具有非線性耦合的分數階神經網絡的聚類同步

王 雪，丁小帥，李 劍

（陜西科技大學 數學與數據科學學院，陜西 西安 710021）

分數階微積分[1-2]是指階次為分數且與Γ 函數[3]密切相關的基本運算，因其以加權形式積累了函數的全局信息，被廣泛用于描述實際中具有記憶特性或歷史依賴性的現象和過程，構建更加精確的數學模型。目前，分數階微分系統被廣泛應用于圖像處理[4]、量子演化[5]、反常擴散[6]、黏彈性材料[7]等領域。

神經網絡是基于網絡拓撲理論來模擬人腦神經突觸對復雜信息進行處理的模型，其具有大規模并行處理、分布式存儲和非線性運算等特點，因此具有較強的運算能力、容錯能力和自組織能力。近年來，分數階微積分被引進神經網絡的建模中[8-10]，使得模型的設計、表達和控制能力得到進一步的提高。

同步是非線性動態網絡中的一種合作行為，指的是多個系統通過信息交互彼此影響，最終實現相同狀態的過程。根據不同的表現特征，同步又可分為多種形式，如投影同步[9]、完全同步[10]、聚類同步[11]等。其中，聚類同步指的是將一個網絡系統分為不同的簇，同簇內的節點互相實現同步，而不同簇的節點最終具有不同狀態的過程?，F實中，許多網絡由于特定的目標需要按照功能被劃分為不同的類別，因此，神經網絡的聚類同步得到了廣泛關注。

另外，為了實現同步目標，需要選擇適當的控制策略，常見的同步方法有脈沖控制[12]、采樣控制[13]、牽引控制[14]、自適應控制[15]、事件觸發控制[16]、反饋控制[17]等。值得一提的是，牽引控制只需對一部分節點設計控制器就可以實現整個網絡的同步目標，具有較小的控制成本。而脈沖控制是一種不連續控制方法，具有安裝方便、可靠性強和維護成本低等優點?；诖?，很多學者結合二者優勢，研究了系統的牽引脈沖控制。文獻[18]和文獻[19]分別研究了基于牽引脈沖控制的復值神經網絡的同步問題和隨機神經網絡的聚類同步問題；文獻[20]采用牽引脈沖控制研究了分數階復雜動力網絡的指數同步問題；文獻[21]通過牽引脈沖控制實現了分數階切換神經網絡的聚類同步。但是，借助牽引脈沖控制策略，研究帶非線性耦合項的分數階神經網絡的聚類同步控制問題的文獻并不多見。

本文針對具有不確定參數的非線性耦合分數階神經網絡，研究其在牽引脈沖控制作用下與驅動節點實現聚類同步的問題。選擇基于平均脈沖區間的牽引脈沖控制策略，給出分數階神經網絡實現聚類同步的充分條件。

1 預備知識

1.1 符號說明

C、R、Z+和R+表示復數集、實數集、正整數集和正實數集；Rn表示n 維實數列向量，Rn×m表示n × m維實數矩陣；In表示n 維單位矩陣；‖·‖表示矩陣或向量的2-范數；對于矩陣K，KT表示其轉置矩陣，λmax（K）表示其最大特征值，K >0 或K <0 表示K為正定矩陣或負定矩陣，KS=（K+KT）/2；定義A=（N，E，R）表示圖論，其中N={1，…，N}表示節點集，E ?N × N 表示邊緣集，R∈RN×N表示耦合矩陣；A 被分為m 個聚類，標記為C1={1,…，v1}，C2={v1+1，…，v2}，…，Cm={vm-1+1，…，vm}，其中vm=N。

