余交換post-Hopf代數上的post-Hopf 模的Maschke型定理

王忠偉,王 勇

(1.金陵科技學院理學院,江蘇 南京 211169;2.南京曉莊學院信息工程學院,江蘇 南京 211171)

post-Hopf代數[1]是指帶有從H?H到H的余代數同態,并且滿足某些相容性質的Hopf代數H。post-Hopf代數與許多研究領域有著密切聯系。文獻[1]證明了由post-Hopf代數H的所有素元構成的集合

PH={x∈H|Δ(x)=1H?x+x?1H}

是post-Lie代數(Lie代數結構定義為[x,y]=xy-yx,?x,y∈PH),余交換post-Hopf代數與余交換Hopf-brace是一一對應的,建立了余交換post-Hopf代數范疇與關于余交換模雙代數的相關Rota-Baxter算子范疇之間的伴隨函子;文獻[2-3]證明了post-Lie代數的泛包絡代數是post-Hopf代數;文獻[4]構造了Magma代數的張量代數上的post-Hopf代數結構;文獻[5]證明了post-群的群代數是post-Hopf代數,由post-Hopf代數的所有群像元所構成的集合是post-群;等等。

由此可見,作為一個剛被引入不久的概念,post-Hopf代數具有較高的研究價值和較廣闊的研究前景。在此背景下,本文將post-Hopf代數的概念作進一步推廣,引入了post-Hopf代數上的post-Hopf模的概念,給出了余交換post-Hopf代數上的post-Hopf模的Maschke型定理。

本文的結構如下:第一部分描述post-Hopf代數的相關概念,并引入其上的post-Hopf模的概念;第二部分描述本文的主要結果,即余交換post-Hopf代數上的post-Hopf模的Maschke型定理;第三部分為結語。

除特別說明外,本文中所有的線性空間、張量積和同態均定義在域k上。對線性空間W,V,記τW,V:W?V→V?W為平凡的扭曲映射。對余代數和余模,采用Sweedler記法:對余代數C,記余乘法Δ(c)=∑c1?c2,?c∈C;對右C-余模M,記余模結構映射ρM(m)=∑m(0)?m(1),?m∈M。對于未經解釋的定義和記法,可參考文獻[6-7]。

1 預備知識

定義1設H是Hopf代數,?H:H?H→H是余代數同態,如果滿足如下條件:對任意的x,y,z∈H,

x?H(yz)=∑(x1?Hy)(x2?Hz)

(1)

x?H(y?Hz)=∑(x1(x2?Hy))?Hz

(2)

且左乘法

α?H:H→End(H),α?H(x)(y)=x?Hy, ?x,y∈H

在Hom(H,End(H))中是卷積可逆的,即存在唯一的β?H:H→End(H),使得

∑α?H(x1)°β?H(x2)=∑β?H(x1)°α?H(x2)=ε(x)idH, ?x∈H,

則稱配對(H,?H)為post-Hopf代數。

接下來,引入post-Hopf 代數上的post-Hopf 模的概念。

定義2設(H,?H)為post-Hopf代數,M是H-Hopf模。如果存在線性映射?M:H?M→M滿足如下條件:對任意的x,y∈H,m∈M

ρ(x?Mm)=∑x1?Mm(0)?x2?Hm(1)

(3)

x?M(y·m)=∑(x1?Hy)·(x2?Mm)

(4)

x?M(y?Mm)=∑(x1(x2?Hy))?Mm

(5)

且左作用

α?M:H→End(M),α?M(x)(m)=x?Mm, ?x∈H,m∈M

在Hom(H,End(M))中是卷積可逆的,即存在唯一的β?M:H→End(M),使得

∑α?M(x1)°β?M(x2)=∑β?M(x1)°α?M(x2)=ε(x)idM, ?x∈H,

則稱配對(M,?M)為(H,?H)-post-Hopf模。

設(H,?H)為post-Hopf代數,(M,?M),(N,?N)是(H,?H)-post-Hopf模。若線性映射φ:M→N滿足

φ(x?Mm)=x?Nφ(m), ?x∈H,m∈M,

則稱φ是post-線性的。

進一步的,若post-線性映射φ也是H-Hopf模同態,則稱φ為從(M,?M)到(N,?N)的(H,?H)-post-Hopf模同態。

2 主要結果

設H是Hopf代數,M是H-Hopf模,記

McoH={m∈M|ρM(m)=m?1H}

為M的H-余不變子空間。

引理1設(H,?H)是余可換的post-Hopf代數,(M,?M)是(H,?H)-post-Hopf模,則(McoH,?McoHε?idMcoH)是平凡的(H,?H)-post-Hopf模,即其Hopf模結構定義為

x·m=ε(x)m,ρMcoHρM|McoH, ?x∈H,m∈McoH

證明:一方面,易知McoH是H-Hopf模且式(3)～式(5)成立。另一方面,

α?McoH:H→End(McoH),α?McoH(h)(m)=ε(h)m, ?h∈H,m∈M

卷積冪等,故(McoH,?McoH·ε?idMcoH)是(H,?H)-post-Hopf模。

證畢。

引理2設(H,?H)是余可換的post-Hopf代數,(M,?M)是(H,?H)-post-Hopf模,則(H?M,?H?M)也是(H,?H)-post-Hopf模,其中H-Hopf模結構為:

x·(y?m)=∑x1y?x2·m

ρH?M(x?m)=∑(x1?m)?x2

左作用?H?M:H?(H?M)→H?M定義為:

?H?M(x?(y?m))=∑x1?Hy?x2?Mm, ?x,y∈H,m∈M

證明:首先,易證H?M是H-Hopf模。

其次,對任意x,y∈H,m∈M,由于H是余可換的,且?H:H?H→H是余代數同態,所以有

ρH?M(x?H?M(y?m))=∑ρH?M(x1?Hy?x2?Mm)

=∑x1?H?M(y1?m)?x2?Hy2

=∑x1?H?M(y?m)(0)?x2?H(y?m)(1)

x?H?M(y·(z?m))=∑x?H?M(y1z?y2·m)

=∑x1?H(y1z)?x2?M(y2·m)

=∑(x1?Hy)?(x2?M?H(z?m))

x?M(y?H?M(z?m))=∑x?M(y1?Hz?y2?Mm)

=∑x1?H(y1?Hz)?x2?M(y2?Mm)

=∑(x1(x2?Hy))?H?M(z?m)

最后,由于α?H?M(x)=∑α?H(x1)?α?M(x2),所以左作用?H?M是卷積可逆的。因此(H?M,?H?M)是(H,?H)-post-Hopf模。

證畢。

設H是余可換的Hopf代數,M是H-Hopf模。對任意m∈M,定義

PM:M→M,PM(m)=∑S(m(1))·m(0)

則易知Im(PM)?McoH。

命題1設(H,?H)是余可換的post-Hopf代數,(M,?M)是(H,?H)-post-Hopf模,則線性映射

λM:H?M→M,λM(x?m)=x·PM(m), ?x,y∈H,m∈M

是滿射的(H,?H)-post-Hopf模同態。

證明:首先,由于H是余可換的,則易證

λM°τM,H°ρM=idM

從而λM是滿射。

其次,對任意x,y∈H,m∈M,一方面,

λM(x·(y?m))=∑λM(x1y?x2·m)=∑x1yS(x2m(1))x3·m(0)

=∑x1yS(m(1))S(x2)x3·m(0)=∑xyS(m(1))·m(0)=x·λM(y?m)

故,λM是左H-模同態。另一方面,由Im(PM)?McoH得

ρM(λ(x?m))=ρM(x·PM(m))=∑x1·PM(m)?x2=∑λ(x1?m)?x2

故,λM是右H-余模同態,從而λM是H-Hopf模同態。

最后,對任意x,y∈H,m∈M,由文獻[1]的引理2.3得

λM(x?H?M(y?m))=∑λM(x1?Hy?x2?Mm)

=∑(x1?Hy)S(x2?Hm(1))·(x3?Mm(0))

=∑(x1?Hy)(x2?HS(m(1)))·(x3?Mm(0))

=x?MλM(g?m)

從而λM是post-線性的。因此λM是滿射的(H,?H)-post-Hopf模同態。

證畢。

由命題1容易得到以下推論。

推論1設(H,?H)是余可換的post-Hopf代數,(M,?M)是(H,?H)-post-Hopf模,則正合列

作為(H,?H)-post-Hopf模是可裂的。

引理3設(H,?H)是余可換的post-Hopf代數,(M,?M),(N,?N)是(H,?H)-post-Hopf模,φ:N→M是線性映射。令

即

則下列結論成立:

證明:(a) 顯然成立。

(b) 對任意x∈H,n∈N,因為φ是左H-模同態,所以有

=∑x1n(1)S(x2φ(n(0))(1))x3·φ(n(0))(0)=∑x1n(1)S(φ(n(0))(1))S(x2)x3·φ(n(0))(0)

另一方面,因為φ是post-線性的,所以有

證畢。

以下,給出本文的主要結果,即余交換post-Hopf代數上的post-Hopf模的Maschke型定理。

定理1設(H,?H)是余可換的post-Hopf代數,若post-Hopf模短正合列

作為左H-模是可裂的,且ψ,φ是post-線性的,則該正合列作為post-Hopf模也是可裂的。

故,ψ:M→N是可裂的post-Hopf模同態,從而正合列作為post-Hopf模是可裂的。

證畢。

3 結 語

Post-Hopf代數的引入進一步拓寬了Hopf代數理論的研究內容,因其與Yang-Baxter方程、Lie代數和Hopf-brace等聯系緊密,所以越來越引起數學家的興趣和關注。本文旨在進一步研究post-Hopf代數上的作用和余作用,引入了其上的post-Hopf模的概念,并給出了余交換post-Hopf代數上的post-Hopf模的Maschke型定理。