以數學文化加強數學課程思政

王 堯

教育部印發的《高等學校課程思政建設指導綱要》明確提出:“全面推進課程思政建設,就是要寓價值觀引導于知識傳授和能力培養之中,幫助學生塑造正確的世界觀、人生觀、價值觀,這是人才培養的應有之義,更是必備內容?！睌祵W課作為大學理工類專業最重要的基礎課程,門類多、課時多,對學生成人、成長、成才影響大。但由于其學科和教學內容的特殊性,在教學中如何做好數學課程思政,如何實現教書與育人相統一、知識傳授與思政教育相統一、“經師”和“人師”相統一,許多教師感到困惑。根據我們的教育教學實踐經驗,在教學中有意識地加強數學文化教育,是抓好數學課程思政的有效辦法。

一、何謂數學文化

近年來,鑒于數學在現代科學技術中的基礎地位和數學對人類社會的廣泛而深入的影響,數學文化與數學文化教育越來越引起業界的重視,國內外舉辦過多次關于數學文化和數學文化課程教學的論壇或研討會,全國有相當多的大學都開設了數學文化類課程,也有多種數學文化教材和著作出版。這些都充分說明,數學文化教育已經成為高教界關心和研究的一個重要內容。南京大學方延明在《數學文化》中闡述了數學文化的學科體系,數學文化的哲學觀、社會觀、美學觀、創新觀、方法論等。(1)方延明:《數學文化》,清華大學出版社,2007年,第41-152頁。南開大學顧沛教授關于數學文化的描述是:“數學文化,簡單說,是指數學的思想、精神、方法、觀點,以及它們的形成和發展;廣泛些說,除上述內涵以外,還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的關系、數學與各種文化的關系,等等?！?2)顧沛:《數學文化》,高等教育出版社,2008年,第2頁。這是從數學觀角度給出的數學文化定義?！半m然現在有關數學文化的論文、專著和課程已經很多,但至今并沒有一個獲得學術界廣泛認可的數學文化定義?！?3)劉潔民:《數學文化:是什么和為什么》,《數學通報》,2010年第11期。因此,有必要進一步探討數學文化這個概念。

對于普遍意義上的文化概念,著名文化學者余秋雨給出的定義是:“文化,是一種包含精神價值和生活方式的生態共同體。它通過積累和引導,創建集體人格?！比烁裰傅氖且粋€人的生命格調和行為方式,集體人格是指一群人在生命格調和行為方式上的共同默契。這種共同默契不必訂立,而是深入潛意識當中成為一種本能。(4)余秋雨:《何謂文化》,長江文藝出版社,2012年,第6頁。我們理解,文化是“體”與“魂”的統一,是形式與內容的統一,是精神與物質的統一,是理論與實踐的統一。例如茶文化,喝茶是人們普遍的一種生活方式,茶的品種有紅、白、綠、黑、花等,喝茶有專門的茶具,理論方面有《茶經》,精神上有茶道、有茶圣陸羽。文化包含“人化”和“化人”兩個方面,“人化”是按人的方式改變、改造世界,使事物帶上人文的性質;“化人”是反過來,再用這些改造世界的成果來培養人、裝備人、提高人,使人的發展更全面、更自由。在不同地域,同類文化的特征可能有所不同,如西北民歌與東南民歌是有顯著差異的。但有些文化會超越地域,如自然科學、技術、發明等。

何謂數學?恩格斯指出:“數學是研究數量關系與空間形式的一門科學?！?5)[美]懷爾德:《作為文化體系的數學》,謝明初譯,華東師范大學出版社,2019年,第247-248頁。古希臘的亞里士多德指出:“數學所研究的量與數,并不是那些我們感覺到的、占有空間的、廣延性的、可分的量和數,而是作為某種特殊性質的(抽象的)量和數,是我們在思想中將它們分離開來進行研究的。數學對象只是一種抽象的存在,也就是人類抽象思維的產物?！?6)[古希臘]亞里士多德:《形而上學》,吳壽彭譯,商務印書館,1959年,第7頁。

數學是一種不依賴人類思維的獨立存在,還是人類抽象思維的產物?英國大數學家哈代說:“我認為,數學的實在存在于我們之外,我們的職責是發現它或遵循它?！?7)[英]哈代:《一個數學家的自白》,李泳譯,湖南科技出版社,2007年,第15頁。但是非歐幾何的出現證明,數學不僅是客觀實在,也是人親手創造的,它僅僅服從思想法則所設定的限制。數學大師陳省身說:“數學家經常在家里思想問題,想出來的東西為什么會有用?我想,主要的原因就是它的基礎非常簡單,又十分堅固,它的結果是根據邏輯推理得出來的,所以完全可靠。邏輯推理比實驗證實所獲的結果要更為可靠些。數學由于它的邏輯可靠性,因而是一門有堅實根底的學問,這是數學有用的一種解釋?！?8)《國際數學大師陳省身談二十一世紀的數學》,《高等數學研究》,2001年第2期。