1.2 分數階微積分概述

定義1[22]連續可微函數f（·）的α 階Caputo 分數階微分定義為

其中t≥t0，0 <α <1，Γ（·）為Γ 函數。

定義2[23]對任意σ∈C，具有雙參數α，β∈R+的Mittag-Leffler 函數定義為

當β=1 時成為單參數的Mittag-Leffler 函數，其定義為

特別地，當α=β=1 時，其定義為

引理1[24]假設x（t）∈Rn是可微的函數向量。若V（t）為區間[t0，+∞]上的連續函數，并且滿足≤φV（t，x（t）），則

成立，其中，0 <α <1，φ <0。

1.3 神經網絡模型描述

本文考慮一類具有非線性耦合的分數階延遲神經網絡模型

其中：0 <α <1；t≥t0；i∈Cp；p=1，2，…，m；xi（t）∈Rn表示第i 個節點的狀態向量；f（xi（t））=（f（xi1（t）），…，f（xin（t）））T∈Rn表示激活函數；Φ（xj（t））=（Φ（xj1（t）），…，Φ（xjn（t）））T∈Rn表示非線性耦合函數；Ap=diag{ap1，…，apn} >0 表示第p 聚類的自反饋矩陣；Bp∈Rn×n表示第p 聚類的連接矩陣；ΔAp∈Rn×n和ΔBp∈Rn×n表示不確定系 數；d表示耦合強度；H=diag{h1，…，hn} >0 表示內部耦合矩陣；ΔH∈Rn×n表示不確定內部耦合矩陣；R=（rij）∈RN×N表示外部耦合矩陣，其滿足Ip（t）∈Rn表示第p 聚類的外部輸入向量；ui（t）∈Rn表示控制輸入向量。

假設1對任意的x，y∈R，存在常數k≥0使得

假設2對任意的x，y∈R，存在常數β >0，?k>0，函數ak（x），bk（x）使得

其中k=1，…，n。

注1非線性耦合問題廣泛存在于實際的分數階復雜動態網絡中。利用適當的投影策略，可以將非線性耦合函數分解為振蕩部分和線性部分βx。

假設3考慮到參數的不確定性會對分數階神經網絡的聚類同步產生影響，假設不確定參數矩陣ΔAp，ΔBp滿足

其中k1>0，k2>0。

注2在實際應用中，由于系統建模誤差、外界干擾和參數波動等因素的影響，神經網絡的參數可能存在偏差，從而導致參數的不確定性。

假設4耦合矩陣R 可寫成分塊形式

本文所考慮的誤差系統可描述為

其中i∈Cp，p=1，…，m。定義映射ψ：{1，2，…，N}→{1，2，…，m}，則式（7）還可表示為ei（t）=xi（t）-SCφ（i）（t），其中，ψ（i）=p，p=1，…，m，i=1，…，N。

定義3[25]如果存在p，q=1，…，m，滿足

其中i∈Cp，p≠q，則稱分數階神經網絡（5）與（6）是聚類同步的。特別地，當p=1 時，v1=N，聚類同步退化為完全同步。

對于未添加控制的神經網絡（5），同一聚類中節點的軌跡往往不同，這意味著聚類所含節點軌跡與目標軌跡（6）存在偏差，因此，需要對原網絡設計適當的控制器，以實現同步目標。我們選擇牽引脈沖控制策略，在同一聚類的部分節點上添加脈沖控制。

