基于各項異性多項式分布的風力機三維尾流模型

凌子焱, 趙振宙, 劉惠文, 馬遠卓, 劉一格, 王丁丁

(河海大學 能源與電氣學院, 江蘇 南京 211100)

尾流降低下游風力機效率和結構疲勞壽命,影響整個風電場的發電量[1-2]。隨著計算機技術的發展,計算流體動力學(computational fluid dynamics,CFD)方法逐漸成為研究尾流的一種重要手段[3-4]。但是,CFD計算量大,耗時長,對計算機硬件要求高,很難滿足工程領域計算快、實施便利等要求。尾流經驗模型計算簡單,具有一定的精度,廣泛用于風力機布局優化[5]和發電量預測[6]等。欲準確預測尾流,需關注3個方面問題:1)尾流速度徑向分布形狀的假設;2)尾流擴展的表示;3)入流風速的建模[7]。

針對問題1,Jensen[8]和Frandsen[9]等認為尾流速度呈頂帽狀分布,分別建立了Jensen尾流模型和Frandsen尾流模型。然而,研究表明,尾流速度在徑向呈高斯或多項式分布,頂帽形狀的假設產生較大誤差[10-11]。為此,許多學者[11-17]采用高斯分布假設來建立尾流模型。與Jensen和Frandsen模型相比,高斯尾流模型精度更高[11-17],但尾流邊界rw與高斯標準偏差σ間的關系難以確定。高斯尾流模型的尾流邊界為c倍高斯標準偏差,c是經驗常數,其選值顯著影響尾流的預測精度,Bastankhah[11]、Gao[12]、Ishihara[13]、Ge[14]等分別取c值為1、2.58、1.18、2。Sun[17]根據不同入流情況和風力機參數對c賦不同的值,增加了工作的計算量。采用多項式形狀描述速度虧損,可避免上述問題,因為多項式不涉及σ,其尾流邊界是風速恢復入流風速的邊界,物理上更加直觀。因此,多項式分布比高斯分布更適合尾流模型的建模。

早期尾流模型中尾流邊界擴展率k是固定值,僅與入流環境湍流強度有關[8-9]。Bastankhah[11]、Frandsen等[18]指出,k值的計算還應考慮風力機旋轉產生的附加湍流強度。Tian等[19]、Gao等[12]相繼提出了附加湍流強度的經驗算法修正k值以改進尾流模型。上述模型均假設尾流速度服從軸對稱分布,即同一尾流截面內各維尾流邊界擴展率相同。Xie[20]、Abkar[21]揭示了尾流速度分布的非軸對稱性質,指出同一截面內橫向的尾流邊界擴展率大于垂向?；谏鲜隼碚?Gao等[22]提出尾流模型在橫向和垂向采用不同的湍流強度,以反映尾流的各向異性膨脹,然而這2個湍流強度不易獲得。為了提高尾流預測的效率及精度,應提出更簡單通用的各維尾流邊界擴展率k的表達式。

入流風速建模對精準預測風力機尾流至關重要。早期模型忽略了風切變的影響,采用輪轂高度的風速作為入流條件。隨著風力機直徑增加,忽略剪切風影響造成的誤差會越來越大。He等[17]考慮了風切變效應,采用指數函數表示入流風速,提高了模型垂直方向上的預測精度。因此,開發考慮風切變的三維模型很有必要。

綜上,本文考慮風切變的影響,提出采用二次多項式來描述尾流的三維分布,給出各維尾流邊界擴展率k的通用表達式,建立三維橢圓多項式形狀尾流模型(3DEP尾流模型),旨在提高預測精度和模型的適用性。

1 3DEP模型建立

1.1 Jensen尾流模型

Jensen模型的下游截面內尾流速度均勻分布,且僅與下游距離x有關,可表示為[8]:

u*=u0(1-2a/(1+kx/r0)2)

(1)

k=0.5/ln(zh/z0)

(2)

式中:zh為風力機輪轂高度;z0為地表粗糙度。

1.2 3DEP尾流模型建立

基于二次多項式尾流模型[23]來推導均勻流入風況下3DEP模型垂向的尾流風速分布。忽略風切變的影響,假設來流速度為定值,尾流速度u0(x,z)服從二次多項式分布:

u0(x,z)=Az2+B

(3)

