環形天線結構點頭模態的T-S 型模糊控制

馬國亮，馬小飛，徐明龍，杜虎兵，蔣麗麗

（1.西安工業大學機電工程學院，陜西 西安 710021；2.中國空間技術研究院西安分院，陜西 西安 710100；3.西安交通大學復雜服役環境重大裝備結構強度與壽命全國重點實驗室，陜西 西安 710049；4.上海宇航系統工程研究所，上海 201109）

引言

環形天線是當今空間大口徑衛星天線的主流形式，環形天線的口徑從幾米到上百米，美國諸多電子偵察衛星上的天線均采用了這種結構形式，中國也正在研究此類大口徑天線。星載大型環形天線由于尺寸大和剛度小，呈現明顯的低頻振動特性，且因阻尼小而衰減緩慢，從而影響天線的工作品質［1］。在衛星地面振動控制試驗時，消除重力的影響尤為重要［2］。因為在衛星發射前的地面試驗中，重力作用使環形天線結構產生嚴重的靜態變形，增加力學試驗的難度，影響振動控制的準確性［3］。面對無法避免的重力因素，通過繩索懸吊航天器進行動力學試驗具有結構簡單可靠、附加剛度小的優點，若繩索的長度足夠長，恒力穩定，可以實現航天器低重力甚至零重力模擬［4］。Fischer 等［5］設計的可折疊太陽翼展開機構采用被動式跟隨方法進行低重力實驗，恒力吊索的長度幾乎不變，懸掛點不存在豎直方向的運動。楊巧龍等［6］為某航天器的太陽能帆板設計了一種懸吊裝置，在重力卸載后具有運動跟隨功能，完成了帆板的全部展開。對衛星環形天線結構懸吊后的振動特性研究表明，環形天線結構前兩階固有模態為“點頭”模態和“搖頭”模態。Luo 等［7］開發了一種單根吊索懸吊裝置，吊起了與天線近似的環形柔性結構，實測得到了水平方向的“搖頭”模態。鄭宜生等［8］提出了一種多點負剛度磁彈簧懸吊裝置，能夠平衡環形柔性結構的重力，且在水平方向上，對結構只有很小的附加約束，使懸吊后的“搖頭”頻率接近無重力時的頻率。然而，現有懸吊裝置在振動特性方面還存在一些問題。比如單點懸吊裝置的懸吊繩夠長，但未實現環形結構豎直方向的“點頭”模態；三點懸吊裝置實現了雙模態，但“點頭”模態受到懸吊裝置的干擾?，F有文獻也很少涉及深入研究環形結構模態解耦的問題［9］。

在環形天線結構懸吊后進行振動控制時，應用算法對反饋信號進行運算產生控制信號，驅動作動器完成作動，所以，控制算法是振動控制的核心。常用的控 制算法 有PD（Proportional Differential）控制、模糊控制、LMS（Least Mean Square）自適應控制，LQR（Linear Quadratic Regulator）控制、H∞魯棒控制算法等［10-12］。PD 控制包含比例和微分控制環節，只有比例控制時，系統輸出存在穩態誤差，增加微分項，避免了被控量的超調現象。模糊控制一般采用二維Mamdani 型模糊邏輯規則庫，包含模糊化與清晰化過程，魯棒性和適應性較好。LMS 自適應控制即最小均方自適應濾波控制，具有與起始條件無關、計算復雜度低、均值無偏差收斂到Wiener 解等優點，適合建立復雜振動控制系統。但是對于環形天線結構，振動模態復雜，可能存在非線性，要求控制系統精確、可靠。而T-S 型模糊控制適合將非線性問題轉化為分段線性問題，與Mamdani 型控制相比，不需要經過復雜的清晰化過程，直接輸出狀態量的線性函數，設計控制器［13］。T-S 型模糊控制的關鍵在于結構辨識和參數辨識，建立T-S 型模糊推理。

綜上所述，環形天線結構頻率低、形變大。當懸吊繩的長度有限時，結構能夠實現小擺角振動，且結構的模態解耦，才能進行地面振動主動控制試驗。本文以懸吊后環形天線結構的縮比模型為控制對象，以振動參數建立狀態空間方程，確定T-S 型模糊控制規則，并研究T-S 型模糊振動控制的效果。

