一道雙拋物線定值問題的探究

鄧清睿

(華南師范大學數學科學學院 510631)

1 問題背景與考題呈現

圓錐曲線問題是歷年來熱門的探究問題,主要涉及:求解各類曲線方程(動點軌跡方程)、求解最值問題、求解離心率取值范圍以及定點定值的證明問題等.近期在與拋物線相關的特殊三角形周長、面積問題的探究方面也取得了一些成果[1-4],包括:拋物線與一些等腰直角三角形交點橫、縱坐標滿足的關系式及一些延伸出的幾何關系;過拋物線外一點構造兩條不同切線的切點,該三點構成的三角形面積及相關的幾何性質;一些以拋物線焦點為重心的拋物線內接三角形的性質;一類以拋物線阿基米德三角形為背景的最值問題的解題思路等.

2023年蘇錫常鎮市高三教學情況調研第21題正是在這樣的背景下命制的.本文僅針對第二問展開解法研究與問題推廣.

2 解法分析

原題已知直線l與拋物線C1:y2=2x交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,與拋物線C2:y2=4x交于C(x3,y3),D(x4,y4)兩點,其中A,C在第一象限,B,D在第四象限.

2.1 簡證第(2)題①問

2.2 第(2)題②問的兩種證法

圖1

3 推廣結論

針對試題解法分析和其他文獻,給出7個新結論.

函數.

4 結論證明

通過結論1～3的證明類似于原題第(2)問第②題的解決思路,由原題第(2)問第①題的證法可以得到結論4,這里只證結論5和結論6.

4.1 證明結論5

4.2 證明結論6

結論7的證明與之類似.