設計一個統一的脈沖控制器

引入脈沖控制器（10），則系統（5）與系統（6）的誤差系統描述為

引理2[21]對于任意μ >0，X，Y∈Rn，P∈Rn×n使得

2 主要結論

在本節中討論一類具有非線性耦合的分數階神經網絡在牽引脈沖控制下實現系統（5）和系統（6）的聚類同步。

其中：Θ=diag（θ1，θ2，…，θn）；

（5）在牽引脈沖控制下與系統（6）是聚類同步的。

證明：構造Lyapunov 函數

當t∈[tn，tn+1]時，對式（14）兩邊求α 階分數階導數可得

根據假設1、假設3 和引理2 有

由式（18）—（21）得

下面討論耦合節點情況，根據假設2、假設3、引理2、引理3 和引理4 有

其中，

由式（23）和（24）得

根據式（22）和（25）有

根據式（13）可推得

由引理1 可得

根據式（28）和（29）可知，當t∈[t0，t1）時，有

當t∈[t1，t2）時，有

當t∈[tn，tn+1）時，有

由上述分析可知，當t≥t0時，

式（30）可進一步表示為

特別地，當α=1 時，系統（5）變為整數階神經網絡，即

其中：t≥0；i∈Cp；p=1，…，m。

假設SCp（t）∈Rn表示第p 聚類中孤立節點的狀態，其滿足方程

將系統（33）作為響應系統，系統（34）作為驅動系統，在脈沖控制器（10）的作用下，系統（33）和系統（34）可得到下面的同步性結論。

推論1在假設1、假設2 和假設3 成立的前提下，給定常數μ1>0，μ2>0，β>0，矩陣Θ>0，Υ>0，存在矩陣K >0，G >0，使得式（13）成立，則系統（33）在牽引脈沖控制下與系統（34）是聚類同步的。

當t≥t0時，有

當t→∞時，有V（t）→0。因此，在脈沖控制器（10）的作用下，系統（33）和系統（34）是聚類同步的。

證畢。

當p=1 時，v1=N，則系統（5）變為

假設S（t）∈Rn表示孤立節點的狀態，其滿足方程

將系統（35）作為響應系統，系統（36）作為驅動系統，在脈沖控制器（10）的作用下，系統（35）和系統（36）可得到下面的同步性結論。

推論2在假設1、假設2 和假設3 成立的前提下，給定常數μ1>0，μ2>0，0 <α <1，β >0，矩陣Θ >0，Υ >0，存在矩陣K >0，G >0 使得式（13）成立，則系統（35）在牽引脈沖控制下與系統（36）是同步的。

證明：類似于定理1 的證明，故略去。

3 數值仿真

考慮具有非線性耦合的分數階神經網絡為

假設系統（37）中各簇的孤立節點狀態為

則由定理1 可知，系統（37）和系統（38）在脈沖控制器（10）下是聚類同步的。

給定初值φ=（1.5，-6，6，-3，1.5，-5，-6.5，-2.3，6，2，-5.3，6.5，-2.4，1，-5.3，-5.8，-3，6.5，2.5，-6.5，5.8，-3.4，0.7，-4.6，-6.8，-2.7，5.8）T。在脈沖控制器（10）的作用下，系統（37）的狀態軌跡如圖1 所示，系統（37）和系統（38）的誤差范數‖e（t）‖的演化如圖2 所示，由此易得系統（37）和系統（38）是聚類同步的。

圖1 在控制器（10）的作用下系統（37）的狀態軌跡（i=1，2，…，9）Fig.1 State trajectories of system（37）under controller（10）（i=1，2，…，9）

圖2 系統（37）和系統（38）的誤差范數‖e（t）‖的演化Fig.2 Evolution of error norm ‖e（t）‖ of system（37）and system（38）

當α=1 時，系統（37）退化為系統（33），定理1中的條件（13）仍適用于系統（33）。在脈沖控制器（10）下，系統（33）的狀態軌跡如圖3 所示，系統（33）和系統（34）的誤差范數‖e（t）‖的演化如圖4所示，由此易得系統（33）和系統（34）是聚類同步的。

圖3 在控制器（10）的作用下系統（33）的狀態軌跡（i=1，2，…，9）Fig.3 State trajectories of system（33）under controller（10）（i=1，2，…，9）

圖4 系統（33）和系統（34）的誤差范數‖e（t）‖的演化Fig.4 Evolution of error norm ‖e（t）‖ of system（33）and system（34）

4 結束語

本文針對具有不確定參數的非線性耦合分數階神經網絡，設計了基于平均脈沖區間的牽引脈沖控制器對部分節點進行控制，實現了網絡的聚類同步。此外，構造合適的Lyapunov 函數，并利用不等式放縮技巧，建立了保守性較小的聚類同步準則。仿真實驗表明了脈沖控制器的有效性，同時也驗證了理論結果的正確性。