數學既是人類精神文明的一部分,又是物質文明的產物。數學是一種文化,這是 20 世紀 60 年代數學教育界提出的一種新觀點。最早系統提出數學文化觀的是美國科學院院士、數學會前主席懷爾德,他在著作《數學概念的進化》和《作為文化體系的數學》中從文化的生成理論、發展理論等方面提出數學文化體系的概念。懷爾德認為數學是一個由于內在力量與外在力量共同作用而處于不斷發展和變化之中的文化系統。數學是人類主體文化體系的一個子文化體系,數學文化由數學傳統及數學本身所組成。他在《作為文化體系的數學》中明確列舉了影響數學文化發展的11種力量。M.克萊因在《數學與文化——是與非的觀念》中指出:“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言。數學更主要的是一門有著豐富內容的知識體系,其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用,同時影響著政治家和神學家的學說,滿足人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想,甚至可能以難以察覺到的方式無可置疑地影響著現代歷史的進程?！彼€在《西方文化中的數學》中寫道:“數學是一種精神,一種理性的精神。正是這種精神,激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度,也正是這種精神,試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活;試圖回答人類自身存在提出的問題;努力去理解和控制自然;盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻和最完美的內涵?！薄皵祵W一直是形成現代文化的主要力量,同時又是這種文化極其重要的因素?！睌祵W文化對其他文化有重要影響,譬如我國古代先秦諸子、國學奠基者們就將其人文核心思想用數學命題來進行闡釋,如“無規矩,難以成方圓”“規規矩矩做人”“以法律為準繩”“不管三七二十一”“事業坐標”“人生軌跡”等。

根據上面眾多學者的研究,筆者認為,所謂數學文化,就是在數學的發現、發明和發展及應用過程中形成的生態共同體,這個生態共同體包括數學語言、數學思想、數學方法、數學成果、數學應用和數學精神等。在這個意義上,我們認為數學文化主要包含以下六個方面內容:(1)數學史、數學家故事,(2)數學語言、思想、方法,(3)數學發現、發展和創新,(4)數學美、數學特征,(5)數學在科學中的應用,(6)數學精神、數學教育。

數學教育不只是知識教育,本質上是一種素質教育。自覺的數量觀念,使人認真注意事物的數量及其變化規律,而不是憑感覺做決定、辦事;嚴密的邏輯思維能力,使人能保持思路清晰、條理分明,有條不紊地處理頭緒紛繁的各項工作;高度的抽象思維能力,使人面對錯綜復雜的現象,能分清主次,抓住主要矛盾,不會一籌莫展;數學推導的認真細致,不含糊敷衍,有助于培養一絲不茍的作風和習慣。因此,加強數學文化教育是做好數學課程思政的有效方法和途徑。人文社科類課程思政是顯性教育,但對于數學課程來講更多的是隱性教育。數學文化具有人文教育功能,有利于培養創新精神,提高審美能力,增進理性體驗,注重情感和意志,樹立正確的價值觀;數學具有德育和思政功能,使人體會科學思考、掌握科學方法、學會理性思考、正確判斷是非,幫助學生形成正確的世界觀、人生觀和價值觀,培養學生敢于挑戰困難、以破解難題為樂的精神。但是從過去實際數學教學來看,普遍重視數學知識和技能教育而忽視數學文化教育,傳授數學知識多、數學文化少,或者把數學文化教育簡單看作數學史教育。數學課堂的教學經常是“陳述”多、“情感”少,“獨唱”多、“啟發”少,“導學”多、“導人”少。其根源在于教師在思想上重“知識”、輕“思政”,重“傳授”、輕“啟智”,重“教案”、輕“目標”,重“傳承”、輕“創新”,重“教學”、輕“教研”。有些學校專門開設數學文化課,但是,把數學文化教育恰當融入數學知識教學,對于培養學生數學思維、樹立唯物辯證觀、啟迪智慧、提高創新能力,對于做好數學課應有的課程思政、立德樹人,能夠發揮更好的作用。

