具有季節性的周期性傳染病模型及基本再生數研究

張睿桐， 曹連英

（東北林業大學 理學院,黑龍江 哈爾濱 150040）

傳染病嚴重影響人類的健康和生活質量，給身心造成傷害，如新冠肺炎、猴痘、霍亂、登革熱等。隨著傳染病模型的提出，數學模型已經成為研究傳染病傳播、控制的重要工具。近年來，有大量文獻對傳染病進行了研究，例如分析傳染病的動力學性質、疫情變化趨勢、傳染病預防、控制等。目前對傳染病的防控措施主要是疫苗接種、隔離等[1]，研究表明疫苗接種和隔離可以有效地阻斷傳染病的傳播[2-3]。

在疾病傳播的過程中，周期性的波動是十分常見的[4]。例如，預防某些傳染病的疫苗接種計劃就是周期性的，氣候的變化以及周而復始的日常生活（如學校的開學和放假，法定節假日等）也具有典型的周期性特征，從而導致一些傳染病也具有周期性。在一個周期內傳染病傳播特性隨時間的變化而變化，有時亦呈現不連續性。

基本再生數是傳染病一個非常重要的指標。對于傳統的傳染病模型如非周期系統，已經有一些成熟方法能計算出基本再生數。例如，Guo等[5]給出了具有不連續治療策略的SIR傳染病模型的基本再生數。對于周期連續系統，Wang等[6]討論了計算周期連續系統基本再生數的方法。Tang等[7]討論了一種周期不連續系統及基本再生數的閾值動力學行為?；谏鲜鲅芯績热?，本文研究一種輕、重癥狀感染者的六倉室周期不連續傳染病模型，主要研究該周期不連續系統解的存在性和唯一性以及系統的基本再生數。

1 模型建立

依據一些傳染病傳播強弱與患病嚴重程度的特點，本文將人群分為6類人群：易感人群S、未確診具有感染性且癥狀較輕人群Ia（包括無癥狀感染人群）、未確診具有感染性且癥狀較重的人群Ib、確診為輕癥狀感染者自主居家隔離的人群Qh、確診為重癥狀感染者并被醫院隔離治療的人群QH、被治愈的感染人群R，Λ為總人口?？紤]到疫苗接種、氣候變化、學校的開學和放假等典型的周期性特征以及不連續特征，建立了一種不連續的周期傳染病模型。設ω> 0為疾病的傳播周期，模型假設如下：

1）感染者分為輕癥狀感染者和重癥狀感染者2類，且這2類感染者都能通過接觸感染易感人群。假設易感人群接觸重癥狀感染者會被感染為輕癥狀或重癥狀感染者，而易感人群接觸輕癥狀感染者會被感染為輕癥狀感染者。

2）傳染病具有周期特征且疾病的傳播是不連續的。為便于研究，我們將疾病傳播周期劃分為2個階段：疾病傳染率低的階段稱為淡季，用J1來表示；疾病傳染率高的階段稱為旺季，用J2來表示。假設疾病傳播初期傳染率低。其中，

記βa(t)為易感者與輕癥狀感染者接觸感染為輕癥狀感染者的感染率，βb(t)為易感者與重癥狀感染者接觸感染為輕癥狀感染者的感染率，β(t)為易感者與重癥狀感染者接觸感染為重癥狀感染者的感染率。并假設每一階段感染率為常數，如下所示：

基于以上假設，建立如下周期不連續傳染病模型：

易得無病平衡點E0為

記系統初值P0=(S0,Ia0,Ib0,Qho,QH0)，記總人數Λ(t)=S(t)+Ia(t)+Ib(t)+Qh(t)+QH(t)+R(t)，模型參數如表1所示，疾病傳播如圖1所示。

圖1 疾病的傳播過程示意圖Figure 1 Diagram of how a disease spreads

表1 模型的參數定義Table 1 Parameter definition of the model

這里參數A、μ、d、βa、βb、β、ra、rb、δh、δH均為非負?？紤]重癥狀感染者到醫院隔離治療比相較于輕癥狀感染者自主居家隔離比要大，故假設rb>ra。

考慮如下系統:

記D0={P=(S,Ia,Ib,Qh,QH)|P≥0,0≤S+Ia+Ib+Qh+QH≤Λ( 0 )}，顯然D0?。

定理1.1 對于任意P0∈D0，在初值下的系統(2)在R+中有唯一全局解，

證明 仿照文獻[7]證明，可知定理1.1 成立，并且φ(t,P0)對于t和系統(2)所有參數都連續，且對于任意t∈R+，有φ(t,P0)?D0，解φ(t,P0)在P0處是可微的。

2 基本再生數

設x=(Ia,Ib,Qh,QH)T。首先，將系統(2)的感染倉室線性化，

E0處對應的Jacobi矩陣F、V如下：

不連續系統感染倉室線性化系統如下：

在計算基本再生數之前，定義一個線性算子L。

考慮線性系統：

并設Y(t,s)(t≥s)為線性系統(4)的演化算子，滿足

其中E4是一個4 × 4單位矩陣，易得Y(t,s) =e-V(t-s)。

該積分的意義為到時間t之前所有新增感染者的分布。

設Cω=C(R,R4)為巴拿赫空間中以ω為周期的連續函數，定義其最大范數的表示為‖ ?‖c。故有‖I(s)‖c=

定義L(Cω→Cω)為下一個感染算子，

L的譜半徑定義為基本再生數，即

下面給出算子L的一些性質。

定理2.1 算子L是正的、連續的、緊的。

廣義質點濾波方法與質點濾波方法的不同僅僅在于重采樣階段。常規質點濾波方法是根據后驗密度P（·｜z）（公式6）的離散近似進行采樣（Musso et al，2001），而廣義質點濾波方法是從連續近似中進行采樣，

證明 易得算子L在Cω上是正的。注意到Y(t+ω,t+ω-a) =e-Va和I(t)的周期性，顯然L為Cω→Cω上的算子。

用符號‖ ? ‖1來表示向量和矩陣的1范數。?K> 0、k> 0使得

?K1> 0，使

故

下證在Cω的任意有界集Φ上{L(I)}等度連續。

注意到V可相似對角化，即存在可逆矩陣T使V=T-1υT，其中，υ= diag(V)，則有eVt=T-1eυtT。

對I(t)∈Φ，?t1,t2∈[0,ω] (t1

考慮如下周期線性系統：

設Wλ(t,s)(t≥s)為周期線性系統(8)的基解矩陣，其中λ∈(0, + ∞)。

考慮λ方程：

引理2.1 (1)若λ0> 0是方程(9)的一個正解，那么λ0是算子L的特征值且R0> 0。(2)如果R0> 0，則λ=R0是方程(9)唯一的解。

由文獻[6]定理2.1類似的證明方法可證引理2.1成立。

下面給出本系統的基本再生數。

定理2.2 系統(1)的基本再生數為

其中，

證明 首先計算系統(8)的標準基解矩陣。

當t∈Ji,i= 1,2時，

其中，

其次，易得矩陣Wλ(ω,0)的特征值為

則有ρ(Wλ(ω,0)) = max{λ1,λ2,λ3,λ4}，由指數函數單調遞增的性質可知

最后，利用引理2.1可知，定理2.2成立。

本文也適用于多階段的不連續周期系統的基本再生數計算。

3 結論

本文利用積分算子和譜半徑等方法計算出周期不連續傳染病模型的基本再生數。由于該模型是在采取隔離措施的基礎上進行研究，故后續將移除隔離倉室對其進行討論，并結合實際數據對模型進行數值模擬，為預測相關傳染病發展趨勢提供思路。