一類分數階復值神經網絡的有限時間同步

朱佳慶，姚 宇，張國東

（中南民族大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430074）

近20 年來，神經網絡逐漸成為熱門話題，被學者們廣泛研究，并運用于諸多不同的領域，例如：圖像處理、模式識別、自動控制和聯想記憶[1-4]等。

神經網絡的應用依賴于它們的動力學行為，其中，“同步”作為一類十分重要的動力學行為，已被學者們深入研究。根據不同的同步時間，同步可以被分為無窮時間同步和有限時間同步。實際應用中，系統總是被期望在一個有限的時間內實現同步。因此，有限時間同步憑借良好的性能成為了神經網絡的重要研究課題[5-6]。

分數階微分不僅有整數階的性質，還具有優秀的建模能力和廣泛的適用性，可應用于工程控制、生物數學和信號加工等[7-9]。分數階微分可以更精確地描述神經網絡的動力學行為。目前人們研究得到很多分數階神經網絡的優秀成果，例如：分數階模糊神經網絡的有限時間鎮定[10]、分數階神經網絡的全局同步[11]和帶憶阻的分數階神經網絡的同步[12]等。

1971 年Chua[13]首次提出憶阻，2008 年，惠普實驗室研究出實際的憶阻器[14]。近年來，憶阻研究成為熱門話題，其杰出的非線性特性令它成為模仿人腦突觸的最好選擇。因此，學者將憶阻融入神經網絡中，得到了一類依賴狀態切換的神經網絡[15]。

由于缺少相關理論支持，復值神經網絡的相關動力學問題很少被人們研究。其實，復值神經網絡的計算能力和性能均優于實值神經網絡，在對稱性檢測[16]和二進制運算問題[17]等方面實值神經網絡的表現均不如復值神經網絡。近年來，通過將復值系統分離為實部和虛部系統，復值系統的漸近同步[18]、指數同步[19]和有限時間同步[20]被深入研究。盡管分離法是可行的，但將復值系統分成兩個實值系統會大幅增加理論分析復雜性。由于模型的復雜度較高，分離法也很難被實際應用。Feng 等[21]和Zheng等[22]通過引入一種復值符號函數解決了這個問題，即采用非分離的方法就可以研究復值系統動力學問題。

被上述分析所激勵，本文的目標是通過非分離的方法研究一類狀態依賴切換的分數階復值神經網絡的有限時間同步。本文的主要創新點如下：

1）研究的系統帶有分數階、復值、狀態依賴切換項，涵蓋僅研究整數階神經網絡系統[5-6]、分數階實值神經網絡系統[8，10-11，15，23]、非依狀態切換的復值神經網絡系統[21-22]，所得結果更具一般性；

2）不同于以往研究[18-20]，本文采用非分離的方法直接研究此類復值神經網絡的有限時間同步，所得結果更符合復值系統的實際意義。

3）構建了復值雜合控制器，完全消除了文獻[8]中的條件限制fl（±Tl）＝0，l=1，2，…，n。

1 預備工作

本節將引入一些有限時間同步和分數階微積分的一些基礎知識。另外，本節還闡述了一些文章需要的引理和定義。

定義1f（t）的分數階積分定義為

可以由引理1 證明而來，證明過程略。

引理3[22]對任意g（t）∈C，以下式子成立：

2 模型描述

本節給出一類分數階復值憶阻神經網絡

其中：0 <α <1；l=1，2，…，n；ξl（t）∈C 代表第l 個神經元在時間t 的狀態；al（ξl（t））代表神經元的自抑制率；blj（ξl（t））表示神經元連接憶阻權值。fj：C→C 代表第j 個神經元在時間t 的激活函數；Il∈C 表示外部輸入。al（ξl（t））和blj（ξl（t））滿足

為了研究系統的同步行為，相應的響應系統定義為

其中：zl（t）=ηl（t）-ξl（t）；dl∈C 是線性反饋增益，ω >0，并且滿足Re（dl）>0；λ 是冪律反饋增益并且滿足λ >0。ρl（t）設計如下：

從而，我們可以得到誤差系統為

在文獻[15]的基礎上，上述誤差系統可以轉化為

3 主要結果

本節設計一些控制方法實現依狀態切換的分數階復值神經網絡的有限時間同步。

定理1基于假設1 和雜合復值控制器（3），在φl≥0 和0 <β <α 條件下，依狀態切換的分數階復值憶阻神經網絡能實現有限時間同步。其停滯時間為

證明：構造一個Lyapunov 函數

基于引理2，有

由假設1、引理5 和引理6，可以得到

基于引理3 和引理4，可得到

將式（8）和式（9）帶入式（7）中，可以得到

因為φl≥0，可以得到對于t≥0，有

因為0 <β <α，根據式（11）和引理7，對于t≥T，V1（t）=0，其中

因此驅動系統和響應系統在有限時間內達到同步，定理1 得證。

下面，本文基于復值的1-范數給出定理2。

定理2設計一個新的雜合控制器（12）如下：

參數條件與控制器（3）一樣。

若滿足γl≥0 和0 <ω <α，驅動系統和響應系統在有限時間內可以達到同步，則停滯時間為

4 數值仿真

本節給出一個具體例子來驗證理論結果的有效性。

例1 考慮一個二維的分數階復值憶阻神經網絡

另外，fj（ξj（t））（j=1，2）滿足假設1，其Lipschitz 常數F21=F22=1，該驅動系統的圖分為實部和虛部，初值分別為ξ1（0）=0.6-1.5i，ξ2（0）=-0.9+1.25i。

相應的響應系統為

其中：系統（14）的初值為η1（0）=-1.25+0.45i；η2（0）=1.05 -0.7i，無控制器時的誤差系統狀態隨時間響應如圖1 所示。

圖1 無控制器時的誤差系統狀態隨時間響應圖Fig.1 Time behaviors of state variables for error systems without controller

取ω=0.1，θ=6，d1=1+i，d2=0.96+0.75i，λ=1，計算可得β=0.85，則0 <β <α，φ1=1.5，φ2=1.38，加控制器后的誤差系統狀態隨時間響應如圖2 所示。由定理1 可以得到驅動系統（13）和響應系統（14）在有限時間內達到同步，停息時間T=5.456 s，驅動-響應系統的第一個狀態和第二個狀態達到同步時的響應圖分別如圖3 和4 所示。

圖2 有控制器（3）時的誤差系統狀態隨時間響應圖Fig.2 Time behaviors of the state variables for error systems with control（3）

圖3 有控制器（3）時的驅動-響應系統第一個狀態同步Fig.3 The first state variable of the drive-response systems get synchronization with control（3）

圖4 有控制器（3）時的驅動-響應系統第二個狀態同步Fig.4 The second state variable of the drive-response systems get synchronization with control（3）

5 結論

本文研究了一類依狀態切換的分數階復值神經網絡，通過構建復值雜合控制器和非分離的方法，得到了此類復值神經網絡的有限時間同步準則和停制時間的估值。本文所得結果豐富和發展了現有的分數階復值神經網絡的同步控制結果。最后，本文通過數值仿真模擬，驗證了所得理論結果的有效性。

在今后的研究工作中，我們將繼續考慮帶時滯的此類系統，并通過設計相關的雜合控制器來實現其固定時間和預設時間同步控制。