，防止得到局部最優解。z為由混沌擾動后的值。

式（18）、（19）、（20）中：Tmax為最大迭代數；ωmax、ωmin為慣性因子的最大值、最小值；t為當前迭代數；z0為在（0，1）間隨機產生的數。

選擇恰當的學習因子直接會影響算法的性能，c1控制個體的自我認識能力，c2控制個體的社會認知能力，學習因子c1，c2在整個求解過程起到調整個體極值和全局極值的作用。為了提高求解效率和精度，在算法早期迭代階段使c1>c2，使粒子朝著全局最優方向學習，而在后期的搜索過程中，c2>c1，使粒子向著局部搜索學習，最終在總結分析現有典型的線性變化學習因子后，采用一種正弦函數變化的學習因子。

3.4 最速下降法

最速下降法對求解無約束問題效果明顯，搜索方向沿負梯度方向，具有計算量小，收斂速度快的特點，適用于對后期的局部尋優。步驟如下：

Step1：取初始點x0，令k=1，設置終止誤差為θ；

Step2：若‖?f(xk) ‖≤ε停算，取xk最優解，否則dk=-?f(xk)；

Step3：確定步長因子 令xk+1=xk+αdk，k=k+1，跳回Step2。

4 改進PSO算法的無功優化求解

4.1 算法流程步驟

Step1：設置初始化參數，包括群體適應度方差的臨界值，種群規模的大小N，迭代次數Tmax，各變量的取值范圍及算例參數等以及對改進的粒子群算法中參數的設置（c1、c2、ωmin、ωmax等）。

Step2：設置迭代次數t=1，對粒子的速度、位置初始化，按降序排列粒子適應度值，找出各粒子和，并將其存入精英集P中。Step3：初始化潮流計算參數。由式（16）-（19）更新慣性因子ω，根據無功優化算法式（12）對粒子速度、位置進行更新。

Step4：根據目標函數法（3）確定各粒子的適應度值，對適應值的大小進行排列，并比較粒子的優劣，更新和并將其存入精英集P。

Step5：判斷算法是否滿足最大迭代次數Tmax，如果(t≥Tmax)轉向Step6，否則返回Step3。

Step6：在精英集中選取50% 的最佳粒子利用最速下降法進行尋優，利用尋優結果再次更新精英集P。

Step7：輸出精英集P中的最優解。

算法流程圖見圖1。

圖1 算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart

4.2 算例分析

本文算法利用IEEE 30 節點算例，見圖2。3 臺并聯電容器安裝在節點3、10、24，詳細參數見文獻[26]。補償電容器步長因子lQ為1 Mvar，分為50 段；變壓器變比的步長為0.025，共8 檔，發電機出力、變壓器參數設置見表1-2。

表1 發電機參數及其上下限值Table 1 Parameters and their upper and lower limit of generator

表2 各節點電壓和變壓器變比上下限Table 2 Upper and lower limit of node voltages and transformer ratio

圖2 IEEE 30節點模型Fig.2 Node model of IEEE 30

設置各節點的初始電壓值為1.0 p.u.，變壓器變比設置為1，允許電壓偏離范圍設置為0.94～1.06 p.u.，基準功率SB=100 MVA，計算系統原始網損Ploss=20.88 MW，4 個節點電壓越限，4 個發電機節點無功越限，見表3。

表3 節點電壓和發電機無功出力情況Table 3 Node voltage and reactive power output of generator

采用優化后的奇異值分解法選擇無功補償點，原33 節點系統共有3 個補償點，需進行3 次潮流計算依次選點。計算得到的右奇異值指標見表4。

表4 系統右奇異值指標Table 4 Index of the right singular vector index

通過表4 可得節點26、29、30 的右奇異值最大，故選作補償節點。將所選補償節點與原補償點進行對比仿真驗證，優化算法采用本文IPSO 算法，優化后的結果見表5。

表5 無功優化結果對比Table 5 Comparison of reactive power optimization

由表5 結果可知，方案1 和方案2 對降低網損效果相差不大，但相比于系統原網損，明顯降低了網損，約為17.1%，經選點優化后，方案2 相比于方案1 無功補償容量大幅度減少，說明本文方法選擇的無功補償點更有效。

為進一步驗證本文所提算法的有效性，以方案2 選擇補償點，選取基本粒子群（PSO）算法、線性遞減權重因子粒子群算法（LDWPSO）算法、自適應權重因子粒子群算法（WPSO）以及本文的IPSO 算法進行仿真對比測試。設置參數取懲罰因子γ1=4，權系數λ1=0.8，λ2=0.2。種群N=30，Tmax=200，相同仿真環境下進行計算分析，各算法獨立運行30 次，結果見表6，收斂曲線見圖3。

表6 算法尋優結果對比Table 6 Comparison of optimization results between PSO algorithms

圖3 4種算法的網損收斂曲線Fig.3 Network loss convergence curves of four algorithms

從表6 和圖3 中可知，本文提出的IPSO 算法進行多目標無功優化時，計算得到的有功網損由初始20.88 MW 降到17.32 MW，效果要優于其他3 種算法，且電壓偏離的程度也得到一定的改善。由于采用混沌機制對粒子初始化，使IPSO 算法初始收斂速度快，能夠從較優的初始值開始尋優，后期能快速的接近最優解，其在迭代30 次左右時開始收斂，可見本文提出的IPSO 算法無論是在尋優速度和收斂精度都要優于其他3 種算法。IEEE 30 節點系統優化前后電壓分布見圖4。

圖4 IEEE 30節點系統優化前后電壓分布Fig.4 Voltage distribution before and after optimization of IEEE 30 node system

根據圖4 所示的節點電壓分布可知，經IPSO算法優化后無節點電壓越限情況，使各節點電壓都在約束范圍內，有效的處理了無功電源的越限問題，協調了無功優化網損目標與電壓質量之間的矛盾。并且本文提出的IPSO 算法的電壓平均偏離更小，驗證了該方法在改善系統電壓質量方面優越性。

5 結語

本文首先針對同時求解補償點和補償容量易陷入維數災的問題，在奇異值理論的基礎上，考慮多次潮流計算，逐個計算補償點，避免無功過補償，其次，在PSO 算法的基礎上，采用混沌映射對控制變量進行初始化，細化搜索空間，使算法從較優初始值進行尋優，同時把慣性因子和群體適應度方差相聯系，動態的改變慣性因子，有效的避免算法陷入“早熟”現象，豐富了種群多樣性，將計算得到的每代最優粒子存入精英集中，最后利用最速下降法尋優，較大的提高了算法計算速度。算例仿真結果表明，該方法具有良好的優化效果，能夠達到網損和電能質量的綜合最優，且有效的減少了補償容量。