UPRE方法在圖像恢復正則化參數自適應選擇中的應用

加春燕

（北京工業職業技術學院基礎教育學院，北京 100042）

0 引言

圖像在成像、傳輸、掃描、顯示等過程中，由于攝像機與物體相對運動、系統誤差、畸變、噪聲等各種因素的影響，會不可避免地產生質量降級。圖像恢復就是對降質圖像進行處理，盡可能提高圖像質量。圖像恢復在交通、軍事、天文、醫療、人工智能等領域應用廣泛［1］。

由觀測到的降質圖像來重構圖像，在數學中是一個典型的反問題。由于受到模糊效應（如運動模糊、散焦模糊）和噪聲（如高斯噪聲、椒鹽噪聲）的干擾，這類問題解的存在性、唯一性和穩定性往往不能保證，其解通常是不適定的［2］。常用的改進辦法是正則化方法，它可以把病態方程轉化為適定性方程來求解，在極小化正則解與理想解差的同時，兼顧圖像的光滑性。目前，在圖像恢復中應用較為廣泛的正則化方法包括Tikhonov正則化方法、總變分（Total Variation，TV）正則化方法等［3］，其中涉及的重要參數稱為正則化參數。正則化參數的作用，主要是控制保真項與光滑項的平衡，如果該參數過小，則恢復圖像的光滑性就會很差；但如果該參數過大，則恢復圖像會出現過度光滑而失真的問題。因此，正則化參數的選擇對圖像的恢復效果有著非常重要的影響。

本文通過分析正則化參數與圖像先驗信息的關系，采用無偏預計風險估計方法（Unbiased Predictive Risk Estimation，UPRE）實現正則化參數的自適應選擇，通過數學理論證明該方法的可行性，并基于圖像恢復實驗驗證了該方法的有效性，對于改善圖像恢復效果具有重要的應用價值。

1 正則化參數在圖像恢復中的作用

記f為理想的高清圖像，K代表模糊效應，η為高斯白噪聲（設方差為σ2），d是實際觀測到的圖像，則圖像降質過程可用數學模型來表示

圖像恢復的目的是從觀測圖像d出發，借助K和η的某些先驗信息來重構圖像，使其逼近理想圖像f。經典的TV正則化方法，通過極小化正則函數來進行圖像恢復

歐拉－拉格朗日方程為

利用式（3），將泛函問題轉化為變分問題，有助于數值解的計算。圖1所示就是不同的正則化參數代入式（3）計算得到的圖像恢復結果。

圖1 不同正則化參數對應的圖像恢復結果圖

圖1（a）中實線是理想圖像f，圈線為觀測到的降質圖像d。使用TV正則化方法對圖像d進行恢復，當正則化參數α≈0.04，恢復圖像逼近理想解f（見圖1（b））；當α＝0.001，光滑項被抑制，恢復結果高度振蕩（見圖1（c））；當α≈0.84，光滑項又過度增強，恢復結果雖然光滑但遠遠偏離了真實圖像（見圖1（d））。由此可見，選擇合適的正則化參數非常重要。

正則化參數通常憑借主觀經驗或大量實驗進行人為選取，或者不夠準確，或者耗時耗力。廣義交互驗證方法（Generalized Cross Validation，GCV）基于統計學的知識自適應選擇正則化參數，但該方法需要較大數據量作為支撐且計算時間較長，因此，有必要探尋一種自適應的選擇方法。

2 UPRE方法的理論分析

UPRE方法最初是Mallow在分析線性回歸模型中提出的，后來應用于求解反問題和圖像處理。記正則化參數α對應的正則解為fα，希望找到合適的參數α使得誤差‖fα－f‖最小，然而，由于f未知，可以轉而尋求使預計誤差最小的正則化參數。

定義預計誤差pα

pα雖然無法直接計算，但可以通過一定方法估算出來。UPRE方法的原理就是最小化預計誤差pα的均方范數，也稱為預計風險。

定義預計風險

定義UPRE函數

式（6）中，σ2是噪聲η的方差值。假設正則解fα線性依賴于觀測圖像d，二者關系表述為fα＝Rαd，其中Rα常被稱為正則化矩陣，對應的影響矩陣記為Aα＝KRα，trace（Aα）是計算Aα的跡。

采用“跡定理”（Trace Lemma）證明UPRE函數的期望與預計風險的期望相同，把求期望運算轉化為跡運算。

設u∈H，H為一個確定的Hilbert空間，v是離散的高斯白噪聲，其方差為σ2，B是一個有界線性算子，B*為B的伴隨矩陣，則

利用“跡定理”證明

證明過程如下，其中I代表單位矩陣。

由式（9）、式（10）可知，式（8）成立。由此，UPRE函數的期望與預計風險的期望相同，最小化預計風險便可轉化為最小化UPRE函數。將UPRE函數U（α）的最小值點稱為最佳正則化參數，記為α*，則

3 UPRE方法的實驗驗證

UPRE方法要找到UPRE函數U（α）的全局最小值點，因此不適合采用一些諸如牛頓法的局部優化方法。此外，對于特定的正則化方法，如截斷奇異值分解（Truncated Singular Value Decomposition，TSVD）方法，相應的U（α）可能會有跳躍點，故涉及導數的優化方法也不可行［4］。直接求U（α）的全局最小值點在計算上比較復雜，但由于α變動較小時相應的正則解變動也很小，故只需要計算近似的最小值點。在數值計算中，通常預先確定最小值點α*所在的范圍，使問題得到簡化。

實現UPRE方法的一般步驟如下：①分析模糊算子K的譜特點及噪聲η的統計信息，確定α*所在的范圍［αmin，αmax］；②選取適當的網格剖分αmin＜α1＜…＜αmax，其中第i個正則化參數取值記為αi（i＝1，2，…，n），網格剖分應當滿足Δlnαi＝lnαi＋1－由此可知相鄰兩個正則化參數之間有倍數關系，通常網格點不用太多，20個左右為宜；③基于UPRE函數U（α）的定義式（6），計算各個U（αi）的值；④選取U（αi）中的最小值點作為α*的近似；⑤把α*代入TV正則化方法中進行圖像恢復［5］。

為了驗證UPRE方法的正確性和有效性，對圖2（a）所示的一幅256×256 Px的清晰圖像進行運動模糊并添加高斯白噪聲（見圖2（b）），之后用UPRE方法迭代得到最佳正則化參數α*＝0.023，再代入TV正則化方法進行圖像恢復，結果如圖2（c）所示，既保留了原圖的部分細節如面部棱角和頭發彎曲度等，又具備一定的光滑性。與之形成鮮明對比的是圖2（d）和圖2（e）。圖2（d）正則化參數α＝0.002，由于α太小導致結果不光滑；圖2（e）正則化參數α＝0.23，由于α太大導致結果過度光滑而細節失真。從恢復效果看，采用UPRE方法得到的最佳正則化參數，能夠很好地恢復圖像并提高圖像質量。

圖2 采用UPRE方法的圖像恢復效果及對比圖

4 結論

針對正則化參數選擇中過于依賴主觀經驗和大量實驗的缺點，提出了一種自適應選擇正則化參數的方法，即UPRE方法。該方法通過最小化UPRE函數來保證正則解逼近理想解，函數的最小值點即為最佳正則化參數。將UPRE方法應用到圖像恢復中，通過數值實驗驗證了該方法的有效性。UPRE方法得到的最佳正則化參數能較好地維持圖像保真項與圖像光滑項之間的平衡，增強了恢復圖像的清晰度和細節；因此，UPRE方法有助于改善圖像恢復效果，能夠在圖像恢復相關領域進行推廣使用。