二、數學教學中如何融入數學文化教育

“課程思政”就是教育者結合課程內容、思想、場景等實際,積極挖掘和運用各類教育、教學內容本身所蘊含的思想政治教育元素,對學生進行潤物無聲的思想政治影響的教育實踐。(9)王堯:《再論課程思政:概念、認識與實踐》,《中國大學教學》,2022年第7期。教育部《高等學校課程思政建設指導綱要》明確指出:對于理學、工學類專業課程,“要在課程教學中把馬克思主義立場觀點方法的教育與科學精神的培養結合起來,提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力。理學類專業課程,要注重科學思維方法的訓練和科學倫理的教育,培養學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感。工學類專業課程,要注重強化學生工程倫理教育,培養學生精益求精的大國工匠精神,激發學生科技報國的家國情懷和使命擔當?！苯Y合數學課程的具體教學內容,適當選擇數學文化內容植入教學中,可以有效提升數學課程思政水平。下面,按照前面所說的數學文化的六個主要方面內容,我們給出一些可以融入教學的典型案例。

(一)引入數學史、數學家故事

公元前十一世紀,周朝數學家商高就提出了“勾三、股四、弦五”,即商高定理,比西方早500年。三國時期東吳數學家趙爽用幾何圖形的截、割、拼、補把四個直角三角形拼起來得到一個大的正方形,里面包含一個小的正方形,通過比較面積證明了勾股定理。這個證明清晰、干凈、利落、巧妙,極富美感和創新意識,既嚴密又直觀,是中國古代“形數統一”、代數和幾何緊密結合的一個典范,在世界數學史上具有獨特的地位。2002年在北京舉行的國際數學家大會,會徽就選擇了《周髀算經》中這個勾股定理證明的圖形。又如,華羅庚傳奇的一生,他每篇論文都有資格獲得博士學位,他被芝加哥科學技術博物館列為當今世界88位數學偉人之一。數學史家評價:“華羅庚是中國的愛因斯坦,足夠成為全世界所有著名科學院的院士”。經國際天文聯合會批準,國際編號364875號的小行星被命名為華羅庚星。華羅庚愛國報國的精神更是感人。1949年,他放棄美國伊利諾伊大學終身教授身份毅然回到新中國參加建設,并在香港發表了致留美學生的公開信:“受了同胞們的血汗栽培,成為人才之后,不為他們服務,這如何可以謂之公平?如何可以謂之合理?……為了選擇真理,我們應當回去;為了國家民族,我們應當回去;為了為人民服務,我們也應當回去!”再如,獲國家最高科學技術獎、2019年被授予“人民科學家”國家榮譽稱號的吳文俊先生,為拓撲學做了奠基性工作,研究成果被國際數學界稱為“吳公式”“吳示性類”。他60歲開始學習計算機編程,開創了數學機械化證明研究新領域,也成為人工智能的先驅。

(二)傳播數學語言、思想、方法

如同樂譜利用符號來代表聲音一樣,數學也用符號表示數量關系和空間形式。數學語言是慎重的、有意的而且經常是精心設計的,數學家們憑借嚴密和簡潔的數學語言表達和研究數學思想,而如果用普通語言表達就會顯得冗長不堪。例如線性代數課程把線性方程組的求解、線性變換性質研究都轉化為矩陣相應問題的研究,化難為易、化繁為簡。正如馬克思所說,這種從一種形式到另一種形式的轉換,不是簡單的數學游戲,它是數學科學的有力杠桿。又如,解析幾何課程中的數形結合方法。坐標系的偉大在于它溝通了幾何與代數,幾何的概念得以用代數表示,幾何的目標也可以通過代數求解獲得。反過來,可以利用幾何來解釋代數,使代數具有了形象直觀的優勢,還可以借助幾何去發現新的代數結論。各個方向的相互聯系恰恰反映了數學的活力。又如,對高等數學知識體系進行哲學思想詮釋,在微分學部分,教師講完三大中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)后,指出這是在內容上遵循從簡單到復雜、從特殊到一般的規律。在積分學部分,三大公式(格林公式、高斯公式、斯托克斯公式)統一于流形上的斯托克斯定理。著名數學家拉普拉說:“生活中最重要的問題,其中絕大多數在實質上只是概率問題?！备怕收撌恰吧钫嬲念I路人,如果沒有對概率的某種估計,我們將寸步難移,無所作為?！眹兰影苍菏康摹段虻涝姟吩?“隨機非隨意,概率破玄機。無序隱有序,統計解迷離”,表達了對概率統計學科本質的徹悟。