1 懸吊解耦及模態分析

由于實物環形天線的尺寸和質量太大，以一個縮比模型進行分析?？s比模型應遵循“頻率與振型等效原則”，即固有頻率和振型與實物接近［14］。為了降低裝置的干擾作用，根據環形天線結構的構型和前兩階模態，獨立設計“點頭”方向懸吊裝置，即環面側放。在環面頂部節點處，繩索懸吊于外部結構，“點頭”模態的振動方向與重力和懸吊的方向垂直，如圖1 所示為兩根繩索的懸吊裝置。同時，根據主動控制原理，在柔性伸展臂根部設置MFC（Macro Fiber Composite）作動器，結合傳感器和控制器構成主動控制系統。

圖1 懸吊及控制示意圖Fig.1 Suspension and control diagram

縮比模型的參數如表1 所示，環的質量為M2=0.35 kg，伸展臂的質量為M1=0.125 kg，節點處配重質量mi=0.070 kg，懸吊繩材質為凱夫拉纖維，與其他結構相比，懸吊繩的質量可忽略。

表1 縮比模型參數Tab.1 Scaled model parameters

采用有限元方法分析了縮比模型的固有頻率和模態。應用MSC Patran 建立了包含30 個節點，8 個集中質量單元CONM2 和38 個桿單元CBAR 的三維模型，伸展臂的根部固定，應用Lanczos 方法求解振動特性，得到懸吊前后的前兩階固有模態和頻率如圖2 所示。

圖2 前兩階模態Fig.2 The first two order modes

第一階模態為環面的上下擺動，稱之為“點頭”模態，第二階模態為環面的左右擺動，稱之為“搖頭”模態，“點頭”模態和“搖頭”模態的振動方向垂直，與衛星環形天線的前兩階模態近似，其他更復雜的高階模態暫不考慮。當懸吊繩長為0.12 m 時，懸吊前后前兩階固有頻率分別為1.44，1.74 Hz 和1.48，5.18 Hz，由于1.44 Hz≈1.48 Hz，1.74 Hz≠5.18 Hz，因此，環面側向放置方式解決了“點頭”模態解耦的問題，“搖頭”模態不采用環面側向的方式更好。

2 T-S 型振動控制分析

環形天線結構為多自由度系統，應用振動主動控制方法，多自由度系統的振動控制方程為：

式中Mn，Kn和Cn分別為質量、剛度和阻尼矩陣；xn為節點位移；Fe為外部激勵力向量；Fa為控制力向量。當應用模糊控制算法對反饋信號進行模糊邏輯運算得到控制信號S時，控制力為：

式中fa為單位力；Fu表示模糊控制算法；x為反饋信號；ke，kec和ku為模糊控制參數?？刂菩盘柨梢允请妷夯螂娏?，具體由作動器的類型決定。一般情況下，模糊控制算法采用二維Mamdani 型規則對信號進行模糊化和清晰化運算，計算復雜度高，但對于線性控制系統，T-S 型模糊規則直接輸出線性函數，極大地降低復雜度，便于分析和運算。

設結構低階振動在一定范圍內為線性微振動，線性時不變系統的狀態空間模型為：

式中x（t）為系統的狀態變量；u（t）為輸入量；y（t）為輸出量；e（t）為誤差；A為系統矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣；D為直接轉移矩陣；K為增益矩陣。

對于縮比模型，當x為某測點的振動位移，并作為振動控制系統的反饋，狀態變量為：

以此建立T-S 模糊控制，輸出函數f（x1，x2）采用一階T-S 模糊規 則：ifx1isA1andx2isA2，then（fx1，x2）=px1+qx2+r。其中，A1，A2為位移和速度的范圍，p，q，r為待定系數，需要大量的輸入-輸出測試數據經過辨識得到。如果x1和x2的隸屬度為ZR，則得到：