式中A、B為需要確定的參數。為了確定參數A、B提出以下假設:

1)在尾流邊界,尾流速度恢復到來流風速u0。

A(±rz)2+B=u0

(4)

2)3DEP模型和Jensen模型尾流半徑相等,兩者在尾流半徑內具有相同的質量通量。如圖1所示,在初始尾流半徑r0處,3DEP模型與Jensen模型的質量通量相等;在rz處,3DEP模型與Jensen模型質量通量也相等,滿足:

圖1 Jensen模型和3DEP模型在垂直方向上的質量通量Fig.1 Mass fluxes in the vertical direction for the Jensen and 3DEP model

(5)

聯立式(4)、(5)得:

(6)

式中尾流半徑rz為:

rz=kzx+r0

(7)

式中kz為垂向尾流邊界擴展率。

再將式(6)代入到式(3)可得u0(x,z)的表達式:

(8)

上述推導中忽略了風切變的影響,如圖2(a)所示?？紤]風切變后,尾流速度分布在垂向上呈現出不對稱性,如圖2(b)所示。風切變與均勻流之間產生的速度差Δu為:

圖2 均勻流和風切變下3DEP模型垂直方向的速度分布Fig.2 Velocity distribution in the vertical direction of 3DEP model under uniform flow and wind shear

(9)

風速差Δu產生了額外的質量虧損Δm為:

(10)

考慮質量虧損,根據垂向根據質量守恒定理得:

(11)

聯立方程(8)～(11)得垂向上風速分布的修正式:

(12)

尾流區任意高度的水平速度表示為:

(13)

式中ry=kyx+r0,ky為橫向尾流邊界擴展率。

當y=0時,式(13)等于式(12),聯立兩式求得C:

(14)

將式(14)代入式(13)得到3DEP模型的表達式:

(15)

1.3 各維尾流邊界擴展率經驗公式的修正

Xie[20]和Abkar[21]研究指出尾流區內橫向的湍流強度大于垂向的,尾流邊界在兩方向的膨脹率呈現出各向異性,因此兩方向尾流邊界增長率不同,分別表示為ky和kz。定義ky和kz為輪轂高度處的流向湍流強度I0和推力系數CT的函數,代表2個方向的尾流邊界擴展率[13,17]。在各向同性模型中,通過在一維高斯分布中指定尾流半徑等于2.58σ來獲取99%的概率,此時尾流邊界擴展率k約為高斯標準偏差增長率k*的2.58倍[12]:

rw=2.58σ=2.58(k*x+εD)=kx+r0

(16)

式中:D為風輪直徑;ε為x接近0時σ/D的值。

各向異性模型為了滿足每個維度99%的概率,需指定二維高斯函數的各維尾流半徑等于2.81σ,此時各維尾流邊界擴展率應約為各維高斯標準偏差的2.81倍[17]。因此,參考He等[17]提出的各維高斯標準偏差增長率的公式,得到了各維ky、kz的表達式:

(17)

式(15)和(17)構建了3DEP尾流模型。該模型僅需I0和CT即可確定尾流邊界擴展率,能夠快速計算出風力機的三維尾流速度剖面。

2 模型驗證

采用大渦模擬(LES)數據[24]對3DEP尾流模型進行驗證,與其他3種模型進行對比,包括Jensen模型[8]、2D Jensen-Gaussian模型(2DJG模型)[12]及三維橢圓高斯模型(3DEG模型)[17],如表1所示。

表1 4種尾流模型表達式Table 1 Four wake model expressions

Wu和Porté-Agel[24]研究了4種典型地面粗糙度(z0=0.5、0.05、0.005、0.000 05 m)下,2 MW風力機的尾流分布。風力機輪轂高度zh為70 m,轉子直徑D為80 m。輪轂處入流風速為9 m/s,推力系數為0.8,不同粗糙度下入流的湍流強度I0和風切變指數α見表2。采用I0=13.4%和9.4%代表陸上風力機的高湍流強度風況,I0=6.9%和4.8%代表海上風力機的低湍流強度風況。