(三)介紹數學發現、發展與創新

1900年的世界數學大會上,希爾伯特發表了著名演講——《數學問題》。他根據十九世紀數學研究的成果和發展趨勢,提出了23個最重要的數學問題,后來成為許多數學家力圖攻克的難關。曾有人問希爾伯特:你為什么不去解決這些難題呢?希爾伯特回答說:我不想殺死會下金蛋的鵝。素數問題,包括哥德巴赫猜想及孿生素數問題等,理解容易,證明卻極其艱難。這23個問題對現代數學研究和發展產生了極其深刻的影響和推動作用。1930年,希爾伯特在退休演講中的最后一句話是:“我們必須知道,我們必將知道”,表達了數學家的堅毅品格和敢于挑戰困難的堅定信心。哥德巴赫猜想的最佳結果屬于中國數學家陳景潤。2013年5月,北大校友、華人數學家張益唐在58歲時突破孿生素數猜想。英國大數學家哈代曾說過:我從不知道有哪個數學上的重大突破是由一個超過五十歲的人提出來的。吳文俊院士和張益唐的杰出貢獻打破了哈代的斷言。張益唐執著的追求、堅毅的品格和以挑戰困難為榮的事跡給人們很多啟示:興趣是創新的動力,堅持夢想深挖下去,不要被名人名言羈絆。

(四)展現數學美、數學特征

數學家、哲學家羅素說:“數學,如果正確地看它,不但具有真理,而且也具有至高無上的美,正如雕塑的美是一種冷而嚴肅的美?！瘪T·諾依曼說:“數學家無論選擇題材還是判斷能否成功的標準,主要是遵循美學原則?？茖W史上有不少例子,在其中正是數學的美給了科學家以必要的信心,從而才能在逆境中堅持自己的理論或新的創見?！崩?正是數學上的美使哥白尼堅信自己的日心說的真理性。愛因斯坦也自稱是一個到數學的簡單性中尋找真理的唯一可靠源泉的人,而簡單性與和諧性都是數學美的重要方面。高度的抽象性、嚴密的邏輯性、應用的廣泛性、描述的精確性、研究對象的多樣性、內部的統一性等,是數學的基本特征。數學是一個有機的整體,它像一個龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網絡,各層次的網絡和結點之間是用嚴密的邏輯連接起來的。這種連接是客觀事物內在邏輯的反映。

(五)啟示數學在現代科技中的應用

當前,在一些科技前沿,中國被“卡住了脖子”,為什么?無用之用,眾用之基。芯片制造離不開電子設計自動化,而這正是基于布爾代數;當代科技金融的基石是數論中的因子分解算法;市場經濟理論的基礎是亞當·斯密的分配論;人工智能發展的背后有貝葉斯定理的統計學;現代芯片技術最終要突破量子糾纏、二階計算及SOAR等數學理論;區塊鏈技術以橢圓曲線理論、哈希加密為基石?！翱ú弊印眴栴}的根源在于基礎研究薄弱,而數學則是基礎研究的基礎,是其他科學研究的主要工具。拿破侖指出:“一個國家只有數學蓬勃發展,才能展現它國力的強大。數學的發展和至善和國家繁榮昌盛密切相關?！比握钦f:這30年,華為真正的突破是數學,手機系統設備是以數學為中心的。從1969年到2001年,50名諾貝爾經濟學獎得主中有27人的主要貢獻是運用數學方法解決經濟問題。A.N.拉奧說:“一個國家的科學水平可以用它消耗的數學來度量?！?10)張楚廷:《數學文化》,高等教育出版社,2000年,第1頁。

(六)弘揚數學精神,傳授數學教育方法

數學極其嚴格的邏輯,不斷求真、求美、求新,數學家極其執著地追求、不斷地自我超越、不斷地開拓新領域,這些都給人以理性探索的精神。例如,數學家陳景潤、陸家曦的事跡詮釋了不斷進取的精神、為真理獻身的精神:北京大學鼓勵學生不盲從權威、不盲從前人,自己推導、獨立思考的教學思想培育了北大人自由探索、勇于批判的精神;王小云院士破解美國頂級密碼,在她身上不光有著女性科學家閃耀奪目的光輝,更有屬于數學人的家國情懷和責任擔當。中國數學界“三代人”的美談——熊慶來發現華羅庚,華羅庚發現陳景潤;蘇步青、谷超豪、胡和生、李大潛一門四院士,成為數學精神傳遞和人才培養的楷模。

數學教育家喬治·波利亞說:“認為解題是一種智力活動是錯誤的。如果學生在學校里沒有嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂,那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了?！比A羅庚指導青年人的學習經驗是:天才在于積累,聰明在于勤奮;讀數學書,必須在面前放一支筆和一張紙;讀書要“從薄到厚”,然后“從厚到薄”;弄斧必到班門。作為數學教師,在課堂上不僅要講清知識,更應著力向學生揭示那些“火熱的思考”,引導學生發掘和領會那些“火熱的思考”。教師要告訴學生“定理”是如何“制造”出來的,以培養學生創新意識、創造方法和敢于挑戰困難的勇氣。