當輸入量u（t）為反饋信號輸入控制器時，只要狀態空間模型的參數確定，T-S 模糊控制的規則為狀態變量x（'t）：

然后，通過矩陣運算得到一階T-S 模糊規則：

3 模型辨識和振動控制

3.1 系統辨識

根據上述分析，先建立無控制狀態的振動測試，對輸入-輸出數據進行辨識，得到狀態空間模型，以此確定T-S 型模糊規則。圖3 為應用有限元分析的模態數據建立的正弦激勵程序，穩態激勵信號為0.03sin（ω1t），作用在環端部節點水平方向上，得到測點18 的穩態響應。

圖3 振動測試Fig.3 Vibration test

測試后提取正弦激勵，得到輸出位移，瞬時速度信號，如圖4 所示。由圖4 可見振動位移和速度的取值范圍 分別為［-0.0068，0.0068］ m，［-0.062，0.062］ m/s。然后，對輸入輸出數據進行系統辨識，分析狀態空間模型。

圖4 振動響應和模型階次Fig.4 Vibration response and model order

在狀態空間階次選擇中，二階是最優辨識結果，模擬輸出數據相似度達到了95.66%，通過結構辨識得到二階狀態空間方程各個矩陣分別為：

因程序中未引入誤差信號，因此誤差e=0，得到下式：

代入式（8）數據后得到式（5）和（7）表示的T-S型模糊規則分別為：

然后根據上述T-S 型模糊規則分別建立模糊控制規則庫，其中位移和速度的隸屬度ZR 分別為［-0.007，0.007］ m，［ -0.07，0.07］ m/s。在選擇隸屬度函數曲線時，可以選擇高斯型和三角型，如圖5所示。模糊規則u對應的輸出面為圖5（a）和（b），可見模糊規則u對應的高斯型函數輸出面為連續線性曲面，三角型函數輸出面為分段的曲面，模糊規則y對應的輸出面均為圖5（c）所示線性曲面。

圖5 T-S 模糊控制的規則Fig.5 T-S rules of fuzzy control

3.2 T-S 模糊控制

根據振動控制原理，應用MATLAB/Simulink對懸吊后的模型進行了控制仿真。仍以有限元模態分析的結果構造了質量、剛度和瑞利阻尼矩陣，根據狀態空間方程建立振動控制程序如圖6 框圖所示，穩態激勵信號為0.03sin（ω1t），作用在環端部節點水平方向上，非控制模塊Uncontrol 輸出響應，測得節點18 的位移，同時測量模塊Measure 輸出節點18 的位移，作為反饋信號輸入到模糊控制算法。然后模糊控制算法經過運算產生控制信號輸入到Actuator 模塊，即控制模塊將控制信號轉換為力信號抑制振動。其中MFC 作動器在節點處的力和彎矩分別為fa=1V（t）和Ma=0.05V（t），V（t）為電壓。圖7 為三種T-S 模糊規則建立模糊控制后的位移響應抑制結果。

圖6 振動控制程序Fig.6 Vibration control procedure

圖7 振動控制結果Fig.7 Vibration control results

圖7 和表2 為模糊控制的結果和參數，結果表明采用模糊規則u和gaussmf 型隸屬度函數后，穩態振幅抑制率達到85% 以上，瞬態振動衰減率60% 以上。例如，控制前的位移為0.67×10-2m，但控制后的位移為0.085×10-2m，振幅抑制率為87.3%，其他模糊控制效果一般。

表2 振動控制結果Tab.2 Vibration control results

4 結論

本文通過懸吊解耦得到了環形天線結構一個縮比模型的“點頭”模態，并研究了如何確定T-S 模糊控制的規則，最后進行了T-S 模糊振動控制，主要得到以下結論：

（1）懸吊解耦可以實現模態解耦，懸吊前后固有頻率接近，且“點頭”模態受到的影響較小。

（2）通過系統辨識得到狀態空間模型，并確定T-S 型模糊控制的規則，通過仿真模擬，發現采用gaussmf 型隸屬度函數可得到連續線性的輸出面。

（3）建立模糊控制程序，對結構施加不同的激勵，發現采用模糊規則u和gaussmf 型隸屬度函數后，振動抑制效果顯著，為后續環形天線實物的試驗驗證提供了技術支撐。