表2 大氣入流條件Table 2 Atmospheric influx conditions

2.1 陸上高湍流風況

2.1.1 水平剖面驗證

圖3為兩陸上風況下x/D=5、7、10和15處3種模型與LES數據的橫向速度分布對比。從圖3可明顯發現,3DEP模型能夠合理地預測高湍流風況下的橫向速度剖面,準確地預測了下游x/D=5、15處的橫向風速,在下游x/D=7、10處及y/D=±(0.4～0.8)范圍對風速稍有低估。2DJG模型在I0=13.4%時整體上高估了x/D=5、7處的尾流速度;在I0=9.4%時低估了x/D=5處尾流中心線附近的速度,高估了尾流中心兩側速度。Jensen模型為頂帽型速度分布,2種風況下均高估了尾流中心處的速度,低估了尾流中心線兩側的速度。

圖3 2種陸上風況下模型與LES的橫向速度分布Fig.3 Lateral velocity distribution of the models and LES under two onshore wind conditions

表3為圖3計算的相對誤差。3DEP模型整體上相對誤差最小,2種風況所有誤差都在3%以內;2DJG模型和Jensen模型在x/D=5處誤差均較大,2種風況下都超過了7%。從表3還可發現,隨著湍流強度從13.4%降到9.4%,2DJG模型和Jensen模型在各下游距離處的相對誤差明顯增大,但3DEP模型仍能保持較高精度,且誤差在整體上有所降低,這說明了3DEP模型能夠更好地反映湍流強度變化的影響。

表3 2種陸上風況下模型橫向相對誤差Table 3 Lateral relative error of models under two onshore wind conditions %

圖4為2種風況下3DEP模型在每個預測數據點的相對誤差。從圖4可以看出,3DEP模型預測結果準確,誤差位于±4%的區間內。還可發現,輪轂周圍誤差更小,位于±2%區間,這說明3DEP模型能夠較好地預測輪轂附近的尾流速度。

圖4 2種陸上風況下3DEP模型橫向剖面的相對誤差Fig.4 Relative errors of 3DEP model lateral profiles under two onshore wind conditions

2.1.2 垂直剖面驗證

圖5為垂向尾流速度分布。2種陸上風況下,3DEP模型的預測結果與LES吻合較好。x/D=5處,3DEP模型略微低估了輪轂高度以下的風速。這可能是由于本文采用的入流風速公式與文獻[24]中不同:文獻[24]中采用了對數律來描述風切變入流,而本文則是采用指數律描述,兩者入流風速在輪轂高度以下會產生些許差異。在x/D>5處,這種現象在逐漸消失。3DEG模型對下游4個位置處的風速有著不同程度的低估,誤差在x/D=5處最大,隨下游位置增加,低估量逐漸減弱。

圖5 2種陸上風況下模型與LES的垂向速度剖面Fig.5 Vertical velocity profiles of the models and LES under two onshore wind conditions

表4為2種風況下3DEP模型和3DEG模型在不同下游位置的相對誤差。從表4可看出,3DEP模型的相對誤差較小,隨著下游距離的增加,誤差逐漸降低。3DEG模型在x/D=5處相對誤差較大,2種風況下均超過8%,在更遠距離處誤差才有所降低。

表4 2種陸上風況下模型垂向相對誤差Table 4 Vertical relative error of models under two onshore wind conditions %

3DEP模型與LES結果的相對誤差如圖6所示。從圖6可發現,盡管3DEP模型在x/D=5處的相對誤差出現較大波動,但能夠很好地預測輪轂附近的速度。在其他下游位置,3DEP模型具有較高的精度,相對誤差處于±4%范圍內。從圖6還可發現,2種風況下,隨著高度增加,幾乎所有位置的相對誤差呈從負到正的變化趨勢,這意味模型先低估后高估了風速。這是由于3DEP模型忽略了垂向上湍流強度的變化,用輪轂高度處的恒定湍流強度來表示實際變化的環境湍流。

圖6 2種陸上風況下3DEP模型垂向剖面的相對誤差Fig.6 Relative errors of 3DEP model vertical profiles under two onshore wind conditions

2.2 海上低湍流風況

2.2.1 橫向剖面驗證

圖7為海上(I0=6.9%和I0=4.8%)4個下游位置3種模型與LES數據的橫向速度剖面。x/D=5處,3DEP模型高估了Y/D=0處的風速,低估Y/D=±(0.4～0.8)的風速。在更遠距離處,3DEP模型預測的風速較LES數據更小。2DJG模型在x/D=5時誤差較大,但能較好地預測尾流邊界位置。Jensen模型表現出較差的性能;一方面由于頂帽形狀假設,另一方面由于尾流膨脹率的選取沒有考慮風力機的附加湍流強度影響。

圖7 2種海上風況下模型與LES數據的橫向速度剖面Fig.7 Lateral velocity distribution of the models and LES under two offshore wind conditions

表5為2種海上風況下各模型的相對誤差。從表中可發現,隨著湍流強度從6.9%減小到4.8%,3種模型的相對誤差都有所增加,但3DEP模型增加的幅度最小。3DEP模型預測的整體誤差位于±5%的區間內。2DJG模型在x/D=5處誤差較大,2種湍流強度下分別為9.72%和11.20%,在更遠距離處誤差較小。Jensen模型整體上誤差最大,在I0=4.8%時4個下游處的相對誤差都超過了6%。

表5 2種海上風況下模型橫向相對誤差Table 5 Lateral relative error of models under two offshore wind conditions %

圖8為2種海上風況下3DEP模型在不同下游位置處橫向的相對誤差?？砂l現,3DEP模型在x/D=5處的相對誤差波動較大,最大誤差接近10%,但僅限于少數幾個點;在其他更遠下游位置的相對誤差較小,誤差范圍為-5%～2%,說明3DEP模型能夠很好地預測海上風況下風力機尾流的橫向速度分布。

圖8 2種海上風況下3DEP模型橫向剖面的相對誤差Fig.8 Relative errors of 3DEP model lateral profiles under two offshore wind conditions

2.2.2 垂向剖面驗證

圖9為下游位置的垂向尾流速度分布。同陸上風況情況類似,海上風況下3DEP模型高估了輪轂上方區域的風速,低估了輪轂下方區域的風速,這在x/D=5處十分明顯。在其他下游處,3DEP模型與LES一致性較好。相比而言,3DEG低估了輪轂周圍的風速,且隨湍流強度降低,這種低估在逐漸變大。

圖9 2種海上風況模型與LES的垂向速度剖面Fig.9 Vertical velocity profiles of the models and LES under two offshore wind conditions

兩模型垂向上的相對誤差如表6所示。3DEP模型在I0=4.8%時x/D=5處的相對誤差較大,達到了9.24%;在其他下游位置的誤差較小,均小于3%。與3DEP模型類似,3DEG模型在x/D=5處誤差最大,I0=6.9%和I0=4.8%下分別為8.87%和10.96%;x/D=15時誤差最小,分別為2.4%和3.64%。

表6 2種海上風況下模型垂向相對誤差Table 6 Vertical relative error of models under two offshorewind conditions %

海上風況下不同下游處3DEP模型垂向的相對誤差如圖10所示。從圖10可發現,2種海上工況下,3DEP模型均在x/D=5處誤差最大,最大誤差位于葉尖頂端以上0.5D位置。在其他下游位置處,3DEP模型的相對誤差均較小,基本在5%以內。

圖10 2種海上風況本文模型垂向剖面的相對誤差Fig.10 Relative errors of 3DEP model vertical profiles under two offshore wind conditions

3 結論

1)該三維模型假設尾流速度呈多項式分布,避免了高斯標準偏差等系列復雜抽象概念,大大降低了模型的復雜度。定義尾流邊界為速度恢復到來流風速的邊界,物理上更具直觀性。

2)考慮了尾流的各向異性膨脹,給出了橫向和垂向的尾流邊界擴展率k的表達式,反映了橫向和垂向的尾流邊界變化差異。

3)與LES計算結果對比表明,本文模型能夠精準地預測不同風況下x/D=5～15區域內橫向和垂向的尾流速度分布。與傳統模型相比,最大誤差和最小誤差均最小,總體精度最高。